Ecuación integral de Fredholm

En matemáticas , la ecuación integral de Fredholm es una ecuación integral cuya solución da lugar a la teoría de Fredholm , el estudio de los núcleos de Fredholm y los operadores de Fredholm . La ecuación integral fue estudiada por Ivar Fredholm . Un método útil para resolver tales ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .

Ecuación del primer tipo

Una ecuación de Fredholm es una ecuación integral en la que el término que contiene la función kernel (definida a continuación) tiene constantes como límites de integración. Una forma estrechamente relacionada es la ecuación integral de Volterra , que tiene límites integrales variables.

Una ecuación de Fredholm no homogénea del primer tipo se escribe como

${\displaystyle g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s~,}$

y el problema es, dada la función kernel continua y la función , encontrar la función . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Un caso importante de este tipo de ecuaciones es el caso cuando el núcleo es una función solo de la diferencia de sus argumentos, es decir , y los límites de integración son ±∞, entonces el lado derecho de la ecuación se puede reescribir como una convolución de las funciones y y por lo tanto, formalmente, la solución está dada por ${\displaystyle K(t,s)=K(t-s)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega }$

donde y son las transformadas de Fourier directa e inversa , respectivamente. Este caso no se incluiría típicamente bajo el paraguas de las ecuaciones integrales de Fredholm, un nombre que normalmente se reserva para cuando el operador integral define un operador compacto (los operadores de convolución en grupos no compactos no son compactos, ya que, en general, el espectro del operador de convolución con contiene el rango de , que normalmente es un conjunto no contable, mientras que los operadores compactos tienen espectros contables discretos). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{K}}$

Ecuación de segundo tipo

Una ecuación de Fredholm no homogénea del segundo tipo se da como

${\displaystyle \varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.}$

Dado el núcleo y la función , el problema suele ser encontrar la función . ${\displaystyle K(t,s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

Un enfoque estándar para resolver esto es utilizar la iteración, lo que equivale al formalismo resolutivo ; escrita como una serie, la solución se conoce como la serie de Liouville-Neumann .

Teoría general

La teoría general que sustenta las ecuaciones de Fredholm se conoce como teoría de Fredholm . Uno de los principales resultados es que el núcleo K produce un operador compacto . La compacidad se puede demostrar invocando la equicontinuidad . Como operador, tiene una teoría espectral que se puede entender en términos de un espectro discreto de valores propios que tienden a 0.

Aplicaciones

Las ecuaciones de Fredholm surgen de forma natural en la teoría del procesamiento de señales , por ejemplo, como el famoso problema de concentración espectral popularizado por David Slepian . Los operadores involucrados son los mismos que los de los filtros lineales . También surgen comúnmente en el modelado directo lineal y en problemas inversos . En física, la solución de tales ecuaciones integrales permite relacionar los espectros experimentales con varias distribuciones subyacentes, por ejemplo, la distribución de masa de polímeros en una masa fundida polimérica, ^[1] o la distribución de tiempos de relajación en el sistema. ^[2] Además, las ecuaciones integrales de Fredholm también surgen en problemas de mecánica de fluidos que involucran interacciones hidrodinámicas cerca de interfaces elásticas de tamaño finito . ^{[3] [4]}

Una aplicación específica de la ecuación de Fredholm es la generación de imágenes fotorrealistas en gráficos de computadora, en las que la ecuación de Fredholm se utiliza para modelar el transporte de luz desde las fuentes de luz virtuales hasta el plano de la imagen. La ecuación de Fredholm a menudo se denomina ecuación de renderizado en este contexto.

Véase también

• Serie de Liouville-Neumann
• Ecuación integral de Volterra
• Alternativa a Fredholm

Referencias

1. Honerkamp, ​​J.; Weese, J. (1990). "Método de regularización de Tikhonov para problemas mal planteados". Mecánica del medio continuo y termodinámica . 2 (1): 17–30. Bibcode :1990CMT.....2...17H. doi :10.1007/BF01170953.
2. Schäfer, H.; Sternin, E.; Stannarius, R.; Arndt, M.; Kremer, F. (18 de marzo de 1996). "Nuevo enfoque para el análisis de espectros dieléctricos de banda ancha". Physical Review Letters . 76 (12): 2177–2180. Bibcode :1996PhRvL..76.2177S. doi :10.1103/PhysRevLett.76.2177. PMID  10060625.
3. Daddi-Moussa-Ider, A.; Kaoui, B.; Löwen, H. (9 de abril de 2019). "Flujo axisimétrico debido a un Stokeslet cerca de una membrana elástica de tamaño finito". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . doi :10.7566/JPSJ.88.054401.
4. Daddi-Moussa-Ider, A. (25 de noviembre de 2020). "Flujo de Stokes asimétrico inducido por una fuerza puntual transversal que actúa cerca de una membrana elástica de tamaño finito". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . doi :10.7566/JPSJ.89.124401.

Lectura adicional

• Ecuaciones integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• AD Polyanin y AV Manzhirov, Manual de ecuaciones integrales , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 
• Khvedelidze, BV; Litvinov, GL (2001) [1994], "Núcleo de Fredholm", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Simons, FJ; Wieczorek, MA; Dahlen, FA (2006). "Concentración espacioespectral en una esfera". SIAM Review . 48 (3): 504–536. arXiv : math/0408424 . Bibcode :2006SIAMR..48..504S. doi :10.1137/S0036144504445765.
• Slepian, D. (1983). "Algunos comentarios sobre análisis de Fourier, incertidumbre y modelado". SIAM Review . 25 (3): 379–393. doi :10.1137/1025078.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 19.1. Ecuaciones de Fredholm del segundo tipo". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8Archivado desde el original el 11-08-2011 . Consultado el 17-08-2011 .
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Métodos matemáticos de la física (2.ª ed.), Nueva York: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1 

Enlaces externos

• IntEQ: un paquete de Python para resolver numéricamente ecuaciones integrales de Fredholm