En la teoría de la probabilidad y la estadística , un ensayo de Bernoulli (o ensayo binomial ) es un experimento aleatorio con exactamente dos resultados posibles , "éxito" y "fracaso", en el que la probabilidad de éxito es la misma cada vez que se realiza el experimento. [1] Lleva el nombre de Jacob Bernoulli , un matemático suizo del siglo XVII, que los analizó en su Ars Conjectandi (1713). [2]
La formalización matemática del ensayo de Bernoulli se conoce como proceso de Bernoulli . Este artículo ofrece una introducción elemental al concepto, mientras que el artículo sobre el proceso de Bernoulli ofrece un tratamiento más avanzado.
Dado que un juicio de Bernoulli sólo tiene dos resultados posibles, puede formularse como una pregunta de "sí o no". Por ejemplo:
Por lo tanto, el éxito y el fracaso son meras etiquetas para los dos resultados y no deben interpretarse literalmente. El término "éxito" en este sentido consiste en que el resultado cumpla condiciones específicas; No es un juicio de valor. De manera más general, dado cualquier espacio de probabilidad , para cualquier evento (conjunto de resultados), se puede definir un ensayo de Bernoulli, correspondiente a si el evento ocurrió o no (evento o evento complementario ). Ejemplos de ensayos de Bernoulli incluyen:
Los ensayos repetidos independientes de un experimento con exactamente dos resultados posibles se denominan ensayos de Bernoulli. Llame a uno de los resultados "éxito" y al otro "fracaso". Sea la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli y sea la probabilidad de fracaso. Entonces la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman uno, ya que son eventos complementarios: "éxito" y "fracaso" son mutuamente excluyentes y exhaustivos . Así, se tienen las siguientes relaciones:
Alternativamente, se pueden expresar en términos de probabilidades : dada la probabilidad de éxito y de fracaso, las probabilidades a favor son y las probabilidades en contra son . Estas también se pueden expresar como números, dividiendo, obteniendo las probabilidades a favor, y las probabilidades en contra, :
Estos son inversos multiplicativos , por lo que se multiplican a 1, con las siguientes relaciones:
En el caso de que un ensayo de Bernoulli represente un evento a partir de un número finito de resultados igualmente probables , donde uno de los resultados es un éxito y otro un fracaso, las probabilidades a favor son y las probabilidades en contra son . Esto produce las siguientes fórmulas para probabilidad y probabilidades:
Aquí las probabilidades se calculan dividiendo el número de resultados, no las probabilidades, pero la proporción es la misma, ya que estos ratios sólo difieren al multiplicar ambos términos por el mismo factor constante.
Las variables aleatorias que describen los ensayos de Bernoulli a menudo se codifican utilizando la convención de que 1 = "éxito", 0 = "fracaso".
Estrechamente relacionado con un ensayo de Bernoulli está el experimento binomial, que consta de un número fijo de ensayos de Bernoulli estadísticamente independientes , cada uno con una probabilidad de éxito , y cuenta el número de éxitos. Una variable aleatoria correspondiente a un experimento binomial se denota por y se dice que tiene una distribución binomial . La probabilidad de éxito exacto en el experimento viene dada por:
donde es un coeficiente binomial .
Las pruebas de Bernoulli también pueden conducir a distribuciones binomiales negativas (que cuentan el número de éxitos en una serie de pruebas de Bernoulli repetidas hasta que se observa un número específico de fracasos), así como a otras distribuciones.
Cuando se realizan múltiples pruebas de Bernoulli, cada una con su propia probabilidad de éxito, a veces se las denomina pruebas de Poisson . [3]
Considere el experimento sencillo en el que se lanza una moneda justa cuatro veces. Calcula la probabilidad de que exactamente dos de los lanzamientos resulten cara.
Para este experimento, definamos cara como un éxito y cruz como un fracaso. Como se supone que la moneda es justa, la probabilidad de éxito es . Por tanto, la probabilidad de fallo, , está dada por
Usando la ecuación anterior, la probabilidad de que exactamente dos lanzamientos de un total de cuatro lanzamientos resulten en cara está dada por: