Distribución logístico-logística

Distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa

En probabilidad y estadística , la distribución log-logística (conocida como distribución de Fisk en economía ) es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . Se utiliza en análisis de supervivencia como modelo paramétrico para eventos cuya tasa aumenta inicialmente y disminuye después, como, por ejemplo, la tasa de mortalidad por cáncer después del diagnóstico o tratamiento. También se ha utilizado en hidrología para modelar el caudal de los ríos y las precipitaciones , en economía como un modelo simple de la distribución de la riqueza o los ingresos , y en redes para modelar los tiempos de transmisión de datos considerando tanto la red como el software.

La distribución log-logística es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo tiene una distribución logística . Tiene una forma similar a la distribución log-normal pero tiene colas más pesadas . A diferencia de la distribución log-normal, su función de distribución acumulativa se puede escribir en forma cerrada .

Caracterización

Existen varias parametrizaciones diferentes de la distribución en uso. La que se muestra aquí proporciona parámetros razonablemente interpretables y una forma simple para la función de distribución acumulativa . ^{[4] [5]} El parámetro es un parámetro de escala y también es la mediana de la distribución. El parámetro es un parámetro de forma . La distribución es unimodal cuando y su dispersión disminuye a medida que aumenta. ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \beta >1}$ ${\displaystyle \beta }$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}$

dónde , , ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0.}$

La función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$

Parametrización alternativa

Una parametrización alternativa la da el par en analogía con la distribución logística: ${\displaystyle \mu ,s}$

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

Propiedades

Momentos

El momento bruto sólo existe cuando está dado por ^{[6] [7]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k<\beta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

donde B es la función beta . De esto se pueden derivar expresiones para la media , la varianza , la asimetría y la curtosis . Escrito para mayor comodidad, la media es ${\displaystyle b=\pi /\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

y la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

Las expresiones explícitas para la asimetría y la curtosis son largas. ^[8] Como tiende a infinito, la media tiende a , la varianza y la asimetría tienden a cero y el exceso de curtosis tiende a 6/5 (ver también las distribuciones relacionadas a continuación). ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Cuantiles

La función cuantil (función de distribución acumulativa inversa) es:

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

De ello se deduce que la mediana es , el cuartil inferior es y el cuartil superior es . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$ ${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$

Aplicaciones

Función de riesgo . Valores de como se muestra en la leyenda. ${\displaystyle \alpha =1,}$ ${\displaystyle \beta }$

Análisis de supervivencia

La distribución log-logística proporciona un modelo paramétrico para el análisis de supervivencia . A diferencia de la distribución Weibull más comúnmente utilizada , puede tener una función de riesgo no monótona : cuando la función de riesgo es unimodal (cuando  ≤ 1, el riesgo disminuye monótonamente). El hecho de que la función de distribución acumulativa se pueda escribir en forma cerrada es particularmente útil para el análisis de datos de supervivencia con censura . ^[9] La distribución log-logística se puede utilizar como base de un modelo de tiempo de falla acelerado al permitir la diferencia entre grupos, o más generalmente al introducir covariables que afectan pero no al modelar como una función lineal de las covariables. ^[10] ${\displaystyle \beta >1,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \log(\alpha )}$

La función de supervivencia es

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

y entonces la función de riesgo es

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

La distribución log-logística con parámetro de forma es la distribución marginal de los tiempos intermedios en un proceso de conteo distribuido geométricamente . ^[11] ${\displaystyle \beta =1}$

Hidrología

Distribución log-logística acumulada ajustada a las precipitaciones máximas de un día de octubre utilizando CumFreq , consulte también Ajuste de distribución

La distribución log-logística se ha utilizado en hidrología para modelar los caudales de los arroyos y las precipitaciones. ^{[4] [5]}

Los valores extremos, como la precipitación máxima diaria y el caudal fluvial mensual o anual, suelen seguir una distribución log-normal . ^[12] Sin embargo, la distribución log-normal necesita una aproximación numérica. Como la distribución log-logística, que se puede resolver analíticamente, es similar a la distribución log-normal, se puede utilizar en su lugar.

La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución log-logística a las precipitaciones máximas de un día clasificadas en octubre y muestra el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitaciones están representados por la posición de trazado r /( n +1) como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Ciencias económicas

La log-logística se ha utilizado como un modelo simple de la distribución de la riqueza o el ingreso en economía , donde se conoce como distribución de Fisk. ^[13] Su coeficiente de Gini es . ^[14] ${\displaystyle 1/\beta }$

Redes

La log-logística se ha utilizado como modelo para el período de tiempo que comienza cuando algunos datos salen de una aplicación de software de usuario en un ordenador y la respuesta es recibida por la misma aplicación después de viajar a través de otros ordenadores, aplicaciones y segmentos de red y ser procesada por ellos, la mayoría o todos ellos sin garantías de tiempo real estrictas (por ejemplo, cuando una aplicación muestra datos que provienen de un sensor remoto conectado a Internet). Se ha demostrado que es un modelo probabilístico más preciso para eso que la distribución log-normal u otras, siempre que se detecten adecuadamente los cambios abruptos de régimen en las secuencias de esos tiempos. ^[15]

