Partícula en un potencial simétrico esférico

Modelo mecánico cuántico

Orbitales atómicos del hidrógeno de diferentes niveles de energía. Las zonas más opacas son aquellas en las que es más probable encontrar un electrón en un momento dado.

En mecánica cuántica , un potencial esféricamente simétrico es un sistema cuyo potencial depende únicamente de la distancia radial desde el centro esférico y de una ubicación en el espacio. Una partícula en un potencial esféricamente simétrico se comportará de acuerdo con dicho potencial y, por lo tanto, puede utilizarse como una aproximación, por ejemplo, del electrón en un átomo de hidrógeno o de la formación de enlaces químicos . ^[1]

En el caso general independiente del tiempo, la dinámica de una partícula en un potencial esféricamente simétrico está gobernada por un hamiltoniano de la siguiente forma: Aquí, es la masa de la partícula, es el operador de momento , y el potencial depende solo de la magnitud vectorial del vector de posición, es decir, la distancia radial desde el origen (de ahí la simetría esférica del problema). $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({r})}$$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle V(r)}$

Para describir una partícula en un sistema esféricamente simétrico, es conveniente utilizar coordenadas esféricas ; denotadas por , y . La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el sistema es entonces una ecuación diferencial parcial separable . Esto significa que las soluciones para las dimensiones angulares de la ecuación se pueden encontrar independientemente de la dimensión radial. Esto deja una ecuación diferencial ordinaria en términos únicamente del radio, , que determina los estados propios para el potencial particular, . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$

Estructura de las funciones propias

Si se resuelve por separación de variables , los estados propios del sistema tendrán la forma: en la que los ángulos esféricos y representan el ángulo polar y azimutal , respectivamente. Esos dos factores de se suelen agrupar juntos como armónicos esféricos , de modo que las funciones propias toman la forma: $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}$$

La ecuación diferencial que caracteriza la función se llama ecuación radial . ${\displaystyle R(r)}$

Derivación de la ecuación radial

El operador de energía cinética en coordenadas polares esféricas es: Los armónicos esféricos satisfacen Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger obtenemos una ecuación de valor propio unidimensional, Esta ecuación se puede reducir a una ecuación de Schrödinger 1-D equivalente sustituyendo , donde satisface que es precisamente la ecuación de Schrödinger unidimensional con un potencial efectivo dado por donde . La corrección al potencial V ( r ) se llama término de barrera centrífuga . $${\displaystyle {\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}\,r^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\hat {L}}^{2}\right].}$$ $${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\equiv \left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}R+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(r)\right]R=0.}$$ ${\displaystyle R(r)=u(r)/r}$ ${\displaystyle u(r)}$ $${\displaystyle {d^{2}u \over dr^{2}}+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V_{\mathrm {eff} }(r)\right]u=0}$$ $${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}},}$$ ${\displaystyle r\in [0,\infty )}$

Si , entonces cerca del origen, . ${\textstyle \lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0}$ ${\displaystyle R\sim r^{\ell }}$

Hamiltonianos de simetría esférica

Dado que el hamiltoniano es esféricamente simétrico, se dice que es invariante bajo rotación, es decir:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)={\hat {H}}}$

Como los operadores de momento angular son generadores de rotación, aplicando el Lema de Baker-Campbell-Hausdorff obtenemos:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)=e^{\frac {i{\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\theta }{\hbar }}{\hat {H}}e^{\frac {-i{\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\theta }{\hbar }}={\hat {H}}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}\right]+{\frac {1}{2!}}\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}\right)^{2}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}\right]\right]+\cdots ={\hat {H}}}$

Como esta ecuación es válida para todos los valores de , obtenemos que , o que cada componente del momento angular conmuta con el hamiltoniano. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}]=0}$

