se distribuye según la distribución chi-cuadrado con k grados de libertad. Esto generalmente se denota como
La distribución chi-cuadrado tiene un parámetro: un entero positivo k que especifica el número de grados de libertad (el número de variables aleatorias que se suman, Z i s).
Introducción
La distribución chi-cuadrado se utiliza principalmente en pruebas de hipótesis y, en menor medida, para intervalos de confianza de la varianza poblacional cuando la distribución subyacente es normal. A diferencia de distribuciones más conocidas, como la distribución normal y la distribución exponencial , la distribución chi-cuadrado no se aplica con tanta frecuencia en el modelado directo de fenómenos naturales. Surge en las siguientes pruebas de hipótesis, entre otras:
También es un componente de la definición de la distribución t y la distribución F utilizadas en las pruebas t , el análisis de varianza y el análisis de regresión.
La razón principal por la que la distribución chi-cuadrado se utiliza ampliamente en las pruebas de hipótesis es su relación con la distribución normal. Muchas pruebas de hipótesis utilizan un estadístico de prueba, como el estadístico t en una prueba t . Para estas pruebas de hipótesis, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n , la distribución muestral del estadístico de prueba se acerca a la distribución normal ( teorema del límite central ). Debido a que el estadístico de prueba (como t ) tiene una distribución normal asintótica, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande, la distribución utilizada para la prueba de hipótesis puede aproximarse mediante una distribución normal. Probar hipótesis utilizando una distribución normal se entiende bien y es relativamente fácil. La distribución chi-cuadrado más simple es el cuadrado de una distribución normal estándar. Entonces, siempre que se pueda usar una distribución normal para una prueba de hipótesis, se podría usar una distribución chi-cuadrado.
Supongamos que es una variable aleatoria muestreada de la distribución normal estándar, donde la media es y la varianza es : . Ahora, considere la variable aleatoria . La distribución de la variable aleatoria es un ejemplo de distribución chi-cuadrado: . El subíndice 1 indica que esta distribución chi-cuadrado particular se construye a partir de una sola distribución normal estándar. Se dice que una distribución chi-cuadrado construida elevando al cuadrado una distribución normal estándar única tiene 1 grado de libertad. Por tanto, a medida que aumenta el tamaño de la muestra para una prueba de hipótesis, la distribución del estadístico de prueba se acerca a una distribución normal. Así como los valores extremos de la distribución normal tienen baja probabilidad (y dan valores p pequeños), los valores extremos de la distribución chi-cuadrado tienen baja probabilidad.
Una razón adicional por la que la distribución chi-cuadrado se usa ampliamente es que aparece como la distribución de muestra grande de las pruebas de razón de verosimilitud generalizada (LRT). [6] Los LRT tienen varias propiedades deseables; en particular, los LRT simples comúnmente proporcionan el mayor poder para rechazar la hipótesis nula ( lema de Neyman-Pearson ) y esto conduce también a propiedades de optimización de los LRT generalizados. Sin embargo, las aproximaciones normal y chi-cuadrado sólo son válidas asintóticamente. Por esta razón, es preferible utilizar la distribución t en lugar de la aproximación normal o la aproximación chi-cuadrado para un tamaño de muestra pequeño. De manera similar, en análisis de tablas de contingencia, la aproximación de chi-cuadrado será pobre para un tamaño de muestra pequeño, y es preferible utilizar la prueba exacta de Fisher . Ramsey muestra que la prueba binomial exacta es siempre más poderosa que la aproximación normal. [7]
Lancaster muestra las conexiones entre las distribuciones binomial, normal y chi-cuadrado de la siguiente manera. [8] De Moivre y Laplace establecieron que una distribución binomial podía aproximarse mediante una distribución normal. Específicamente mostraron la normalidad asintótica de la variable aleatoria.
donde es el número observado de éxitos en las pruebas, donde la probabilidad de éxito es y .
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene
Usando , y , esta ecuación se puede reescribir como
La expresión de la derecha tiene la forma que Karl Pearson generalizaría a la forma
dónde
= estadístico de prueba acumulativo de Pearson, que se aproxima asintóticamente a una distribución;
= el número de observaciones de tipo ;
= la frecuencia esperada (teórica) de tipo , afirmada por la hipótesis nula de que la fracción de tipo en la población es ; y = el número de celdas de la tabla. [ cita necesaria ]
En el caso de un resultado binomial (lanzar una moneda al aire), la distribución binomial puede aproximarse mediante una distribución normal (para valores suficientemente grandes ). Debido a que el cuadrado de una distribución normal estándar es la distribución chi-cuadrado con un grado de libertad, la probabilidad de un resultado como 1 cara en 10 intentos se puede aproximar ya sea usando la distribución normal directamente o la distribución chi-cuadrado para la diferencia normalizada al cuadrado entre el valor observado y el esperado. Sin embargo, muchos problemas involucran más de los dos resultados posibles de un binomio y, en cambio, requieren 3 o más categorías, lo que conduce a la distribución multinomial. Así como de Moivre y Laplace buscaron y encontraron la aproximación normal a la distribución binomial, Pearson buscó y encontró una aproximación normal multivariada degenerada a la distribución multinomial (los números en cada categoría suman el tamaño total de la muestra, que se considera fijo) . Pearson demostró que la distribución chi-cuadrado surgió de una aproximación normal multivariada a la distribución multinomial, teniendo en cuenta cuidadosamente la dependencia estadística (correlaciones negativas) entre el número de observaciones en diferentes categorías. [8]
En un caso especial esta función tiene la forma simple:
que se puede derivar fácilmente integrando directamente. La recurrencia de números enteros de la función gamma facilita el cálculo de otros valores pequeños, incluso .
