Flujo de Jeffery-Hamel

En dinámica de fluidos, el flujo de Jeffery-Hamel es un flujo creado por un canal convergente o divergente con una fuente o sumidero de volumen de fluido en el punto de intersección de las dos paredes planas. Lleva el nombre de George Barker Jeffery (1915) ^[1] y Georg Hamel (1917), ^[2] pero ha sido estudiado posteriormente por muchos científicos importantes como von Kármán y Levi-Civita , ^[3] Walter Tollmien , ^{[4 ]} F. Noether , ^[5] WR Dean , ^[6] Rosenhead , ^[7] Landau , ^[8] GK Batchelor ^{[9] etc.} Edward Fraenkel describió un conjunto completo de soluciones en 1962. ^[10]

Descripción del flujo

Considere dos paredes planas estacionarias con un caudal volumétrico constante que se inyecta/aspira en el punto de intersección de las paredes planas y sea el ángulo subtendido por dos paredes . Tome el sistema de coordenadas cilíndrico que representa el punto de intersección y la línea central y son los componentes de velocidad correspondientes. El flujo resultante es bidimensional si las placas son infinitamente largas en la dirección axial, o las placas son más largas pero finitas, si se desprecian los efectos de borde y por la misma razón se puede suponer que el flujo es completamente radial, es decir , ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u=u(r,\theta ),v=0,w=0}$

Entonces la ecuación de continuidad y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se reducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno son condiciones de no deslizamiento en ambas paredes y la tercera condición se deriva del hecho de que el flujo de volumen inyectado/aspirado en el punto de intersección es constante a través de una superficie en cualquier radio.

${\displaystyle u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta }$

Formulación

La primera ecuación dice que es solo función de , la función se define como ${\displaystyle ru}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F(\theta )={\frac {ru}{\nu }}.}$

Diferentes autores definen la función de manera diferente, por ejemplo, Landau ^[8] define la función con un factor . Pero siguiendo a Whitham , ^[11] Rosenhead ^[12] la ecuación del momento se convierte en ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}}$

ahora dejando

${\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta ),}$

las ecuaciones y de momento se reducen a ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle P=-{\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')}$

${\displaystyle P'=2F',\quad \Rightarrow \quad P=2F+C}$

y sustituir esto en la ecuación anterior (para eliminar la presión) da como resultado

${\displaystyle F''+F^{2}+4F+2C=0}$

Multiplicando por e integrando una vez, ${\displaystyle F'}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0}$

¿Dónde se determinarán las constantes a partir de las condiciones de contorno? La ecuación anterior se puede reescribir convenientemente con otras tres constantes como raíces de un polinomio cúbico, siendo arbitrarias solo dos constantes, la tercera constante siempre se obtiene de las otras dos porque la suma de las raíces es . ${\displaystyle C,D}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a+b+c=-6}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F-a)(F-b)(F-c)=0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.}$

Las condiciones de contorno se reducen a

${\displaystyle F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta }$

donde está el número de Reynolds correspondiente . La solución se puede expresar en términos de funciones elípticas . Para el flujo convergente , la solución existe para todos , pero para el flujo divergente , la solución existe sólo para un rango particular de . ${\displaystyle Re=Q/\nu }$ ${\displaystyle Q<0}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Re}$

Interpretación dinámica [13]

La ecuación toma la misma forma que un oscilador no lineal no amortiguado (con potencial cúbico) . Se puede pretender que es tiempo , desplazamiento y velocidad de una partícula con unidad de masa, entonces la ecuación representa la ecuación de energía ( , donde y ) con total cero . energía, entonces es fácil ver que la energía potencial es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle K.E.+P.E.=0}$ ${\displaystyle K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}}$ ${\displaystyle P.E.=V(F)}$

${\displaystyle V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)}$

donde en movimiento. Dado que la partícula comienza en for y termina en for , hay dos casos a considerar. ${\displaystyle V\leq 0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \theta =-\alpha }$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \theta =\alpha }$

• El primer caso son conjugados complejos y . La partícula comienza con una velocidad positiva finita y alcanza donde está su velocidad y aceleración y regresa en el momento final . El movimiento de las partículas representa un movimiento de salida puro porque y también es simétrico respecto a . ${\displaystyle b,c}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=a}$ ${\displaystyle F'=0}$ ${\displaystyle F''=-dV/dF<0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle 0<F<a}$ ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle \theta =0}$
• Segundo caso , todas las constantes son reales. El movimiento de a a representa una salida puramente simétrica como en el caso anterior. Y el movimiento hacia y para siempre ( ) representa una entrada puramente simétrica. Pero también, la partícula puede oscilar entre , representando regiones de entrada y salida, y el flujo ya no necesita ser simétrico . ${\displaystyle c<b<0<a}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=a}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=b}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F<0}$ ${\displaystyle -\alpha \leq \theta \leq \alpha }$ ${\displaystyle b\leq F\leq a}$ ${\displaystyle \theta =0}$

La rica estructura de esta interpretación dinámica se puede encontrar en Rosenhead (1940). ^[7]

