Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo

La ecuación de la velocidad de la humedad del suelo ^[1] describe la velocidad a la que el agua se mueve verticalmente a través del suelo no saturado bajo las acciones combinadas de la gravedad y la capilaridad, un proceso conocido como infiltración . La ecuación es una forma alternativa de la ecuación de Richardson/Richards . ^{[2] [3]} La diferencia clave es que la variable dependiente es la posición del frente de humectación , que es una función del tiempo, el contenido de agua y las propiedades del medio. La ecuación de la velocidad de la humedad del suelo consta de dos términos. El primer término "similar a una advección" se desarrolló para simular la infiltración superficial ^[4] y se extendió al nivel freático, ^[5] que se verificó utilizando datos recopilados en una columna experimental que siguió el modelo del famoso experimento de Childs & Poulovassilis ( 1962) ^[6] y contra soluciones exactas. ^{[7] [1]} ${\displaystyle z}$

Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo

La ecuación de velocidad de la humedad del suelo ^[1] o SMVE es una reinterpretación lagrangiana de la ecuación de Eulerian Richards en la que la variable dependiente es la posición z de un frente de humectación de un contenido de humedad particular con el tiempo. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

dónde:

${\displaystyle z}$es la coordenada vertical [L] (positiva hacia abajo),

${\displaystyle \theta }$es el contenido de agua del suelo en un punto [-]

${\displaystyle K(\theta )}$es la conductividad hidráulica insaturada [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi (\theta )}$es la altura de presión capilar [L],

${\displaystyle D(\theta )}$es la difusividad del agua del suelo, que se define como: , [L ² T] ${\displaystyle K(\theta )\partial \psi /\partial \theta }$

${\displaystyle t}$es el tiempo [T].

El primer término en el lado derecho de la SMVE se llama término "tipo advección", mientras que el segundo término se llama término "tipo difusión". El término de advección de la ecuación de la velocidad de la humedad del suelo es particularmente útil para calcular el avance de los frentes de humectación de un líquido que invade un medio poroso insaturado bajo la acción combinada de la gravedad y la capilaridad porque se puede convertir en una ecuación diferencial ordinaria al despreciar la difusión. -término similar. ^[5] y evita el problema del volumen elemental representativo mediante el uso de un método de solución y discretización fina del contenido de agua.

Esta ecuación se convirtió en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ^[5] usando el método de líneas ^[8] para convertir las derivadas parciales en el lado derecho de la ecuación en formas apropiadas en diferencias finitas . Estas tres EDO representan la dinámica del agua infiltrada, la caída de babosas y el agua subterránea capilar, respectivamente.

Derivación

Esta derivación de la ecuación 1-D de velocidad de humedad del suelo ^[1] para calcular el flujo vertical de agua en la zona vadosa comienza con la conservación de la masa para un medio poroso insaturado sin fuentes ni sumideros: ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.}$

A continuación insertamos el flujo insaturado de Buckingham-Darcy: ^[9]

${\displaystyle q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}+K(\theta ),}$

dando la ecuación de Richards ^[2] en forma mixta porque incluye tanto el contenido de agua como la cabeza capilar : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right)\right]}$.

Aplicando la regla de la cadena de diferenciación al lado derecho de la ecuación de Richards:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))}$.

Suponiendo que las relaciones constitutivas para la conductividad hidráulica insaturada y la capilaridad del suelo son funciones únicamente del contenido de agua y , respectivamente: ${\displaystyle K=K(\theta )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}}$.

Esta ecuación define implícitamente una función que describe la posición de un contenido de humedad particular dentro del suelo utilizando una discretización finita del contenido de humedad. Empleando el teorema de la función implícita , que por la regla cíclica requería dividir ambos lados de esta ecuación entre para realizar el cambio de variable, dando como resultado: ${\displaystyle Z_{R}(\theta ,t)}$ ${\displaystyle {-\partial \theta }/{\partial z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )}$,

que se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]}$.

Insertando la definición de difusividad del agua del suelo:

${\displaystyle D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

en la ecuación anterior se obtiene:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Si consideramos la velocidad de un contenido de agua particular , entonces podemos escribir la ecuación en la forma de Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo : ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Significado físico

Escrita en forma de contenido de humedad, la ecuación 1-D de Richards es ^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta )}{\partial z}}}$

Donde D ( θ ) [L ² /T] es 'la difusividad del agua del suelo' como se definió anteriormente.