Las tablas de la función de distribución acumulativa chi-cuadrado están ampliamente disponibles y la función está incluida en muchas hojas de cálculo y en todos los paquetes estadísticos .
Dejemos que se puedan obtener los límites de Chernoff en las colas superior e inferior del CDF. [9] Para los casos en los que (que incluyen todos los casos en los que este CDF es inferior a la mitad):
La cola con destino a los casos en que , de manera similar, es
Una prueba directa y elemental es la siguiente: Sea un vector de variables aleatorias independientes distribuidas normalmente y su promedio. Entonces,
¿dónde está la matriz identidad y el vector de todos los unos?
tiene un vector propio con valor propio y vectores propios (todos ortogonales a ) con valor propio , que se pueden elegir para que sea una matriz ortogonal. Dado que también tenemos
lo que prueba el reclamo.
Aditividad
De la definición de la distribución chi-cuadrado se deduce que la suma de las variables independientes chi-cuadrado también tiene una distribución chi-cuadrado. Específicamente, si son variables chi-cuadrado independientes con , grados de libertad, respectivamente, entonces se distribuye chi-cuadrado con grados de libertad.
Muestra promedio
La media muestral de las variables de grado iid chi-cuadrado se distribuye según una distribución gamma con parámetros de forma y escala :
Asintóticamente, dado que para un parámetro de escala que va al infinito, una distribución Gamma converge hacia una distribución normal con expectativa y varianza , la media muestral converge hacia:
Tenga en cuenta que habríamos obtenido el mismo resultado invocando en su lugar el teorema del límite central , observando que para cada variable chi-cuadrado de grado la expectativa es , y su varianza (y por lo tanto la varianza de la media muestral es ).
Los momentos con respecto al cero de una distribución chi-cuadrado con grados de libertad vienen dados por [10] [11]
Acumulantes
Los cumulantes se obtienen fácilmente mediante una expansión en serie de potencias del logaritmo de la función característica:
Concentración
La distribución chi-cuadrado muestra una fuerte concentración alrededor de su media. Los límites estándar de Laurent-Massart [12] son:
Una consecuencia es que, si es un vector aleatorio gaussiano en , entonces a medida que la dimensión crece, la longitud al cuadrado del vector se concentra estrechamente alrededor con un ancho :
Propiedades asintóticas
Según el teorema del límite central , debido a que la distribución chi-cuadrado es la suma de variables aleatorias independientes con media y varianza finitas, converge a una distribución normal para grandes . Para muchos propósitos prácticos, la distribución es lo suficientemente cercana a una distribución normal , por lo que la diferencia es ignorable. [13] Específicamente, si , entonces cuando tiende al infinito, la distribución de tiende a una distribución normal estándar. Sin embargo, la convergencia es lenta a medida que lo es la asimetría y el exceso de curtosis .
La distribución muestral de converge a la normalidad mucho más rápido que la distribución muestral de , [14] ya que la transformada logarítmica elimina gran parte de la asimetría. [15]
Otras funciones de la distribución chi-cuadrado convergen más rápidamente a una distribución normal. Algunos ejemplos son:
Si entonces se distribuye aproximadamente normalmente con media y varianza unitaria (1922, por RA Fisher , ver (18.23), p. 426 de Johnson. [4]
Si entonces tiene una distribución aproximadamente normal con media y varianza [16] Esto se conoce como transformación de Wilson-Hilferty , consulte (18.24), pág. 426 de Johnson. [4]
Esta transformación de normalización conduce directamente a la aproximación de la mediana comúnmente utilizada mediante la transformación inversa de la media, que también es la mediana, de la distribución normal.
Una variable chi-cuadrado con grados de libertad se define como la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estándar independientes .
Si es un vector aleatorio gaussiano de dimensión con vector medio y matriz de covarianza de rango , entonces está distribuido chi-cuadrado con grados de libertad.
Si es un vector de variables aleatorias normales estándar iid y es una matriz idempotente simétrica con rango , entonces la forma cuadrática es chi-cuadrado distribuida con grados de libertad.
Si es una matriz de covarianza semidefinida positiva con entradas diagonales estrictamente positivas, entonces para y un vector aleatorio independiente de tal que y entonces
[15]
La distribución chi-cuadrado también está naturalmente relacionada con otras distribuciones derivadas de la gaussiana. En particular,
tiene distribución F , si , donde y son estadísticamente independientes.