Dado que y son operadores que conmutan mutuamente y que también conmutan con el hamiltoniano, las funciones de onda se pueden expresar como o donde se utiliza para etiquetar diferentes funciones de onda. ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle |\alpha ;\ell ,m\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha ;\ell ,m}(r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Dado que también conmuta con el hamiltoniano, los valores propios de la energía en tales casos son siempre independientes de . ${\textstyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\alpha ;\ell ,m\rangle =E_{\alpha ;\ell }|\alpha ;\ell ,m\rangle }$$

Combinado con el hecho de que los operadores diferenciales sólo actúan sobre las funciones de y , se demuestra que si se supone que las soluciones son separables como , la función de onda radial siempre puede elegirse independientemente de los valores. Por lo tanto, la función de onda se expresa como: ^[2] ${\textstyle L_{\pm }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle R(r)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \psi _{\alpha ;\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=R(r)_{\alpha ;\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}$$

Soluciones para potenciales de interés

Hay cinco casos de especial importancia:

1. ${\displaystyle V(r)=0}$, o resolver el vacío en base a armónicos esféricos, que sirve de base para otros casos.
2. ${\displaystyle V(r)=V_{0}}$(finito) para y cero en otro lugar. ${\displaystyle r<r_{0}}$
3. ${\displaystyle V(r)=0}$para y en otro lugar infinito, el equivalente esférico del pozo cuadrado , útil para describir estados ligados en un núcleo o punto cuántico. ${\displaystyle r<r_{0}}$
4. ${\displaystyle V(r)\propto r^{2}}$para el oscilador armónico isotrópico tridimensional.
5. ${\displaystyle V(r)\propto {\frac {1}{r}}}$para describir estados ligados de átomos similares al hidrógeno .

En estos casos se plantean las soluciones, que deberán compararse con sus contrapartes en coordenadas cartesianas , cf. partícula en una caja .

Estados de la caja de vacío

Consideremos ahora . Al introducir las variables adimensionales, la ecuación se convierte en una ecuación de Bessel para : donde las soluciones regulares para energías positivas se dan mediante las llamadas funciones de Bessel de primera clase, de modo que las soluciones escritas para son las llamadas funciones de Bessel esféricas ${\displaystyle V(r)=0}$ $${\displaystyle \rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}},}$$ ${\displaystyle J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)}$ $${\displaystyle \rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0}$$ ${\displaystyle J_{\ell +1/2}(\rho )}$ ${\displaystyle R(r)}$

${\textstyle R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr)}$.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares en el vacío están así etiquetadas por tres números cuánticos: índices discretos ℓ y m , y k que varían continuamente en : Estas soluciones representan estados de momento angular definido, en lugar de momento definido (lineal), que son proporcionados por ondas planas . ${\displaystyle [0,\infty )}$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

Esfera con potencial "cuadrado" finito

Consideremos el potencial para y en cualquier otro lugar, es decir, dentro de una esfera de radio el potencial es igual a y es cero fuera de la esfera. Un potencial con una discontinuidad finita de este tipo se denomina potencial cuadrado. ^[3] ${\displaystyle V(r)=V_{0}}$ ${\displaystyle r<r_{0}}$ ${\displaystyle V(r)=0}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

En primer lugar, consideramos los estados ligados, es decir, los estados en los que la partícula se encuentra mayoritariamente dentro de la caja (estados confinados). Estos tienen una energía menor que el potencial fuera de la esfera, es decir, tienen energía negativa. También vale la pena notar que, a diferencia del potencial de Coulomb, que presenta una cantidad infinita de estados ligados discretos, el pozo cuadrado esférico tiene solo una cantidad finita (si es que tiene alguna) debido a su rango finito. ${\displaystyle E}$

La resolución sigue esencialmente la del caso de vacío anterior con la normalización de la función de onda total añadida, resolviendo dos ecuaciones de Schrödinger (dentro y fuera de la esfera) del tipo anterior, es decir, con potencial constante. Las siguientes restricciones deben cumplirse para una función de onda física normalizable:

1. La función de onda debe ser regular en el origen.
2. La función de onda y su derivada deben ser continuas en la discontinuidad potencial.
3. La función de onda debe converger en el infinito.