Tenga en cuenta que, como variable dependiente, la interpretación física es difícil porque todos los factores que afectan la divergencia del flujo están envueltos en el término de difusividad de la humedad del suelo . Sin embargo, en la SMVE, los tres factores que impulsan el flujo se encuentran en términos separados que tienen significado físico. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle D(\theta )}$

Los supuestos principales utilizados en la derivación de la ecuación de la velocidad de la humedad del suelo son esos y no son demasiado restrictivos. Los resultados analíticos y experimentales muestran que estas suposiciones son aceptables en la mayoría de las condiciones en suelos naturales. En este caso, la ecuación de la velocidad de la humedad del suelo es equivalente a la ecuación de Richards unidimensional, aunque con un cambio en la variable dependiente. Este cambio de variable dependiente es conveniente porque reduce la complejidad del problema porque en comparación con la ecuación de Richards , que requiere el cálculo de la divergencia del flujo, la SMVE representa un cálculo de flujo, no un cálculo de divergencia. El primer término en el lado derecho del SMVE representa los dos impulsores escalares del flujo, la gravedad y la capilaridad integrada del frente humectante. Considerando solo ese término, la SMVE queda como: ${\displaystyle K=K(\theta )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]}$

donde es el gradiente de cabeza capilar que impulsa el flujo y el término de conductividad restante representa la capacidad de la gravedad para conducir el flujo a través del suelo. Este término es responsable de la verdadera advección del agua a través del suelo bajo las influencias combinadas de la gravedad y la capilaridad. Como tal, se denomina término "similar a una advección". ${\displaystyle {\partial \psi (\theta )}/{\partial z}}$ ${\displaystyle K'(\theta )}$

Despreciando la gravedad y la capilaridad del frente de humectación escalar, podemos considerar solo el segundo término en el lado derecho de la SMVE. En este caso la ecuación de la velocidad de la humedad del suelo queda como:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Este término es sorprendentemente similar a la segunda ley de difusión de Fick . Por esta razón, este término se denomina término "difusión" de la SMVE.

Este término representa el flujo debido a la forma del frente humectante , dividido por el gradiente espacial de la cabeza capilar . Al observar este término similar a la difusión, es razonable preguntarse ¿cuándo podría ser insignificante? La primera respuesta es que este término será cero cuando la primera derivada , porque la segunda derivada será igual a cero. Un ejemplo en el que esto ocurre es en el caso de un perfil de humedad hidrostático en equilibrio, cuando z se define como positivo hacia arriba. Este es un resultado físicamente realista porque se sabe que un perfil de humedad hidrostático en equilibrio no produce flujos. ${\displaystyle -D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}}$ ${\displaystyle {\partial \psi /\partial z}}$ ${\displaystyle <\partial \psi /\partial z=C}$ ${\displaystyle \partial \psi /\partial z=-1}$

Otro caso en el que el término de difusión será casi cero es en el caso de frentes de humectación agudos, donde el denominador del término de difusión hace que el término desaparezca. En particular, los frentes de humectación agudos son notoriamente difíciles de resolver y resolver con precisión con los solucionadores de ecuaciones numéricas tradicionales de Richards. ^[11] ${\displaystyle \partial \psi /\partial z\to \infty }$

Finalmente, en el caso de suelos secos, tiende a , por lo que la difusividad del agua del suelo también tiende a cero. En este caso, el término de difusión no produciría ningún flujo. ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D(\theta )}$

La comparación con las soluciones exactas de la ecuación de Richards para la infiltración en suelos idealizados desarrollada por Ross y Parlange (1994) ^[12] reveló ^[1] que, de hecho, descuidar el término similar a la difusión resultó en una precisión >99% en la infiltración acumulada calculada. Este resultado indica que el término advectivo del SMVE, convertido en una ecuación diferencial ordinaria usando el método de líneas, es una solución EDO precisa del problema de infiltración. Esto es consistente con el resultado publicado por Ogden et al. ^[5] quienes encontraron errores en la infiltración acumulada simulada del 0,3% utilizando 263 cm de lluvia tropical durante una simulación de 8 meses para impulsar simulaciones de infiltración que compararon la solución SMVE similar a la advección con la solución numérica de la ecuación de Richards.

Solución

El término de advección del SMVE se puede resolver utilizando el método de líneas y una discretización del contenido de humedad finita . Esta solución del término de advección SMVE reemplaza la ecuación PDE de Richards unidimensional con un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE). Estas tres EDO son:

Frentes de infiltración

Frentes de infiltración en un dominio de contenido de agua finito

Con referencia a la Figura 1, el agua que se infiltra en la superficie terrestre puede fluir a través del espacio poroso entre y . Usando el método de líneas para convertir el término advectivo SMVE en una EDO: ${\displaystyle \theta _{d}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Dado que cualquier profundidad de agua estancada en la superficie terrestre es , se emplea el supuesto de Green y Ampt (1911) ^{[13] ,} ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

representa el gradiente de cabeza capilar que impulsa el flujo en la discretización o "contenedor". Por tanto, la ecuación finita del contenido de agua en el caso de frentes de infiltración es: ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

babosas que caen

Babosas que caen en el dominio finito del contenido de agua. El agua en cada contenedor se considera una babosa separada.

Después de que cesa la lluvia y toda el agua superficial se infiltra, el agua de los contenedores que contienen frentes de infiltración se desprende de la superficie terrestre. Suponiendo que la capilaridad en los bordes inicial y posterior de esta 'babosa de agua que cae' está equilibrada, entonces el agua cae a través del medio con la conductividad incremental asociada con el recipiente: ${\displaystyle j^{\text{th}}\ \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$.

