Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo

La ecuación de velocidad de la humedad del suelo ^[1] describe la velocidad a la que el agua se mueve verticalmente a través del suelo no saturado bajo las acciones combinadas de la gravedad y la capilaridad, un proceso conocido como infiltración . La ecuación es una forma alternativa de la ecuación de Richardson/Richards . ^{[2] [3]} La diferencia clave es que la variable dependiente es la posición del frente de humectación , que es una función del tiempo, el contenido de agua y las propiedades del medio. La ecuación de velocidad de la humedad del suelo consta de dos términos. El primer término "similar a la advección" se desarrolló para simular la infiltración superficial ^[4] y se extendió al nivel freático, ^[5] lo que se verificó utilizando datos recopilados en un experimento de columna que se diseñó según el famoso experimento de Childs y Poulovassilis (1962) ^[6] y contra soluciones exactas. ^{[7] [1]} ${\displaystyle z}$

Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo

La ecuación de velocidad de la humedad del suelo ^[1] o SMVE es una reinterpretación lagrangiana de la ecuación de Eulerian Richards en la que la variable dependiente es la posición z de un frente de humectación de un contenido de humedad particular con el tiempo. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

dónde:

${\displaystyle z}$es la coordenada vertical [L] (positiva hacia abajo),

${\displaystyle \theta }$es el contenido de agua del suelo en un punto [-]

${\displaystyle K(\theta )}$es la conductividad hidráulica no saturada [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi (\theta )}$es la carga de presión capilar [L],

${\displaystyle D(\theta )}$es la difusividad del agua del suelo, que se define como: , [L ² T] ${\displaystyle K(\theta )\partial \psi /\partial \theta }$

${\displaystyle t}$es tiempo [T].

El primer término del lado derecho de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo se denomina término "similar a la advección", mientras que el segundo término se denomina término "similar a la difusión". El término similar a la advección de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo es particularmente útil para calcular el avance de los frentes de humectación de un líquido que invade un medio poroso no saturado bajo la acción combinada de la gravedad y la capilaridad porque es convertible a una ecuación diferencial ordinaria al descuidar el término similar a la difusión. ^[5] y evita el problema del volumen elemental representativo mediante el uso de un método de discretización y solución del contenido de agua fino.

Esta ecuación se convirtió en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ^[5] utilizando el método de líneas ^[8] para convertir las derivadas parciales del lado derecho de la ecuación en formas de diferencias finitas apropiadas . Estas tres EDO representan la dinámica de la infiltración de agua, la caída de babosas y el agua subterránea capilar, respectivamente.

Derivación

Esta derivación de la ecuación de velocidad de humedad del suelo 1-D ^[1] para calcular el flujo vertical de agua en la zona vadosa comienza con la conservación de la masa para un medio poroso no saturado sin fuentes ni sumideros: ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.}$

A continuación insertamos el flujo Buckingham-Darcy no saturado: ^[9]

${\displaystyle q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}+K(\theta ),}$

produciendo la ecuación de Richards ^[2] en forma mixta porque incluye tanto el contenido de agua como la carga capilar : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right)\right]}$.

Aplicando la regla de la cadena de diferenciación al lado derecho de la ecuación de Richards:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))}$.

Suponiendo que las relaciones constitutivas para la conductividad hidráulica no saturada y la capilaridad del suelo son únicamente funciones del contenido de agua, y , respectivamente: ${\displaystyle K=K(\theta )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}}$.

Esta ecuación define implícitamente una función que describe la posición de un contenido de humedad particular dentro del suelo utilizando una discretización de contenido de humedad finito. Al emplear el teorema de la función implícita , que según la regla cíclica requería dividir ambos lados de esta ecuación por para realizar el cambio de variable, se obtiene: ${\displaystyle Z_{R}(\theta ,t)}$ ${\displaystyle {-\partial \theta }/{\partial z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )}$,

que puede escribirse como:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]}$.

Insertando la definición de difusividad del agua del suelo:

${\displaystyle D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

en la ecuación anterior se produce:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Si consideramos la velocidad de un contenido particular de agua , entonces podemos escribir la ecuación en forma de ecuación de velocidad de humedad del suelo : ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Importancia física

Escrita en forma de contenido de humedad, la ecuación de Richards 1-D es ^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta )}{\partial z}}}$

Donde D ( θ ) [L ² /T] es 'la difusividad del agua del suelo' como se definió anteriormente.

