El problema de los puntos , también llamado problema de la división de las apuestas , es un problema clásico de la teoría de la probabilidad . Uno de los famosos problemas que motivaron los inicios de la teoría de la probabilidad moderna en el siglo XVII, llevó a Blaise Pascal al primer razonamiento explícito sobre lo que hoy se conoce como valor esperado .
El problema se refiere a un juego de azar en el que dos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar cada ronda. Los jugadores contribuyen de forma igualitaria a un bote de premios y acuerdan de antemano que el primer jugador que gane un determinado número de rondas se quedará con todo el premio. Supongamos ahora que el juego se interrumpe por circunstancias externas antes de que ninguno de los jugadores haya conseguido la victoria. ¿Cómo se reparte entonces el bote de forma justa? Se entiende tácitamente que la división debería depender de algún modo del número de rondas ganadas por cada jugador, de modo que el jugador que esté cerca de ganar se lleve una parte mayor del bote. Pero el problema no es simplemente de cálculo; también implica decidir qué es realmente una división "justa".
Luca Pacioli consideró este problema en su libro de texto de 1494 Summa de arithmetica, geométrica, proporción y proporcionalidad . Su método consistía en dividir las apuestas en proporción al número de rondas ganadas por cada jugador, y el número de rondas necesarias para ganar no entraba en sus cálculos en absoluto. [1]
A mediados del siglo XVI , Niccolò Tartaglia se dio cuenta de que el método de Pacioli conduce a resultados contraintuitivos si la partida se interrumpe cuando solo se ha jugado una ronda. En ese caso, la regla de Pacioli otorgaría el bote completo al ganador de esa única ronda, aunque una ventaja de una ronda al principio de una partida larga está lejos de ser decisiva. Tartaglia construyó un método que evita ese problema particular al basar la división en la relación entre el tamaño de la ventaja y la duración de la partida. [1] Sin embargo, esta solución no está exenta de problemas; en una partida a 100 divide las apuestas de la misma manera para una ventaja de 65-55 que para una ventaja de 99-89, aunque la primera sigue siendo una partida relativamente abierta, mientras que en la segunda situación la victoria del jugador que va ganando es casi segura. El propio Tartaglia no estaba seguro de si el problema era solucionable de una manera que convenciera a ambos jugadores de su imparcialidad: "sea cual sea la forma en que se haga la división, habrá causa para litigio". [2]
El problema volvió a surgir alrededor de 1654, cuando Chevalier de Méré se lo planteó a Blaise Pascal . Pascal discutió el problema en su correspondencia con Pierre de Fermat . A través de esta discusión, Pascal y Fermat no solo proporcionaron una solución convincente y coherente a este problema, sino que también desarrollaron conceptos que todavía son fundamentales para la teoría de la probabilidad.
La idea inicial de Pascal y Fermat fue que la división no debería depender tanto de la historia de la parte de la partida interrumpida que realmente tuvo lugar, sino de las posibles formas en que la partida podría haber continuado, si no se hubiera interrumpido. Es intuitivamente claro que un jugador con una ventaja de 7-5 en una partida a 10 tiene la misma probabilidad de ganar finalmente que un jugador con una ventaja de 17-15 en una partida a 20, y por lo tanto Pascal y Fermat pensaron que la interrupción en cualquiera de las dos situaciones debería conducir a la misma división de las apuestas. En otras palabras, lo que es importante no es el número de rondas que cada jugador ha ganado hasta ahora, sino el número de rondas que cada jugador todavía necesita ganar para lograr la victoria general.
Fermat razonó así: [3] Si un jugador necesita más rondas para ganar y el otro necesita , seguramente alguien habrá ganado el juego después de rondas adicionales. Por lo tanto, imaginemos que los jugadores jugaran más rondas; en total, estas rondas tienen diferentes resultados posibles. En algunos de estos futuros posibles, el juego en realidad se habrá decidido en menos de rondas, pero no hace daño imaginar que los jugadores continúan jugando sin ningún propósito. Considerar solo futuros igualmente largos tiene la ventaja de que uno se convence fácilmente de que cada una de las posibilidades es igualmente probable. Fermat pudo así calcular las probabilidades de que cada jugador ganara, simplemente escribiendo una tabla de todas las continuaciones posibles y contando cuántas de ellas llevarían a que cada jugador ganara. Fermat ahora consideró que era obviamente justo dividir las apuestas en proporción a esas probabilidades.
La solución de Fermat, ciertamente "correcta" según los estándares actuales, fue mejorada por Pascal de dos maneras. En primer lugar, Pascal elaboró un argumento más elaborado por el cual la división resultante debería considerarse justa. En segundo lugar, mostró cómo calcular la división correcta de manera más eficiente que el método tabular de Fermat, que se vuelve completamente impráctico (sin computadoras modernas) si es mayor que aproximadamente 10.
En lugar de considerar únicamente la probabilidad de ganar todo el juego restante, Pascal ideó un principio de pasos más pequeños: supongamos que los jugadores hubieran podido jugar solo una ronda más antes de ser interrumpidos, y que ya habíamos decidido cómo dividir equitativamente las apuestas después de esa ronda más (posiblemente porque esa ronda permite que uno de los jugadores gane). La ronda adicional imaginada puede conducir a uno de dos futuros posibles con diferentes divisiones justas de las apuestas, pero como los dos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar la siguiente ronda, deberían dividir la diferencia entre las dos divisiones futuras de manera uniforme. De esta manera, el conocimiento de las soluciones justas en juegos con menos rondas restantes se puede utilizar para calcular soluciones justas para juegos con más rondas restantes. [4]
Es más fácil convencerse de que este principio es justo que de la tabla de futuros posibles de Fermat, que son doblemente hipotéticos porque hay que imaginar que el juego a veces continúa después de haber sido ganado. El análisis de Pascal en este caso es uno de los primeros ejemplos de uso de valores esperados en lugar de probabilidades al razonar sobre la probabilidad. Poco después, esta idea se convertiría en la base del primer tratado sistemático sobre probabilidad de Christiaan Huygens . Más tarde, el concepto moderno de probabilidad surgió del uso de valores esperados por parte de Pascal y Huygens.
La aplicación directa de la regla paso a paso de Pascal es significativamente más rápida que el método de Fermat cuando quedan muchas rondas. Sin embargo, Pascal pudo utilizarla como punto de partida para desarrollar métodos computacionales más avanzados. Mediante una hábil manipulación de identidades que involucran lo que hoy se conoce como el triángulo de Pascal (incluidas varias de las primeras demostraciones explícitas por inducción ), Pascal finalmente demostró que en un juego donde el jugador a necesita r puntos para ganar y el jugador b necesita s puntos para ganar, la división correcta de las apuestas entre el jugador a (lado izquierdo) y b (lado derecho) es (usando notación moderna):
El problema de dividir las apuestas se convirtió en un importante ejemplo motivador para Pascal en su Tratado sobre el triángulo aritmético . [4] [5]
Aunque la derivación de este resultado por parte de Pascal fue independiente del método tabular de Fermat, está claro que también describe exactamente el recuento de diferentes resultados de rondas adicionales que Fermat sugirió.