La primera restricción proviene del hecho de que las funciones de Neumann y Hankel son singulares en el origen. El requisito físico que debe definirse en todas partes seleccionó la función de Bessel de primera especie sobre las otras posibilidades en el caso del vacío. Por la misma razón, la solución será de esta especie dentro de la esfera: Nótese que para los estados ligados, . Los estados ligados aportan la novedad en comparación con el caso del vacío ahora que . Esto, junto con la tercera restricción, selecciona la función de Hankel de primera especie como la única solución convergente en el infinito (la singularidad en el origen de estas funciones no importa ya que ahora estamos fuera de la esfera): La segunda restricción sobre la continuidad de en junto con la normalización permite la determinación de constantes y . La continuidad de la derivada (o derivada logarítmica por conveniencia) requiere la cuantificación de la energía. ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}.}$$ ${\displaystyle V_{0}<E<0}$ ${\displaystyle E<0}$ $${\displaystyle R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Esfera con potencial "cuadrado" infinito

En el caso en que el pozo de potencial sea infinitamente profundo, de modo que podamos tomar dentro y fuera de la esfera, el problema se convierte en el de hacer coincidir la función de onda dentro de la esfera (las funciones de Bessel esféricas ) con la función de onda idénticamente cero fuera de la esfera. Las energías permitidas son aquellas para las que la función de onda radial se desvanece en el límite. Por lo tanto, utilizamos los ceros de las funciones de Bessel esféricas para encontrar el espectro de energía y las funciones de onda. Llamando al k ^ésimo cero de , tenemos: de modo que el problema se reduce a los cálculos de estos ceros , típicamente mediante el uso de una tabla o calculadora, ya que estos ceros no son solucionables para el caso general. ${\displaystyle V_{0}=0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle u_{\ell ,k}}$ ${\displaystyle j_{\ell }}$ $${\displaystyle E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}}$$ ${\displaystyle u_{\ell ,k}}$

En el caso especial (orbitales esféricos simétricos), la función esférica de Bessel es , cuyos ceros se pueden expresar fácilmente como . Sus valores propios de energía son, por tanto: ${\displaystyle \ell =0}$ ${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle u_{0,k}=k\pi }$ $${\displaystyle E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}}$$

Oscilador armónico isotrópico 3D

El potencial de un oscilador armónico isótropo 3D es Un oscilador armónico isótropo N -dimensional tiene las energías es decir, es un número entero no negativo; es la (misma) frecuencia fundamental de los modos del oscilador. En este caso , de modo que la ecuación radial de Schrödinger se convierte en, $${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.}$$ $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right)\quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=3}$ $${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.}$$

Introduciendo y recordando que , demostraremos que la ecuación radial de Schrödinger tiene la solución normalizada, donde la función es un polinomio de Laguerre generalizado de orden . $${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}}$$ ${\displaystyle u(r)=rR(r)}$ $${\displaystyle R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),}$$ ${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})}$ ${\displaystyle yr^{2}}$ ${\displaystyle k}$

La constante de normalización es, ${\displaystyle N_{nl}}$ $${\displaystyle N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.}$$

La función propia está asociada con la energía , donde Este es el mismo resultado que el oscilador armónico cuántico , con . ${\displaystyle R_{nl}(r)}$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\text{with}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \gamma =2\nu }$

Derivación

Primero transformamos la ecuación radial mediante unas cuantas sustituciones sucesivas en la ecuación diferencial generalizada de Laguerre, que tiene soluciones conocidas: las funciones generalizadas de Laguerre. Luego normalizamos las funciones generalizadas de Laguerre a la unidad. Esta normalización se realiza con el elemento de volumen habitual r ² d r .