Tenga en cuenta que, con la variable dependiente, la interpretación física es difícil porque todos los factores que afectan la divergencia del flujo están incluidos en el término de difusividad de la humedad del suelo . Sin embargo, en la SMVE, los tres factores que impulsan el flujo están en términos separados que tienen importancia física. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle D(\theta )}$

Los supuestos principales utilizados en la derivación de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo son que y no son demasiado restrictivos. Los resultados analíticos y experimentales muestran que estos supuestos son aceptables en la mayoría de las condiciones en suelos naturales. En este caso, la ecuación de velocidad de la humedad del suelo es equivalente a la ecuación de Richards 1-D, aunque con un cambio en la variable dependiente. Este cambio de variable dependiente es conveniente porque reduce la complejidad del problema porque, en comparación con la ecuación de Richards , que requiere el cálculo de la divergencia del flujo, la SMVE representa un cálculo de flujo, no un cálculo de divergencia. El primer término en el lado derecho de la SMVE representa los dos impulsores escalares del flujo, la gravedad y la capilaridad integrada del frente de humectación. Considerando solo ese término, la SMVE se convierte en: ${\displaystyle K=K(\theta )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]}$

donde es el gradiente de carga capilar que impulsa el flujo y el término de conductividad restante representa la capacidad de la gravedad para conducir el flujo a través del suelo. Este término es responsable de la verdadera advección del agua a través del suelo bajo las influencias combinadas de la gravedad y la capilaridad. Como tal, se lo denomina término "similar a la advección". ${\displaystyle {\partial \psi (\theta )}/{\partial z}}$ ${\displaystyle K'(\theta )}$

Si no se tienen en cuenta la gravedad ni la capilaridad del frente de humectación escalar, podemos considerar únicamente el segundo término del lado derecho del SMVE. En este caso, la ecuación de velocidad de la humedad del suelo se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Este término es sorprendentemente similar a la segunda ley de difusión de Fick . Por este motivo, se lo denomina término "similar a la difusión" del SMVE.

Este término representa el flujo debido a la forma del frente de humectación , dividido por el gradiente espacial de la carga capilar . Al observar este término similar a la difusión, es razonable preguntar cuándo podría ser insignificante este término. La primera respuesta es que este término será cero cuando la primera derivada , porque la segunda derivada será igual a cero. Un ejemplo donde esto ocurre es en el caso de un perfil de humedad hidrostático de equilibrio, cuando con z definido como positivo hacia arriba. Este es un resultado físicamente realista porque se sabe que un perfil de humedad hidrostático de equilibrio no produce flujos. ${\displaystyle -D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}}$ ${\displaystyle {\partial \psi /\partial z}}$ ${\displaystyle <\partial \psi /\partial z=C}$ ${\displaystyle \partial \psi /\partial z=-1}$

Otro caso en el que el término de difusión será casi cero es en el caso de frentes húmedos agudos, donde el denominador del término de difusión es , lo que hace que el término desaparezca. Cabe destacar que los frentes húmedos agudos son notoriamente difíciles de resolver y de resolver con precisión con los solucionadores de ecuaciones numéricas tradicionales de Richards. ^[11] ${\displaystyle \partial \psi /\partial z\to \infty }$

Finalmente, en el caso de suelos secos, tiende hacia , lo que hace que la difusividad del agua del suelo tienda también hacia cero. En este caso, el término similar a la difusión no produciría flujo. ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D(\theta )}$

La comparación con soluciones exactas de la ecuación de Richards para la infiltración en suelos idealizados desarrollada por Ross y Parlange (1994) ^[12] reveló ^[1] que, de hecho, descuidar el término similar a la difusión resultó en una precisión >99% en la infiltración acumulada calculada. Este resultado indica que el término similar a la advección de la SMVE, convertido en una ecuación diferencial ordinaria utilizando el método de líneas, es una solución EDO precisa del problema de infiltración. Esto es consistente con el resultado publicado por Ogden et al. ^[5] quienes encontraron errores en la infiltración acumulada simulada de 0.3% utilizando 263 cm de lluvia tropical durante una simulación de 8 meses para impulsar simulaciones de infiltración que compararon la solución SMVE similar a la advección con la solución numérica de la ecuación de Richards.

Solución

El término de tipo advectivo del SMVE se puede resolver utilizando el método de líneas y una discretización de contenido de humedad finito . Esta solución del término de tipo advectivo del SMVE reemplaza la ecuación de Richards 1-D (EDP) por un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Estas tres EDO son:

Frentes de infiltración

Frentes de infiltración en dominios con contenido finito de agua

Con referencia a la Figura 1, el agua que se infiltra en la superficie terrestre puede fluir a través del espacio poroso entre y . Utilizando el método de líneas para convertir el término de tipo advección SMVE en una EDO: ${\displaystyle \theta _{d}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Dado que cualquier profundidad de agua estancada en la superficie terrestre es , se emplea el supuesto de Green y Ampt (1911) ^{[13] ,} ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

representa el gradiente de carga capilar que impulsa el flujo en la discretización o "bin". Por lo tanto, la ecuación de contenido de agua finita en el caso de frentes de infiltración es: ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

Babosas que caen

Babosas que caen en el dominio de contenido finito de agua. El agua en cada contenedor se considera una babosa separada.

Una vez que cesa la lluvia y se infiltra toda el agua superficial, el agua de los depósitos que contienen frentes de infiltración se desprende de la superficie terrestre. Suponiendo que la capilaridad en los bordes delantero y trasero de esta "gota de agua que cae" está equilibrada, entonces el agua cae a través del medio con la conductividad incremental asociada con el depósito: ${\displaystyle j^{\text{th}}\ \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$.

Este enfoque para resolver la solución sin capilares es muy similar a la aproximación de la onda cinemática.

Frentes de aguas subterráneas capilares

Frentes capilares de aguas subterráneas en dominios con contenido finito de agua

En este caso, el flujo de agua hacia el contenedor se produce entre el contenedor j y el i . Por lo tanto, en el contexto del método de líneas : ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

Lo cual produce:

${\displaystyle \left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

Nótese el "-1" entre paréntesis, que representa el hecho de que la gravedad y la capilaridad actúan en direcciones opuestas. El desempeño de esta ecuación se verificó ^[7] utilizando un experimento de columna diseñado a partir del de Childs y Poulovassilis (1962). ^[6] Los resultados de esa validación mostraron que el método de cálculo del flujo de la zona vadosa con contenido finito de agua funcionó de manera comparable a la solución numérica de la ecuación de Richards. La foto muestra el aparato. Los datos de este experimento de columna están disponibles haciendo clic en este DOI con enlace directo. Estos datos son útiles para evaluar modelos de dinámica de la capa freática cercana a la superficie.

Cabe destacar que el término de tipo advección del SMVE resuelto mediante el método de contenido de humedad finito evita por completo la necesidad de estimar el rendimiento específico . Calcular el rendimiento específico a medida que el nivel freático se acerca a la superficie terrestre resulta complicado debido a las no linealidades. Sin embargo, el SMVE resuelto mediante una discretización de contenido de humedad finito esencialmente lo hace automáticamente en el caso de un nivel freático dinámico cerca de la superficie.

Experimento de columna utilizado para observar la respuesta de la humedad en una arena fina sobre un nivel freático en movimiento. Nótese el depósito de carga constante controlado por motor paso a paso (balde blanco).

Avisos y premios

El artículo sobre la ecuación de velocidad de la humedad del suelo fue destacado por el editor en el número de J. Adv. Modeling of Earth Systems cuando se publicó por primera vez, y es de dominio público. Cualquiera puede descargarlo gratuitamente aquí. El artículo que describe la solución de contenido de humedad finito del término similar a la advección de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo fue seleccionado para recibir el premio al mejor artículo de 2015 por los miembros jóvenes de la Asociación Internacional de Hidrogeólogos .

Referencias

1. Ogden, FL, MB Allen, W.Lai, J. Zhu, CC Douglas, M. Seo y CA Talbot, 2017. La ecuación de velocidad de la humedad del suelo, J. Adv. Modeling Earth Syst. https://doi.org/10.1002/2017MS000931
2. Richardson, LF (1922), Weather Prediction by Numerical Process, Cambridge Univ. Press, Cambridge, Reino Unido, págs. 108. En línea: https://archive.org/details/weatherpredictio00richrich. Consultado el 23 de marzo de 2018.
3. Richards, LA (1931), Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos, J. Appl. Phys. , 1(5), 318–333.
4. Talbot, CA y FL Ogden (2008), Un método para calcular la infiltración y la redistribución en un dominio de contenido de humedad discretizado, Water Resour. Res. , 44(8), doi: 10.1029/2008WR006815.
5. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke, J. Zhu, CA Talbot y JL Wilson (2015), Un nuevo método general de solución de zona vadosa 1-D, Water Resour.Res. , 51, doi:10.1002/2015WR017126.
6. Childs, EC, y A. Poulovassilis (1962), El perfil de humedad por encima de un nivel freático en movimiento, Soil Sci. J., 13(2), 271–285.
7. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke y J. Zhu (2015b), Validación del método de dinámica de zona vadosa con contenido finito de agua utilizando experimentos de columna con un nivel freático en movimiento y flujo de superficie aplicado, Water Resour. Res. , 10.1002/2014WR016454.
8. Griffiths, Graham; Schiesser, William; Hamdi, Samir (2007). "Método de líneas". Scholarpedia . 2 (7): 2859. Bibcode :2007SchpJ...2.2859H. doi : 10.4249/scholarpedia.2859 .
9. Jury, WA y R. Horton, 2004. Física del suelo. John Wiley & Sons.
10. Philip, JR, 1957. Teoría de la infiltración 1: La ecuación de infiltración y su solución. Soil Sci. 83(5):345-357.
11. Farthing, MW y Ogden, FL (2017). Solución numérica de la ecuación de Richards: una revisión de avances y desafíos. Soil Science Society of America J.
12. Ross, PJ y J.-Y. Parlange, 1994. Comparación de soluciones exactas y numéricas de Richards para infiltración y drenaje unidimensionales, Soil Sci. 157(6):341-344.
13. Green, WH y GA Ampt (1911), Estudios sobre física del suelo, 1, El flujo de aire y agua a través de los suelos, J. Agric. Sci. , 4(1), 1–24.

Enlaces externos

• Vídeo de YouTube de una solución basada en SMVE que se ralentiza durante las lluvias para resaltar el comportamiento, con un nivel freático fijo a 1,0 m y una evapotranspiración de una zona de raíces de 0,5 m