Ecuación del flujo de agua subterránea

La ecuación de flujo de agua subterránea , utilizada en hidrogeología , es la relación matemática que se utiliza para describir el flujo de agua subterránea a través de un acuífero . El flujo transitorio de agua subterránea se describe mediante una forma de la ecuación de difusión , similar a la que se utiliza en transferencia de calor para describir el flujo de calor en un sólido ( conducción de calor ). El flujo de agua subterránea en estado estacionario se describe mediante una forma de la ecuación de Laplace , que es una forma de flujo potencial y tiene análogos en numerosos campos.

La ecuación de flujo de agua subterránea se deriva a menudo para un pequeño volumen elemental representativo (REV), donde se supone que las propiedades del medio son efectivamente constantes. Se realiza un balance de masa sobre el agua que fluye dentro y fuera de este pequeño volumen, y los términos de flujo en la relación se expresan en términos de altura mediante el uso de la ecuación constitutiva llamada ley de Darcy , que requiere que el flujo sea laminar. Otros enfoques se basan en modelos basados ​​en agentes para incorporar el efecto de acuíferos complejos como rocas kársticas o fracturadas (es decir, volcánicas) ^[1]

Balance de masa

Se debe realizar un balance de masa y utilizarlo junto con la ley de Darcy para llegar a la ecuación de flujo transitorio de agua subterránea. Este balance es análogo al balance de energía utilizado en la transferencia de calor para llegar a la ecuación de calor . Es simplemente una declaración de contabilidad de que para un volumen de control dado, además de las fuentes o sumideros, la masa no se puede crear ni destruir. La conservación de la masa establece que, para un incremento de tiempo dado ( Δt ), la diferencia entre la masa que fluye hacia adentro a través de los límites, la masa que fluye hacia afuera a través de los límites y las fuentes dentro del volumen, es el cambio en el almacenamiento.

${\displaystyle {\frac {\Delta M_{stor}}{\Delta t}}={\frac {M_{in}}{\Delta t}}-{\frac {M_{out}}{\Delta t}}-{\frac {M_{gen}}{\Delta t}}}$

Ecuación de difusión (flujo transitorio)

La masa se puede representar como densidad multiplicada por volumen y, en la mayoría de las condiciones, el agua se puede considerar incompresible (la densidad no depende de la presión). Los flujos de masa a través de los límites se convierten entonces en flujos de volumen (como se encuentran en la ley de Darcy ). Utilizando la serie de Taylor para representar los términos de flujo de entrada y salida a través de los límites del volumen de control, y utilizando el teorema de divergencia para convertir el flujo a través del límite en un flujo sobre todo el volumen, la forma final de la ecuación de flujo de agua subterránea (en forma diferencial) es:

${\displaystyle S_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot q-G.}$

Esta ecuación, conocida en otros campos como ecuación de difusión o ecuación de calor, es una ecuación diferencial parcial (EDP) parabólica. Esta afirmación matemática indica que el cambio en la carga hidráulica con el tiempo (lado izquierdo) es igual a la divergencia negativa del flujo ( q ) y los términos fuente ( G ). Esta ecuación tiene como incógnitas tanto la carga como el flujo, pero la ley de Darcy relaciona el flujo con las cargas hidráulicas, por lo que sustituirla por el flujo ( q ) da como resultado

${\displaystyle S_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot (-K\nabla h)-G.}$

Ahora bien, si la conductividad hidráulica ( K ) es espacialmente uniforme e isótropa (en lugar de un tensor ), se puede sacar de la derivada espacial, simplificándola al Laplaciano , esto hace que la ecuación

${\displaystyle S_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=K\nabla ^{2}h-G.}$

Dividiendo por el almacenamiento específico ( S _s ), se obtiene la difusividad hidráulica ( α = K/S _s o, equivalentemente, α = T/S ) en el lado derecho. La difusividad hidráulica es proporcional a la velocidad a la que se propagará un pulso de presión finito a través del sistema (valores altos de α conducen a una propagación rápida de señales). La ecuación de flujo de agua subterránea se convierte entonces en

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}h-G.}$

Donde el término sumidero/fuente, G , ahora tiene las mismas unidades pero está dividido por el término de almacenamiento apropiado (según lo definido por la sustitución de difusividad hidráulica).