Primero escalamos la coordenada radial y luego la ecuación queda con . $${\displaystyle y={\sqrt {\gamma }}r\quad {\text{with}}\quad \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }},}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-y^{2}+2n+3\right]v(y)=0}$$ ${\textstyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)}$

La consideración del comportamiento límite de v ( y ) en el origen y en el infinito sugiere la siguiente sustitución para v ( y ) , Esta sustitución transforma la ecuación diferencial en donde dividimos por , lo que se puede hacer siempre que y no sea cero. $${\displaystyle v(y)=y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}f(y).}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+2\left({\frac {\ell +1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2\ell \right]f(y)=0,}$$ ${\displaystyle y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}}$

Transformación en polinomios de Laguerre

Si se utiliza la sustitución , , y los operadores diferenciales se convierten en y ${\displaystyle x=y^{2}}$ ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}},}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}.}$$

La expresión entre corchetes que se multiplica se convierte en la ecuación diferencial que caracteriza la ecuación de Laguerre generalizada (véase también la ecuación de Kummer ): con . ${\displaystyle f(y)}$ $${\displaystyle x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)+1-x\right){\frac {dg}{dx}}+{\frac {1}{2}}(n-\ell )g(x)=0}$$ ${\displaystyle g(x)\equiv f({\sqrt {x}})}$

Si se proporciona un número entero no negativo, las soluciones de estas ecuaciones son polinomios de Laguerre generalizados (asociados). ${\displaystyle k\equiv (n-\ell )/2}$ $${\displaystyle g(x)=L_{k}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(x).}$$

De las condiciones en se deduce que (i) y (ii) y son ambos pares o impares. Esto conduce a la condición en dada anteriormente. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\geq \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

Recuperación de la función de onda radial normalizada

Recordando que , obtenemos la solución radial normalizada: ${\displaystyle u(r)=rR(r)}$ $${\displaystyle R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}).}$$

La condición de normalización para la función de onda radial es: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}|R(r)|^{2}\,dr=1.}$$

Sustituyendo , se obtiene y la ecuación se convierte en: ${\displaystyle q=\gamma r^{2}}$ ${\displaystyle dq=2\gamma r\,dr}$ $${\displaystyle {\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\int _{0}^{\infty }q^{\ell +{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(q)\right]^{2}\,dq=1.}$$

Al hacer uso de las propiedades de ortogonalidad de los polinomios de Laguerre generalizados , esta ecuación se simplifica a: $${\displaystyle {\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\frac {\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell +1)+1\right]}}{\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!}}=1.}$$

Por lo tanto, la constante de normalización se puede expresar como: $${\displaystyle N_{n\ell }={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}\,\left({\frac {n-\ell }{2}}\right)!}{\Gamma {\left({\frac {n+\ell }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}}}$$

Se pueden derivar otras formas de la constante de normalización utilizando propiedades de la función gamma , teniendo en cuenta que y tienen la misma paridad. Esto significa que siempre es par, por lo que la función gamma se convierte en: donde utilizamos la definición del factorial doble . Por lo tanto, la constante de normalización también viene dada por: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n+l}$ $${\displaystyle \Gamma \left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {n+\ell }{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!!}{2^{{\frac {n+\ell }{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!}{2^{n+\ell +1}\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}},}$$ $${\displaystyle N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{3 \over 2}}\left[{1 \over 2}(n-\ell )\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell )\right]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+\ell +1)!}}\right]^{1 \over 2}={\sqrt {2}}\left({\frac {\gamma }{\pi }}\right)^{1 \over 4}\,({2\gamma })^{\ell \over 2}\,{\sqrt {\frac {2\gamma (n-\ell )!!}{(n+\ell +1)!!}}}.}$$

Átomos similares al hidrógeno

Un átomo hidrogénico (similar al hidrógeno) es un sistema de dos partículas que consta de un núcleo y un electrón. Las dos partículas interactúan a través del potencial dado por la ley de Coulomb : donde $${\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}}$$

• ε ₀ es la permitividad del vacío,
• Z es el número atómico ( eZ es la carga del núcleo),
• e es la carga elemental (carga del electrón),
• r es la distancia entre el electrón y el núcleo.

