En teoría de la probabilidad , las ecuaciones de Kolmogorov , incluidas las ecuaciones directas de Kolmogorov y las ecuaciones inversas de Kolmogorov , caracterizan los procesos de Markov en tiempo continuo . En particular, describen cómo la probabilidad de un proceso de Markov de tiempo continuo en un determinado estado cambia con el tiempo.
En un escrito de 1931, Andrei Kolmogorov partió de la teoría de los procesos de Markov en tiempo discreto, que se describen mediante la ecuación de Chapman-Kolmogorov , y trató de derivar una teoría de los procesos de Markov en tiempo continuo ampliando esta ecuación. Encontró que hay dos tipos de procesos de Markov en tiempo continuo, dependiendo del comportamiento asumido en pequeños intervalos de tiempo:
Si se supone que "en un pequeño intervalo de tiempo existe una probabilidad abrumadora de que el estado permanezca sin cambios; sin embargo, si cambia, el cambio puede ser radical", [1] entonces se llega a lo que se llama procesos de salto .
El otro caso conduce a procesos como los "representados por la difusión y el movimiento browniano ; allí es seguro que se producirá algún cambio en cualquier intervalo de tiempo, por pequeño que sea; sólo que aquí es seguro que los cambios durante pequeños intervalos de tiempo serán también pequeño". [1]
Para cada uno de estos dos tipos de procesos, Kolmogorov derivó un sistema de ecuaciones hacia adelante y hacia atrás (cuatro en total).
Las ecuaciones llevan el nombre de Andrei Kolmogorov ya que fueron destacadas en su trabajo fundacional de 1931. [2]
William Feller , en 1949, utilizó los nombres "ecuación directa" y "ecuación inversa" para su versión más general del par de Kolmogorov, tanto en procesos de salto como de difusión. [1] Mucho más tarde, en 1956, se refirió a las ecuaciones para el proceso de salto como "ecuaciones directas de Kolmogorov" y "ecuaciones hacia atrás de Kolmogorov". [3]
Otros autores, como Motoo Kimura , [4] se refirieron a la ecuación de difusión (Fokker-Planck) como ecuación directa de Kolmogorov, nombre que ha persistido.
La derivación original de las ecuaciones por parte de Kolmogorov comienza con la ecuación de Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov la llamó ecuación fundamental ) para procesos de Markov diferenciables y continuos en el tiempo en un espacio de estados finito y discreto. [2] En esta formulación, se supone que las probabilidades son funciones continuas y diferenciables de , donde (el espacio de estados) y son los tiempos final e inicial, respectivamente. Además, se suponen propiedades límite adecuadas para las derivadas. Feller deriva las ecuaciones en condiciones ligeramente diferentes, comenzando con el concepto de proceso de Markov puramente discontinuo y luego formulándolas para espacios de estados más generales. [5] Feller demuestra la existencia de soluciones de carácter probabilístico a las ecuaciones directas de Kolmogorov y a las ecuaciones inversas de Kolmogorov en condiciones naturales. [5]
Para el caso de un espacio de estados contable, colocamos en lugar de . Las ecuaciones directas de Kolmogorov leen
¿Dónde está la matriz de tasa de transición (también conocida como matriz generadora)?
mientras que las ecuaciones hacia atrás de Kolmogorov son
Las funciones son continuas y diferenciables en ambos argumentos de tiempo. Representan la probabilidad de que el sistema que estaba en estado en ese momento salte a estado en algún momento posterior . Las cantidades continuas satisfacen
Aún en el caso del estado discreto, dejando y asumiendo que el sistema se encuentra inicialmente en el estado , las ecuaciones directas de Kolmogorov describen un problema de valor inicial para encontrar las probabilidades del proceso, dadas las cantidades . Escribimos donde , entonces
Para el caso de un proceso de muerte puro con tasas constantes, los únicos coeficientes distintos de cero son . dejando
En este caso, el sistema de ecuaciones se puede reformular como una ecuación diferencial parcial con condición inicial . Después de algunas manipulaciones, el sistema de ecuaciones dice: [6]
A continuación se ofrece un ejemplo de biología: [7]
Esta ecuación se aplica para modelar el crecimiento de la población con el nacimiento . Donde está el índice poblacional, con referencia a la población inicial, está la tasa de natalidad, y por último , es decir, la probabilidad de alcanzar un determinado tamaño poblacional .
La solución analítica es: [7]
Esta es una fórmula para la probabilidad en términos de las anteriores, es decir .