Las ecuaciones de Jefimenko.

Ecuaciones de electromagnetismo

En electromagnetismo , las ecuaciones de Jefimenko (llamadas así por Oleg D. Jefimenko ) dan el campo eléctrico y el campo magnético debido a una distribución de cargas eléctricas y corriente eléctrica en el espacio, que tiene en cuenta el retraso de propagación ( tiempo retardado ) de los campos debido a la Velocidad finita de la luz y efectos relativistas. Por lo tanto, se pueden utilizar para mover cargas y corrientes. Son las soluciones particulares de las ecuaciones de Maxwell para cualquier distribución arbitraria de cargas y corrientes. ^[1]

Ecuaciones

Campos eléctricos y magnéticos.

Vectores de posición r y r ′ utilizados en el cálculo

Las ecuaciones de Jefimenko dan el campo eléctrico E y el campo magnético B producidos por una carga o distribución de corriente arbitraria, de densidad de carga ρ y densidad de corriente J : ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\times {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',}$$

donde r ′ es un punto en la distribución de carga , r es un punto en el espacio y

$${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$$

tiempo retrasadoDH. ^[3]

Estas ecuaciones son la generalización dependiente del tiempo de la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart a la electrodinámica , que originalmente eran válidas sólo para campos electrostáticos y magnetostáticos y corrientes estacionarias.

Origen de potenciales retardados.

Las ecuaciones de Jefimenko se pueden encontrar ^[2] a partir de los potenciales retardados φ y A :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\end{aligned}}}$$

las ecuaciones de Maxwell en la formulación de potencialespotenciales electromagnéticos

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

$${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$$

φAEB

Fórmula de Heaviside-Feynman

Explicación de las variables relevantes para la fórmula de Heaviside-Feynman.

La fórmula de Heaviside-Feynman , también conocida como fórmula de Jefimenko-Feynman, puede verse como la versión de carga eléctrica puntual de las ecuaciones de Jefimenko. En realidad, se puede deducir (no trivialmente) de ellos utilizando funciones de Dirac o utilizando los potenciales de Liénard-Wiechert . ^[4] Se conoce principalmente por las Conferencias Feynman sobre Física , donde se utilizó para presentar y describir el origen de la radiación electromagnética . ^[5] La fórmula proporciona una generalización natural de la ley de Coulomb para los casos en los que la carga fuente se está moviendo: ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {-q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}+{\frac {r'}{c}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{r'}\right]}$

$${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {e} _{r'}\times {\frac {\mathbf {E} }{c}}}$$

permitividad del vacíovelocidad de la luzcampo electromagnético ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{r'}}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle t-r'/c}$

Ilustración de la posición de carga retardada de una partícula que se mueve en una dimensión espacial: el observador ve la partícula donde estaba, no donde está.

El primer término de la fórmula representa la ley de Coulomb para el campo eléctrico estático. El segundo término es la derivada temporal del primer término de Coulombic multiplicado por el cual es el tiempo de propagación del campo eléctrico. Heurísticamente, esto puede considerarse como un "intento" de la naturaleza de pronosticar cuál sería el campo actual mediante extrapolación lineal al tiempo presente. ^[5] El último término, proporcional a la segunda derivada del vector de dirección unitario , es sensible al movimiento de la carga perpendicular a la línea de visión. Se puede demostrar que el campo eléctrico generado por este término es proporcional a , donde es la aceleración transversal en el tiempo retardado. Dado que , en comparación con el comportamiento coulombiano estándar , sólo disminuye con la distancia , este término es responsable de la radiación electromagnética de largo alcance provocada por la carga acelerada. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\frac {r'}{c}}}$ ${\displaystyle e_{r'}}$ ${\displaystyle a_{t}/r'}$ ${\displaystyle a_{t}}$ ${\displaystyle 1/r'}$ ${\displaystyle 1/r'^{2}}$

La fórmula de Heaviside-Feynman se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell utilizando la técnica del potencial retardado . Permite, por ejemplo, derivar la fórmula de Larmor para la potencia de radiación total de la carga aceleradora.

