Distribución de chi-cuadrado inversa escalada

Distribución de probabilidad

La distribución chi-cuadrado inversa escalada , donde es el parámetro de escala, es igual a la distribución Wishart inversa univariante con grados de libertad . ${\displaystyle \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\psi ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Esta familia de distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas está vinculada a la distribución chi-cuadrado inversa y a la distribución chi-cuadrado :

Si entonces, así como y . ${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle X/\psi \sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle \psi /X\sim \chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle 1/X\sim \psi ^{-1}\chi ^{2}(\nu )}$

Sin embargo, en lugar de , la distribución chi-cuadrado inversa escalada se parametriza con mayor frecuencia mediante el parámetro de escala y la distribución se denota por . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \tau ^{2}=\psi /\nu }$ ${\displaystyle \nu \tau ^{2}\,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$

En términos de las relaciones anteriores se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle \tau ^{2}}$

Si entonces, así como y . ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X}{\nu \tau ^{2}}}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{X}}\sim \chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle 1/X\sim {\frac {1}{\nu \tau ^{2}}}\chi ^{2}(\nu )}$

Esta familia de distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas es una reparametrización de la distribución gamma inversa .

Específicamente, si

${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )={\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$   entonces   ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\psi }{2}}\right)={\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$

Cualquiera de las formas puede usarse para representar la distribución de entropía máxima para un primer momento inverso fijo y un primer momento logarítmico . ${\displaystyle (E(1/X))}$ ${\displaystyle (E(\ln(X))}$

La distribución chi-cuadrado inversa escalada también tiene un uso particular en la estadística bayesiana . Específicamente, la distribución chi-cuadrado inversa escalada se puede utilizar como conjugado previo para el parámetro de varianza de una distribución normal . El mismo anterior en la parametrización alternativa viene dado por la distribución gamma inversa .

Caracterización

La función de densidad de probabilidad de la distribución chi-cuadrado inversa escalada se extiende sobre el dominio y es ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}}$

donde es el parámetro de grados de libertad y es el parámetro de escala . La función de distribución acumulativa es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.}$

${\displaystyle =Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)}$

donde es la función gamma incompleta , es la función gamma y es una función gamma regularizada . La función característica es ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle Q(a,x)}$

${\displaystyle \varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=}$

${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right),}$

¿Dónde está la función de Bessel modificada de segundo tipo ? ${\displaystyle K_{\frac {\nu }{2}}(z)}$

Estimación de parámetros

La estimación de máxima verosimilitud de es ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle \tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.}$

La estimación de máxima verosimilitud se puede encontrar utilizando el método de Newton en: ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),}$

¿Dónde está la función digamma ? Se puede encontrar una estimación inicial tomando la fórmula de la media y resolviéndola para Sea la media muestral. Entonces una estimación inicial de está dada por: ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \nu .}$ ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.}$

Estimación bayesiana de la varianza de una distribución normal.

La distribución chi-cuadrado inversa escalada tiene una segunda aplicación importante, en la estimación bayesiana de la varianza de una distribución normal.

Según el teorema de Bayes , la distribución de probabilidad posterior de las cantidades de interés es proporcional al producto de una distribución previa de las cantidades y una función de verosimilitud :

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})}$

donde D representa los datos e I representa cualquier información inicial sobre σ ² que ya tengamos.

El escenario más simple surge si ya se conoce la media μ; o, alternativamente, si lo que se busca es la distribución condicional de σ ² , para un valor supuesto particular de μ.

Entonces el término de probabilidad L (σ ² | D ) = p ( D |σ ² ) tiene la forma familiar

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Combinando esto con el invariante de reescalado previo p(σ ² | I ) = 1/σ ² , que se puede argumentar (por ejemplo, siguiendo a Jeffreys ) como el previo menos informativo posible para σ ² en este problema, se obtiene una probabilidad posterior combinada.

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Esta forma puede reconocerse como la de una distribución chi-cuadrado inversa escalada, con parámetros ν = n y τ ² = s ² = (1/ n ) Σ (x _i -μ) ²

Gelman et al señalan que la reaparición de esta distribución, vista anteriormente en un contexto de muestreo, puede parecer notable; pero dada la elección previa el "resultado no es sorprendente". ^[1]

En particular, la elección de un invariante de reescalado previo para σ ² tiene como resultado que la probabilidad de la relación σ ² / s ² tiene la misma forma (independiente de la variable condicionante) cuando está condicionada a s ² que cuando está condicionada a σ ² :

${\displaystyle p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})}$

En el caso de la teoría del muestreo, condicionada a σ ² , la distribución de probabilidad para (1/s ² ) es una distribución chi-cuadrado inversa escalada; y entonces la distribución de probabilidad para σ ² condicionada a s ² , dado un previo independiente de la escala, también es una distribución chi-cuadrado inversa escalada.

Utilizar como previo informativo

Si se sabe más sobre los posibles valores de σ ² , una distribución de la familia chi-cuadrado inversa escalada, como Scale-inv-χ ² ( n ₀ , s ₀ ² ) puede ser una forma conveniente para representar una información previa más informativa. para σ ² , como si fuera el resultado de n ₀ observaciones previas (aunque n ₀ no tiene por qué ser necesariamente un número entero):

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Tal prior conduciría a la distribución posterior.

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {ns^{2}+n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

que es en sí misma una distribución chi-cuadrado inversa escalada. Las distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas son, por tanto, una familia previa conjugada conveniente para la estimación de σ ² .

Estimación de la varianza cuando se desconoce la media.

Si no se conoce la media, el previo menos informativo que se puede tomar es posiblemente el previo invariante de traducción p (μ| I ) ∝ const., que da la siguiente distribución posterior conjunta para μ y σ ² ,

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)&\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

La distribución posterior marginal para σ ² se obtiene a partir de la distribución posterior conjunta integrando sobre μ,

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma ^{2}|D,I)\;\propto \;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]d\mu \\=\;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}/n}}\\\propto \;&(\sigma ^{2})^{-(n+1)/2}\;\exp \left[-{\frac {(n-1)s^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

Esta es nuevamente una distribución chi-cuadrado inversa escalada, con parámetros y . ${\displaystyle \scriptstyle {n-1}\;}$ ${\displaystyle \scriptstyle {s^{2}=\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}/(n-1)}}$

Distribuciones relacionadas

• si entonces ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,}$
• Si ( distribución de chi cuadrado inversa ) entonces ${\displaystyle X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,}$
• Si entonces ( distribución chi-cuadrado inversa ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$
• Si entonces ( distribución gamma inversa ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$
• La distribución de chi cuadrado inversa escalada es un caso especial de distribución de Pearson tipo 5

Referencias

• Gelman A. et al (1995), Análisis de datos bayesianos , págs. 474–475; también págs. 47, 480

1. Gelman et al (1995), Análisis de datos bayesianos (1.ª ed.), p.68