Apotema

Segmento desde el centro de un polígono hasta el punto medio de uno de sus lados

Apotema de un hexágono

Gráficas de lado ,  s ; apotema,  a ; y área ,  A de polígonos regulares de n lados y circunradio 1, con base ,  b de un rectángulo de la misma área . La línea verde muestra el caso n = 6 .

La apotema (a veces abreviada como apo ^[1] ) de un polígono regular es un segmento de recta que va desde el centro hasta el punto medio de uno de sus lados. De manera equivalente, es la línea trazada desde el centro del polígono que es perpendicular a uno de sus lados. La palabra “apotema” también puede hacer referencia a la longitud de ese segmento de recta y proviene del griego antiguo ἀπόθεμα (“guardar, dejar a un lado”), compuesto de ἀπό (“fuera, lejos”) y θέμα (“aquello que está puesto abajo"), indicando una línea genérica anotada. ^[2] Los polígonos regulares son los únicos polígonos que tienen apotemas. Por esto, todas las apotemas de un polígono serán congruentes .

Para un triángulo equilátero , la apotema equivale al segmento de recta que va desde el punto medio de un lado hasta el centro del triángulo. ^{[nota 1]}

Propiedades de las apotemas

La apotema a se puede usar para encontrar el área de cualquier polígono regular de n lados de longitud de lado s de acuerdo con la siguiente fórmula, que también establece que el área es igual a la apotema multiplicada por la mitad del perímetro ya que ns  =  p .

${\displaystyle A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.}$

Esta fórmula se puede derivar dividiendo el polígono de n lados en n triángulos isósceles congruentes y luego observando que la apotema es la altura de cada triángulo y que el área de un triángulo es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura. Las siguientes formulaciones son todas equivalentes:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=na^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}}$

Una apotema de un polígono regular siempre será un radio del círculo inscrito . También es la distancia mínima entre cualquier lado del polígono y su centro.

Esta propiedad también se puede utilizar para derivar fácilmente la fórmula para el área de un círculo, porque a medida que el número de lados se acerca al infinito, el área del polígono regular se acerca al área del círculo inscrito de radio r  =  a .

${\displaystyle A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}}$

Encontrar la apotema

La apotema de un polígono regular se puede encontrar de varias formas.

La apotema a de un polígono regular de n lados con longitud de lado s , o circunradio R , se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

${\displaystyle a={\frac {s}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}.}$

La apotema también se puede encontrar mediante

${\displaystyle a={\frac {s}{2}}\tan {\frac {\pi (n-2)}{2n}}.}$

Estas fórmulas aún se pueden usar incluso si solo se conocen el perímetro p y el número de lados n porque s  = pag/norte.

Notas

1. Los triángulos equiláteros tienen un solo centro, que es lo que hace que esta definición de la apotema de un triángulo equilátero esté bien definida . Sin embargo, para los triángulos no equiláteros , existen muchas nociones de centro del triángulo que no coinciden ; consulte Centro del triángulo para obtener más detalles.

Ver también

• Acorde (trigonometría)
• Circunradio de un polígono regular
• Sagitario (geometría)
• Altura inclinada

Referencias

1. Shaneyfelt, Ted V. "德博士的 Notas sobre círculos, ज्य y कोज्य: ¿Qué diablos es una hacovercosina?". Hilo, Hawái: Universidad de Hawái . Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
2. "Definición de APOTEMA". www.merriam-webster.com . Consultado el 17 de febrero de 2022 .

enlaces externos

• Apotema de un polígono regular Con animación interactiva.
• Apotema de pirámide o pirámide truncada Archivado el 21 de abril de 2021 en Wayback Machine.
• Pegg, Ed Jr. "Sagita, apotema y acorde". El proyecto de demostraciones de Wolfram .