Discusión

Existe una interpretación generalizada de las ecuaciones de Maxwell que indica que los campos eléctricos y magnéticos que varían espacialmente pueden hacer que otros cambien en el tiempo, dando lugar a una onda electromagnética que se propaga ^[6] ( electromagnetismo ). Sin embargo, las ecuaciones de Jefimenko muestran un punto de vista alternativo. ^[7] Jefimenko dice: "...ni las ecuaciones de Maxwell ni sus soluciones indican la existencia de vínculos causales entre los campos eléctricos y magnéticos. Por lo tanto, debemos concluir que un campo electromagnético es una entidad dual que siempre tiene un componente eléctrico y uno magnético simultáneamente. creado por sus fuentes comunes: cargas y corrientes eléctricas variables en el tiempo". ^[8]

Como señaló McDonald, ^[9] las ecuaciones de Jefimenko parecen aparecer por primera vez en 1962 en la segunda edición del libro de texto clásico de Panofsky y Phillips . ^[10] David Griffiths , sin embargo, aclara que "la primera declaración explícita que conozco fue de Oleg Jefimenko, en 1966" y caracteriza las ecuaciones en el libro de texto de Panofsky y Phillips como sólo "expresiones estrechamente relacionadas". ^[2] Según Andrew Zangwill, las ecuaciones análogas a las de Jefimenko pero en el dominio de frecuencia de Fourier fueron derivadas por primera vez por George Adolphus Schott en su tratado Radiación electromagnética (University Press, Cambridge, 1912). ^[11]

Las características esenciales de estas ecuaciones se observan fácilmente: los lados derechos implican un tiempo "retardado" que refleja la "causalidad" de las expresiones. En otras palabras, el lado izquierdo de cada ecuación en realidad es "causado" por el lado derecho, a diferencia de las expresiones diferenciales normales de las ecuaciones de Maxwell donde ambos lados tienen lugar simultáneamente. En las expresiones típicas de las ecuaciones de Maxwell no hay duda de que ambos lados son iguales entre sí, pero como señala Jefimenko, "... dado que cada una de estas ecuaciones conecta cantidades simultáneas en el tiempo, ninguna de estas ecuaciones puede representar una relación causal. " ^[12]

Ver también

• Potencial de Liénard-Wiechert

Notas

1. Oleg D. Jefimenko , Electricidad y magnetismo: una introducción a la teoría de los campos eléctricos y magnéticos , Appleton-Century-Crofts (Nueva York - 1966). 2ª ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN  978-0-917406-08-9 . Véase también: David J. Griffiths , Mark A. Heald, Generalizaciones dependientes del tiempo de las leyes de Biot-Savart y Coulomb , American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
2. Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 . 
3. Oleg D. Jefimenko, Soluciones de las ecuaciones de Maxwell para campos eléctricos y magnéticos en medios arbitrarios , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899–902.
4. Las conferencias de física de Feynman - 21.5 Los potenciales de una carga en movimiento; la solución general de Liénard y Wiechert
5. Las conferencias Feynman sobre física vol. Yo cap. 28: Radiación electromagnética
6. Kinsler, P. (2011). "Cómo ser causal: tiempo, espacio-tiempo y espectros". EUR. J. Física . 32 (6): 1687. arXiv : 1106.1792 . Código Bib : 2011EJPh...32.1687K. doi :10.1088/0143-0807/32/6/022. S2CID  56034806.
7. Oleg D. Jefimenko, Causalidad, inducción electromagnética y gravitación , 2ª ed.: Electret Scientific (Star City - 2000) Capítulo 1, sec. 1-4, página 16 ISBN 0-917406-23-0 . 
8. Oleg D. Jefimenko , Causalidad, inducción electromagnética y gravitación , 2ª ed.: Electret Scientific (Star City - 2000) Capítulo 1, sec. 1-5, página 16 ISBN 0-917406-23-0 . 
9. Kirk T. McDonald, La relación entre expresiones para campos electromagnéticos dependientes del tiempo dadas por Jefimenko y Panofsky y Phillips , American Journal of Physics 65 (11) (1997), 1074-1076.
10. Wolfgang KH Panofsky, Melba Phillips, Electricidad y magnetismo clásicos , Addison-Wesley (2ª ed. - 1962), Sección 14.3. El campo eléctrico está escrito de una forma ligeramente diferente, pero completamente equivalente. Reimpresión: Publicaciones de Dover (2005), ISBN 978-0-486-43924-2 . 
11. Andrew Zangwill, Electrodinámica moderna, Cambridge University Press, primera edición (2013), págs. 726—727, 765
12. Oleg D. Jefimenko , Causalidad, inducción electromagnética y gravitación , 2ª ed.: Electret Scientific (Star City - 2000) Capítulo 1, sec. 1-1, página 6 ISBN 0-917406-23-0 .