Si y son estadísticamente independientes, entonces . Si y no son independientes, entonces no está distribuido chi-cuadrado.
Generalizaciones
La distribución chi-cuadrado se obtiene como la suma de los cuadrados de k variables aleatorias gaussianas independientes, de media cero y de varianza unitaria. Se pueden obtener generalizaciones de esta distribución sumando los cuadrados de otros tipos de variables aleatorias gaussianas. A continuación se describen varias de estas distribuciones.
Combinación lineal
Si son variables aleatorias de chi cuadrado y , entonces la distribución de es un caso especial de distribución de chi cuadrado generalizada . No se conoce una expresión cerrada para esta distribución. Sin embargo, se puede aproximar de manera eficiente utilizando la propiedad de las funciones características de las variables aleatorias chi-cuadrado. [18]
Distribuciones de chi-cuadrado
Distribución chi-cuadrado no central
La distribución chi-cuadrado no central se obtiene de la suma de los cuadrados de variables aleatorias gaussianas independientes que tienen varianza unitaria y medias distintas de cero .
Distribución chi-cuadrado generalizada
La distribución chi-cuadrado generalizada se obtiene a partir de la forma cuadrática z'Az donde z es un vector gaussiano de media cero que tiene una matriz de covarianza arbitraria y A es una matriz arbitraria.
Distribuciones gamma, exponencial y relacionadas
La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma , ya que utiliza la parametrización de velocidad de la distribución gamma (o utiliza la parametrización de escala de la distribución gamma) donde k es un número entero.
La distribución de Erlang también es un caso especial de la distribución gamma y, por lo tanto, también tenemos que si es par , entonces Erlang se distribuye con el parámetro de forma y el parámetro de escala .
A continuación se presentan algunas de las situaciones más comunes en las que la distribución chi-cuadrado surge de una muestra con distribución gaussiana.
El siguiente cuadro muestra algunas estadísticas basadas en variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de probabilidad relacionadas con la distribución chi-cuadrado:
La distribución chi-cuadrado también se encuentra a menudo en la resonancia magnética . [19]
Métodos computacionales
Tabla de valores de χ 2 frente a valores de p
El valor - es la probabilidad de observar un estadístico de prueba al menos tan extremo en una distribución chi-cuadrado. En consecuencia, dado que la función de distribución acumulativa (CDF) para los grados de libertad (gl) apropiados da la probabilidad de haber obtenido un valor menos extremo que este punto, restar el valor CDF de 1 da el valor p . Un valor p bajo , por debajo del nivel de significancia elegido, indica significancia estadística , es decir, evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. A menudo se utiliza un nivel de significancia de 0,05 como límite entre resultados significativos y no significativos.
La siguiente tabla proporciona una cantidad de valores p que coinciden con los primeros 10 grados de libertad.
Estos valores se pueden calcular evaluando la función cuantil (también conocida como "CDF inversa" o "ICDF") de la distribución chi-cuadrado; [21] por ejemplo, el ICDF χ 2 para p = 0,05 y df = 7 produce 2,1673 ≈ 2,17 como en la tabla anterior, observando que 1 – p es el valor p de la tabla.
Historia
Esta distribución fue descrita por primera vez por el geodesta y estadístico alemán Friedrich Robert Helmert en artículos de 1875-6, [22] [23] donde calculó la distribución muestral de la varianza muestral de una población normal. Así, en alemán esto se conocía tradicionalmente como Helmert'sche ("helmertiano") o "distribución Helmert".
La distribución fue redescubierta de forma independiente por el matemático inglés Karl Pearson en el contexto de la bondad de ajuste , para lo cual desarrolló su prueba chi-cuadrado de Pearson , publicada en 1900, con una tabla de valores calculada publicada en (Elderton 1902), recopilada en (Pearson 1914, págs. xxxi-xxxiii, 26-28, cuadro XII). El nombre "chi-cuadrado" deriva en última instancia de la abreviatura de Pearson para el exponente en una distribución normal multivariada con la letra griega Chi , escribiendo −½χ 2 para lo que aparecería en notación moderna como −½ x T Σ −1 x (siendo Σ el Matriz de covarianza ). [24] La idea de una familia de "distribuciones chi-cuadrado", sin embargo, no se debe a Pearson sino que surgió como un desarrollo posterior debido a Fisher en la década de 1920. [22]
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enlaces externos
Primeros usos de algunas palabras de matemáticas: la entrada sobre Chi cuadrado tiene una breve historia
Notas del curso sobre la prueba de bondad de ajuste de Chi cuadrado de la clase 101 de Estadísticas de la Universidad de Yale.
Demostración de Mathematica que muestra la distribución muestral chi-cuadrado de varias estadísticas, por ejemplo, Σx², para una población normal
Algoritmo simple para aproximar la CDF y la CDF inversa para la distribución chi-cuadrado con una calculadora de bolsillo