Para simplificar la ecuación de Schrödinger, introducimos las siguientes constantes que definen la unidad atómica de energía y longitud:

$${\displaystyle E_{\textrm {h}}=\mu \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}.}$$

donde es la masa reducida en el límite. Sustituimos y en la ecuación radial de Schrödinger dada anteriormente. Esto da una ecuación en la que están ocultas todas las constantes naturales. Existen dos clases de soluciones de esta ecuación: ${\displaystyle \mu \approx m_{e}}$ ${\displaystyle m_{e}\ll m_{nucleus}}$ ${\displaystyle y=Zr/a_{0}}$ ${\displaystyle W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})}$ $${\displaystyle \left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.}$$

(i) es negativo, las funciones propias correspondientes son integrables al cuadrado y los valores de están cuantificados (espectro discreto). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

(ii) no es negativo, cada valor real no negativo de está físicamente permitido (espectro continuo), las funciones propias correspondientes no son integrables al cuadrado. Considerar solo las soluciones de clase (i) restringe las soluciones a funciones de onda que son estados ligados , en contraste con las soluciones de clase (ii) que se conocen como estados de dispersión . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Para las soluciones de clase (i) con W negativo la cantidad es real y positiva. La escala de , es decir, la sustitución de da como resultado la ecuación de Schrödinger: ${\displaystyle \alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\equiv \alpha y}$ $${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{with }}x\geq 0.}$$

Para las potencias inversas de x son despreciables y la solución normalizable (y por lo tanto, física) para grandes es . De manera similar, para la potencia inversa del cuadrado domina y la solución física para pequeñas es x ^{ℓ +1} . Por lo tanto, para obtener una solución de rango completo sustituimos ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp[-x/2]}$ ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell }(x).}$$

La ecuación para se convierte en, ${\displaystyle f_{l}(x)}$ $${\displaystyle \left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\alpha }}.}$$

Si se proporciona un entero no negativo, esta ecuación tiene soluciones polinómicas escritas como que son polinomios de Laguerre generalizados de orden . La energía se convierte en ${\displaystyle n-\ell -1}$ $${\displaystyle L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.}$$

El número cuántico principal satisface . Dado que , la función de onda radial total es con normalización que absorbe términos adicionales de a través de ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq \ell +1}$ ${\displaystyle \alpha =2/n}$ $${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),}$$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ $${\displaystyle N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \over 2},}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)\right]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.}$$

La energía correspondiente es $${\displaystyle E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .}$$

Referencias

1. Ruedenberg, Klaus; Schmidt, Michael W. (12 de marzo de 2009). "Comprensión física a través del razonamiento variacional: intercambio de electrones y enlaces covalentes". The Journal of Physical Chemistry A . 113 (10): 1954–1968. doi :10.1021/jp807973x. ISSN  1089-5639. PMID  19228050.
2. Littlejohn, Robert G. «Physics 221A: Central Force Motion» (PDF) . Archivado (PDF) del original el 8 de diciembre de 2023. Consultado el 18 de febrero de 2024 .
3. A. Messiah, Mecánica cuántica , vol. I, pág. 78, North Holland Publishing Company, Ámsterdam (1967). Traducción del francés de GM Temmer
4. H. Margenau y GM Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry , Van Nostrand, 2.ª edición (1956), pág. 130. Nótese que la convención del polinomio de Laguerre en este libro difiere de la actual. Si indicamos el Laguerre en la definición de Margenau y Murphy con una barra en la parte superior, tenemos . ${\displaystyle {\bar {L}}_{n+k}^{(k)}=(-1)^{k}(n+k)!L_{n}^{(k)}}$