Distribuciones relacionadas

• Si entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).}$
• Si entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).}$
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}$( Distribución de Dagum ).
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}$( Distribución Singh-Maddala ).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}$( Distribución beta prima ).
• Si X tiene una distribución log-logística con parámetro de escala y parámetro de forma , entonces Y  = log( X ) tiene una distribución logística con parámetro de ubicación y parámetro de escala ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \log(\alpha )}$ ${\displaystyle 1/\beta .}$
• A medida que aumenta el parámetro de forma de la distribución log-logística, su forma se asemeja cada vez más a la de una distribución logística (muy estrecha) . De manera informal: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}$

• La distribución log-logística con parámetro de forma y parámetro de escala es la misma que la distribución generalizada de Pareto con parámetro de ubicación , parámetro de forma y parámetro de escala. ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).}$

• La adición de otro parámetro (un parámetro de desplazamiento) da como resultado formalmente una distribución log-logística desplazada , pero esto suele considerarse en una parametrización diferente para que la distribución pueda limitarse por arriba o por abajo.

Generalizaciones

A veces se hace referencia a varias distribuciones diferentes como la distribución log-logística generalizada , ya que contienen la log-logística como un caso especial. ^[14] Estas incluyen la distribución Burr Tipo XII (también conocida como distribución Singh–Maddala ) y la distribución Dagum , las cuales incluyen un segundo parámetro de forma. Ambas son a su vez casos especiales de la distribución beta generalizada aún más general del segundo tipo . Otra generalización más directa de la log-logística es la distribución log-logística desplazada .

Otra distribución log-logística generalizada es la transformada log de la distribución metalog , en la que las expansiones de series de potencias en términos de se sustituyen por parámetros de distribución logística y . La distribución log-metalog resultante es altamente flexible en cuanto a su forma, tiene una PDF de forma cerrada simple y una función cuantil , se puede ajustar a los datos con mínimos cuadrados lineales y subsume la distribución log-logística en un caso especial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Véase también

• Distribuciones de probabilidad: Lista de distribuciones importantes admitidas en intervalos semi-infinitos

Referencias

1. Leemis, Larry. "Distribución log-logística" (PDF) . Colegio William & Mary.
2. Ekawati, D.; Warsono; Kurniasari, D. (2014). "Sobre los momentos, cumulantes y función característica de la distribución log-logística". IPTEK, la revista de tecnología y ciencia . 25 (3): 78–82.
3. Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de carteras y estimación de densidad" (PDF) . Anales de investigación de operaciones . 299 (1–2). Springer: 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768 . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
4. Shoukri, MM; Mian, IUM; Tracy, DS (1988), "Propiedades de muestreo de estimadores de la distribución log-logística con aplicación a datos de precipitación canadienses", The Canadian Journal of Statistics , 16 (3): 223–236, doi :10.2307/3314729, JSTOR  3314729
5. Ashkar, Fahim; Mahdi, Smail (2006), "Ajuste de la distribución log-logística mediante momentos generalizados", Journal of Hydrology , 328 (3–4): 694–703, Bibcode :2006JHyd..328..694A, doi :10.1016/j.jhydrol.2006.01.014
6. Tadikamalla, Pandu R.; Johnson, Norman L. (1982), "Sistemas de curvas de frecuencia generadas por transformaciones de variables logísticas", Biometrika , 69 (2): 461–465, CiteSeerX 10.1.1.153.9487 , doi :10.1093/biomet/69.2.461, JSTOR  2335422 
7. Tadikamalla, Pandu R. (1980), "Una mirada a Burr y distribuciones relacionadas", International Statistical Review , 48 (3): 337–344, doi :10.2307/1402945, JSTOR  1402945
8. McLaughlin, Michael P. (2001), Un compendio de distribuciones de probabilidad comunes (PDF) , pág. A–37 , consultado el 15 de febrero de 2008
9. Bennett, Steve (1983), "Modelos de regresión log-logística para datos de supervivencia", Journal of the Royal Statistical Society, Serie C , 32 (2): 165–171, doi :10.2307/2347295, JSTOR  2347295
10. Collett, Dave (2003), Modelado de datos de supervivencia en la investigación médica (2.ª ed.), CRC press, ISBN 978-1-58488-325-8
11. Di Crescenzo, Antonio; Pellerey, Franco (2019), "Algunos resultados y aplicaciones de los procesos de conteo geométrico", Metodología y computación en probabilidad aplicada , 21 (1): 203–233, doi :10.1007/s11009-018-9649-9, S2CID  254793416
12. Ritzema, HP, ed. (1994), Análisis de frecuencia y regresión, Capítulo 6 en: Principios y aplicaciones del drenaje, Publicación 16, Instituto Internacional para la Recuperación y Mejora de Tierras (ILRI), Wageningen, Países Bajos, págs. 175-224, ISBN 978-90-70754-33-4
13. Fisk, PR (1961), "La graduación de las distribuciones de ingresos", Econometrica , 29 (2): 171–185, doi :10.2307/1909287, JSTOR  1909287
14. Kleiber, C.; Kotz, S (2003), Distribuciones estadísticas de tamaño en economía y ciencias actuariales , Wiley, ISBN 978-0-471-15064-0
15. Gago-Benítez, A.; Fernández-Madrigal J.-A., Cruz-Martín, A. (2013), "Modelado log-logístico de retrasos en el flujo sensorial en telerobots en red", IEEE Sensors Journal , 13 (8), IEEE Sensors 13(8): 2944–2953, Bibcode :2013ISenJ..13.2944G, doi :10.1109/JSEN.2013.2263381, S2CID  47511693{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)