Coordenadas cartesianas rectangulares

Cuadrícula de diferencias finitas tridimensional utilizada en MODFLOW

Especialmente cuando se utilizan modelos de diferencias finitas de cuadrícula rectangular ( por ejemplo, MODFLOW , creado por el USGS ), trabajamos con coordenadas cartesianas . En estas coordenadas, el operador laplaciano general se convierte (para flujo tridimensional) específicamente

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha \left[{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial z^{2}}}\right]-G.}$

El código MODFLOW discretiza y simula una forma ortogonal en 3D de la ecuación de flujo de agua subterránea que rige el sistema. Sin embargo, tiene una opción para ejecutarse en un modo "cuasi-3D" si el usuario así lo desea; en este caso, el modelo se ocupa de los promedios verticales de T y S , en lugar de k y S _s . En el modo cuasi-3D, el flujo se calcula entre capas horizontales 2D utilizando el concepto de fuga.

Coordenadas cilíndricas circulares

Otro sistema de coordenadas útil son las coordenadas cilíndricas 3D (normalmente, cuando un pozo de bombeo es una fuente lineal ubicada en el origen, paralela al eje z , lo que provoca un flujo radial convergente). En estas condiciones, la ecuación anterior se convierte en ( r es la distancia radial y θ el ángulo),

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha \left[{\frac {\partial ^{2}h}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial h}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial z^{2}}}\right]-G.}$

Suposiciones

Esta ecuación representa el flujo hacia un pozo de bombeo (un sumidero de fuerza G ), ubicado en el origen. Tanto esta ecuación como la versión cartesiana anterior son la ecuación fundamental en el flujo de agua subterránea, pero para llegar a este punto se requiere una simplificación considerable. Algunas de las principales suposiciones que se tuvieron en cuenta en ambas ecuaciones son:

• El material del acuífero es incompresible (no hay cambios en la matriz debido a cambios en la presión, también conocido como hundimiento),
• El agua es de densidad constante (incompresible),
• cualquier carga externa sobre el acuífero (por ejemplo, sobrecarga , presión atmosférica ) es constante,
• Para el problema radial 1D, el pozo de bombeo está penetrando completamente en un acuífero sin fugas,
• El agua subterránea fluye lentamente ( el número de Reynolds es menor que la unidad) y
• La conductividad hidráulica ( K ) es un escalar isótropo .

A pesar de estas grandes suposiciones, la ecuación de flujo de agua subterránea representa bien la distribución de cargas en los acuíferos debido a una distribución transitoria de fuentes y sumideros.

Ecuación de Laplace (flujo en estado estacionario)

Si el acuífero tiene condiciones de contorno de recarga, se puede alcanzar un estado estable (o puede usarse como una aproximación en muchos casos), y la ecuación de difusión (arriba) se simplifica a la ecuación de Laplace .

${\displaystyle 0=\alpha \nabla ^{2}h}$

Esta ecuación establece que la carga hidráulica es una función armónica y tiene muchos análogos en otros campos. La ecuación de Laplace se puede resolver utilizando técnicas que utilizan suposiciones similares a las mencionadas anteriormente, pero con los requisitos adicionales de un campo de flujo en estado estacionario.

Un método común para la solución de estas ecuaciones en ingeniería civil y mecánica de suelos es utilizar la técnica gráfica de dibujar redes de flujo ; donde las líneas de contorno de la carga hidráulica y la función de corriente forman una cuadrícula curvilínea , lo que permite resolver geometrías complejas de manera aproximada.

El flujo en estado estacionario hacia un pozo de bombeo (que nunca ocurre realmente, pero a veces es una aproximación útil) se denomina comúnmente solución de Thiem .

Flujo de agua subterránea bidimensional

Las ecuaciones de flujo de agua subterránea anteriores son válidas para flujo tridimensional. En acuíferos libres , la solución de la forma 3D de la ecuación se complica por la presencia de una condición de contorno de nivel freático superficial libre : además de resolver la distribución espacial de las cargas, la ubicación de esta superficie también es una incógnita. Este es un problema no lineal, aunque la ecuación que lo rige es lineal.