Salida pura

Para flujo de salida puro, dado que en , la integración de la ecuación gobernante da ${\displaystyle F=a}$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

y las condiciones de contorno se vuelven

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

Las ecuaciones se pueden simplificar mediante transformaciones estándar dadas, por ejemplo, en Jeffreys . ^[14]

• El primer caso son conjugados complejos y conduce a ${\displaystyle b,c}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}}$

${\displaystyle M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}}$

¿Dónde están las funciones elípticas de Jacobi ? ${\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} }$

• El segundo caso conduce a ${\displaystyle c<b<0<a}$

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}.}$

forma limitante

La condición límite se obtiene observando que el flujo de salida puro es imposible cuando , lo que implica de la ecuación gobernante. Por lo tanto, más allá de estas condiciones críticas, no existe ninguna solución. El ángulo crítico está dado por ${\displaystyle F'(\pm \alpha )=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \alpha _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {F(a-F)(F+a+6))}}},\\&={\sqrt {\frac {3}{2a}}}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)\{1+(1+6/a)t\}}}},\\&={\frac {K(k^{2})}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle m^{2}={\frac {3+a}{3}},\quad k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{3+a}}\right)}$

donde es la integral elíptica completa de primer tipo . Para valores grandes de , el ángulo crítico se convierte en . ${\displaystyle K(k^{2})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha _{c}={\sqrt {\frac {3}{a}}}K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {3.211}{\sqrt {a}}}}$

El correspondiente número de Reynolds crítico o flujo volumétrico viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}&=2\int _{0}^{\alpha _{c}}(a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}m\theta )\,d\theta ,\\&={\frac {12k^{2}}{\sqrt {1-2k^{2}}}}\int _{0}^{K}\operatorname {cn} ^{2}tdt,\\&={\frac {12}{\sqrt {1-2k^{2}}}}[E(k^{2})-(1-k^{2})K(k^{2})]\end{aligned}}}$

¿Dónde está la integral elíptica completa de segundo tipo ? Para valores grandes de , el número de Reynolds o flujo volumétrico crítico es . ${\displaystyle E(k^{2})}$ ${\displaystyle a,\left(\ k^{2}\sim {\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2a}}\right)}$ ${\displaystyle Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}=12{\sqrt {\frac {a}{3}}}\left[E\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{2}}\right)\right]=2.934{\sqrt {a}}}$

Afluencia pura

Para el flujo de entrada puro, la solución implícita viene dada por

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

y las condiciones de contorno se vuelven

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

El flujo de entrada puro sólo es posible cuando todas las constantes son reales y la solución está dada por ${\displaystyle c<b<0<a}$

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}}$

donde es la integral elíptica completa de primer tipo . ${\displaystyle K(k^{2})}$

forma limitante

A medida que aumenta el número de Reynolds ( se vuelve más grande), el flujo tiende a volverse uniforme (acercándose así a la solución de flujo potencial ), excepto en las capas límite cerca de las paredes. Dado que es grande y está dado, de la solución se desprende que debe ser grande, por lo tanto . Pero cuando , la solución se vuelve ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\sim 1}$ ${\displaystyle k\approx 1}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} t\approx \tanh t,\ c\approx b,\ a\approx -2b}$

${\displaystyle F(\theta )=b\left\{3\tanh ^{2}\left[{\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}(\alpha -\theta )+\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right]-2\right\}.}$

Está claro que en todas partes excepto en la capa límite de espesor . El flujo de volumen es tal que las capas límite tienen un espesor clásico . ${\displaystyle F\approx b}$ ${\displaystyle O\left({\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}\right)}$ ${\displaystyle Q/\nu \approx 2\alpha b}$ ${\displaystyle |Re|=O(|b|)}$ ${\displaystyle O\left(|Re|^{1/2}\right)}$

Referencias

1. Jeffery, GB "L. El movimiento constante bidimensional de un fluido viscoso". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín 29.172 (1915): 455–465.
2. Hamel, Georg. "Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
3. von Kármán y Levi-Civita . "Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik". (1922)
4. Walter Tollmien "Handbuch der Experimentalphysik, vol. 4". (1931): 257.
5. Fritz Noether "Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, vol. 5". Leipzig, JA Barch (1931): 733.
6. Dean, WR "LXXII. Nota sobre el flujo divergente de fluido". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín 18.121 (1934): 759–777.
7. Louis Rosenhead "El flujo radial bidimensional constante de un fluido viscoso entre dos paredes planas inclinadas". Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería. vol. 175. No. 963. La Sociedad de la Realeza, 1940.
8. Lev Landau y EM Lifshitz . "Mecánica de fluidos Pérgamo". Nueva York 61 (1959).
9. Licenciado en GK . Una introducción a la dinámica de fluidos. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2000.
10. Fraenkel, LE (1962). Flujo laminar en canales simétricos con paredes ligeramente curvadas, I. Sobre las soluciones de Jeffery-Hamel para flujo entre paredes planas. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas, 267(1328), 119-138.
11. Whitham, GB "Capítulo III de capas límite laminares". (1963): 122.
12. Rosenhead, Luis, ed. Capas límite laminares. Prensa de Clarendon, 1963.
13. Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. No. 334. Cambridge University Press, 2006.
14. Jeffreys, Harold, Bertha Swirles y Philip M. Morse. "Métodos de la física matemática". (1956): 32–34.