Este enfoque para resolver la solución libre de capilares es muy similar a la aproximación de ondas cinemáticas.

Frentes capilares de aguas subterráneas

Frentes capilares de aguas subterráneas en un dominio de contenido de agua finito

En este caso, el flujo de agua hacia el recipiente se produce entre el recipiente j e i . Por lo tanto, en el contexto del método de líneas : ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

cuyos rendimientos:

${\displaystyle \left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

Tenga en cuenta el "-1" entre paréntesis, que representa el hecho de que la gravedad y la capilaridad actúan en direcciones opuestas. El rendimiento de esta ecuación se verificó ^[7] utilizando un experimento de columna diseñado a partir del de Childs y Poulovassilis (1962). ^[6] Los resultados de esa validación mostraron que el método de cálculo del flujo de la zona vadosa con contenido de agua finito funcionó de manera comparable a la solución numérica de la ecuación de Richards. La foto muestra el aparato. Los datos de este experimento de columna están disponibles haciendo clic en este DOI vinculado. Estos datos son útiles para evaluar modelos de dinámica del nivel freático cercano a la superficie.

Es de destacar que el término de advección SMVE resuelto utilizando el método del contenido de humedad finito evita por completo la necesidad de estimar el rendimiento específico . Calcular el rendimiento específico a medida que el nivel freático se acerca a la superficie terrestre se vuelve engorroso debido a las no linealidades. Sin embargo, el SMVE resuelto utilizando una discretización finita del contenido de humedad esencialmente hace esto automáticamente en el caso de un nivel freático dinámico cerca de la superficie.

Experimento de columna utilizado para observar la respuesta de la humedad en una arena fina sobre un nivel freático en movimiento. Tenga en cuenta el depósito de carga constante controlado por motor paso a paso (cubo blanco).

Aviso y premios

El editor destacó el artículo sobre la ecuación de la velocidad de la humedad del suelo en la edición de J. Adv. Modelado de sistemas terrestres cuando el artículo se publicó por primera vez y es de dominio público. Cualquiera puede descargar el documento gratuitamente aquí. El artículo que describe la solución finita de contenido de humedad del término similar a advección de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo fue seleccionado para recibir el premio Coolest Paper Award 2015 por parte de los miembros iniciales de su carrera de la Asociación Internacional de Hidrogeólogos .

Referencias

1. Ogden, FL, MB Allen, W.Lai, J. Zhu, CC Douglas, M. Seo y CA Talbot, 2017. La ecuación de la velocidad de la humedad del suelo, J. Adv. Modelado del sistema terrestre. https://doi.org/10.1002/2017MS000931
2. Richardson, LF (1922), Predicción del tiempo mediante proceso numérico, Universidad de Cambridge. Press, Cambridge, Reino Unido, págs. 108. en línea: https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich, consultado el 23 de marzo de 2018.
3. Richards, LA (1931), Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos, J. Appl. Física. , 1(5), 318–333.
4. Talbot, CA y FL Ogden (2008), Un método para calcular la infiltración y redistribución en un dominio de contenido de humedad discretizado, Water Resour. Res. , 44(8), doi: 10.1029/2008WR006815.
5. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke, J. Zhu, CA Talbot y JL Wilson (2015), Un nuevo método general de solución de zona vadosa 1-D, Water Resour.Res. , 51, doi:10.1002/2015WR017126.
6. Childs, EC y A. Poulovassilis (1962), El perfil de humedad sobre un nivel freático en movimiento, Soil Sci. J., 13(2), 271–285.
7. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke y J. Zhu (2015b), Validación del método de dinámica de la zona vadosa con contenido finito de agua mediante experimentos en columnas con un nivel freático en movimiento y flujo superficial aplicado, Water Resour. Res. , 10.1002/2014WR016454.
8. Griffiths, Graham; Schiesser, William; Hamdi, Samir (2007). "Método de líneas". Scholarpedia . 2 (7): 2859. Código bibliográfico : 2007SchpJ...2.2859H. doi : 10.4249/scholarpedia.2859 .
9. Jurado, WA y R. Horton, 2004. Física del suelo. John Wiley e hijos.
10. Philip, JR, 1957. Teoría de la infiltración 1: La ecuación de infiltración y su solución. Ciencia del suelo. 83(5):345-357.
11. Farthing, MW y Ogden, FL (2017). Solución numérica de la ecuación de Richards: una revisión de avances y desafíos. Sociedad de Ciencias del Suelo de América J.
12. Ross, PJ y J.-Y. Parlange, 1994. Comparación de soluciones exactas y numéricas de Richards para infiltración y drenaje unidimensionales, Soil Sci. 157(6):341-344.
13. Green, WH y GA Ampt (1911), Estudios sobre física del suelo, 1, El flujo de aire y agua a través de los suelos, J. Agric. Ciencia. , 4(1), 1–24.

enlaces externos

• Video de YouTube de una solución basada en SMVE ralentizada durante la lluvia para resaltar el comportamiento, con un nivel freático fijo a 1,0 m y evapotranspiración desde una zona de raíces de 0,5 m.