Una formulación alternativa de la ecuación de flujo de agua subterránea puede obtenerse invocando el supuesto de Dupuit-Forchheimer , donde se supone que las cargas no varían en la dirección vertical (es decir, ). Se aplica un balance hídrico horizontal a una columna vertical larga con un área que se extiende desde la base del acuífero hasta la superficie no saturada. Esta distancia se conoce como el espesor saturado, b . En un acuífero confinado , el espesor saturado está determinado por la altura del acuífero, H , y la carga de presión es distinta de cero en todas partes. En un acuífero libre , el espesor saturado se define como la distancia vertical entre la superficie del nivel freático y la base del acuífero. Si , y la base del acuífero está en el dato cero, entonces el espesor saturado libre es igual a la carga, es decir, b=h . ${\displaystyle \partial h/\partial z=0}$ ${\displaystyle \delta x\delta y}$ ${\displaystyle \partial h/\partial z=0}$

Suponiendo que tanto la conductividad hidráulica como los componentes horizontales del flujo son uniformes a lo largo de todo el espesor saturado del acuífero (es decir, y ), podemos expresar la ley de Darcy en términos de descargas de agua subterránea integradas , Q _x y Q _y : ${\displaystyle \partial q_{x}/\partial z=0}$ ${\displaystyle \partial K/\partial z=0}$

${\displaystyle Q_{x}=\int _{0}^{b}q_{x}dz=-Kb{\frac {\partial h}{\partial x}}}$

${\displaystyle Q_{y}=\int _{0}^{b}q_{y}dz=-Kb{\frac {\partial h}{\partial y}}}$

Al insertarlos en nuestra expresión de balance de masa , obtenemos la ecuación general 2D que rige el flujo de agua subterránea saturada incompresible:

${\displaystyle {\frac {\partial nb}{\partial t}}=\nabla \cdot (Kb\nabla h)+N.}$

Donde n es la porosidad del acuífero . El término fuente, N (longitud por tiempo), representa la adición de agua en la dirección vertical (por ejemplo, recarga). Al incorporar las definiciones correctas de espesor saturado, almacenamiento específico y rendimiento específico , podemos transformar esto en dos ecuaciones de gobierno únicas para condiciones confinadas y no confinadas:

${\displaystyle S{\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot (Kb\nabla h)+N.}$

(confinado), donde S=S _s b es la capacidad de almacenamiento del acuífero y

${\displaystyle S_{y}{\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot (Kh\nabla h)+N.}$

_{(sin confinar )} , donde Sy es el rendimiento específico del acuífero.

Obsérvese que la ecuación diferencial parcial en el caso no confinado no es lineal, mientras que es lineal en el caso confinado. Para el flujo en estado estable no confinado, esta no linealidad se puede eliminar expresando la EDP en términos del cuadrado de la altura:

${\displaystyle \nabla \cdot (K\nabla h^{2})=-2N.}$

O, para acuíferos homogéneos,

${\displaystyle \nabla ^{2}h^{2}=-{\frac {2N}{K}}.}$

Esta formulación nos permite aplicar métodos estándar para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales en el caso de flujo no confinado. Para acuíferos heterogéneos sin recarga, se pueden aplicar métodos de flujo potencial para casos mixtos confinados/no confinados.

Véase también

• Método de elementos analíticos
  • Un método numérico utilizado para la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
• Supuesto de Dupuit-Forchheimer
  • Una simplificación de la ecuación de flujo de agua subterránea con respecto al flujo vertical
• Balance energético de las aguas subterráneas
  • Ecuaciones de flujo de agua subterránea basadas en el balance energético
• Ecuación de Richards

Referencias

1. Corona, Óliver López; Padilla, Pablo; Escolero, Óscar; González, Tomás; Morales-Casique, Eric; Osorio-Olvera, Luis (16 de octubre de 2014). "Sistemas complejos de flujo de aguas subterráneas como modelos de agentes viajeros". PeerJ . 2 : e557. doi : 10.7717/peerj.557 . ISSN  2167-8359. PMC  4203025 . PMID  25337455.

Lectura adicional

• HF Wang y MP Anderson Introducción al modelado de aguas subterráneas: métodos de elementos finitos y diferencias finitas
  • Una excelente lectura para principiantes sobre modelado de aguas subterráneas. Abarca todos los conceptos básicos, con ejemplos simples en FORTRAN 77 .
• Freeze, R. Allan; Cherry, John A. (1979). Aguas subterráneas Archivado el 6 de abril de 2020 en Wayback Machine . Prentice Hall. ISBN 978-0133653120 . 

Enlaces externos

• Software de aguas subterráneas del USGS: software gratuito de modelado de aguas subterráneas como MODFLOW
• Hidrología de aguas subterráneas ( MIT OpenCourseware )