Sagitario (geometría)

Visualización de sagita.

En geometría , la sagita (a veces abreviada como hundimiento ^[1] ) de un arco circular es la distancia desde el punto medio del arco hasta el punto medio de su cuerda . ^[2] Se utiliza ampliamente en arquitectura para calcular el arco necesario para abarcar una determinada altura y distancia y también en óptica, donde se utiliza para encontrar la profundidad de un espejo o lente esférico. El nombre proviene directamente del latín sagitta , que significa " flecha ".

Fórmulas

En las siguientes ecuaciones, denota la sagitta (la profundidad o altura del arco), es igual al radio del círculo y a la longitud de la cuerda que atraviesa la base del arco. Como y son dos lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa , el teorema de Pitágoras nos da ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}l}$ ${\displaystyle r-s}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}=\left({\tfrac {1}{2}}l\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.}$

Esto se puede reorganizar para dar cualquiera de los otros tres:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {1}{4}}l^{2}}},\\[10mu]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+{\tfrac {1}{4}}l^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}}$

La sagitta también se puede calcular a partir de la función versina , para un arco que abarca un ángulo de Δ = 2 θ y coincide con la versina para círculos unitarios.

${\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$

Aproximación

Cuando la sagitta es pequeña en comparación con el radio, se puede aproximar mediante la fórmula ^[2]

${\displaystyle s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.}$

Alternativamente, si la sagitta es pequeña y se conocen la sagitta, el radio y la longitud de la cuerda, se pueden usar para estimar la longitud del arco mediante la fórmula

${\displaystyle a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},}$

donde a es la longitud del arco ; esta fórmula era conocida por el matemático chino Shen Kuo , y dos siglos más tarde Guo Shoujing desarrolló una fórmula más precisa ^{[ se necesita aclaración ]} que también involucraba a sagita . ^[3]

Aplicaciones

Los arquitectos, ingenieros y contratistas utilizan estas ecuaciones para crear arcos "aplanados" que se utilizan en paredes curvas, techos arqueados, puentes y muchas otras aplicaciones.

La sagita también tiene usos en física donde se utiliza, junto con la longitud de la cuerda, para calcular el radio de curvatura de una partícula acelerada. Esto se utiliza especialmente en experimentos con cámaras de burbujas donde se utiliza para determinar los momentos de las partículas de desintegración. Asimismo, históricamente la sagita también se utiliza como parámetro en el cálculo de cuerpos en movimiento en un sistema centrípeto. Este método se utiliza en los Principia de Newton .

Ver también

• segmento circular
• versina

Referencias

1. Shaneyfelt, Ted V. "德博士的 Notas sobre círculos, ज्य y कोज्य: ¿Qué diablos es una hacovercosina?". Hilo, Hawái: Universidad de Hawái . Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
2. Woodward, Ernest (diciembre de 1978). Geometría: solucionador de problemas planos, sólidos y analíticos. Guías de solución para solucionadores de problemas. Asociación de Investigación y Educación (REA). pag. 359.ISBN​ 978-0-87891-510-1.
3. Needham, Noel Joseph Terence Montgomery (1959). Ciencia y civilización en China: matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra. vol. 3. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 39.ISBN​ 9780521058018.

enlaces externos

• Calcular la sagita de un arco