En la teoría matemática de nudos , el enlace de Hopf es el enlace no trivial más simple con más de un componente. [1] Consta de dos círculos unidos exactamente una vez, [2] y lleva el nombre de Heinz Hopf . [3]
Un modelo concreto consta de dos círculos unitarios en planos perpendiculares, cada uno de los cuales pasa por el centro del otro. [2] Este modelo minimiza la longitud de la cuerda del eslabón y hasta 2002 el eslabón Hopf era el único eslabón cuya longitud de cuerda se conocía. [4] El casco convexo de estos dos círculos forma una forma llamada oloide . [5]
Dependiendo de las orientaciones relativas de los dos componentes, el número de enlace del enlace Hopf es ±1. [6]
El enlace de Hopf es un enlace toroide (2,2) [7] con la palabra trenzada [8]
El complemento de nudo del eslabón de Hopf es R × S 1 × S 1 , el cilindro sobre un toroide . [9] Este espacio tiene una geometría localmente euclidiana , por lo que el enlace de Hopf no es un enlace hiperbólico . El grupo de nudos del enlace de Hopf (el grupo fundamental de su complemento) es Z 2 (el grupo abeliano libre en dos generadores), lo que lo distingue de un par de bucles no enlazados que tiene como grupo el grupo libre en dos generadores. [10]
El eslabón de Hopf no es tricolor : no es posible colorear los hilos de su diagrama con tres colores, de modo que se utilicen al menos dos de los colores y para que cada cruce tenga uno o tres colores presentes. Cada eslabón tiene un solo hilo, y si a ambos hilos se les da el mismo color entonces solo se usa un color, mientras que si se les dan colores diferentes entonces los cruces tendrán dos colores presentes.
La fibración de Hopf es una función continua desde la 3 esferas (una superficie tridimensional en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones) hasta la más familiar 2 esferas , con la propiedad de que la imagen inversa de cada punto en la 2 esferas es una círculo. Por lo tanto, estas imágenes descomponen las 3 esferas en una familia continua de círculos, y cada dos círculos distintos forman un enlace de Hopf. Esta fue la motivación de Hopf para estudiar el enlace de Hopf: debido a que cada dos fibras están unidas, la fibración de Hopf es una fibración no trivial . Este ejemplo inició el estudio de grupos de esferas homotópicos . [11]
El enlace Hopf también está presente en algunas proteínas. [12] [13] Consta de dos bucles covalentes, formados por trozos de columna vertebral de proteína , cerrados con enlaces disulfuro . La topología del enlace de Hopf está altamente conservada en las proteínas y aumenta su estabilidad. [12]
El enlace de Hopf lleva el nombre del topólogo Heinz Hopf , quien lo consideró en 1931 como parte de su investigación sobre la fibración de Hopf . [14] Sin embargo, en matemáticas, Carl Friedrich Gauss lo conocía antes del trabajo de Hopf. [3] También se ha utilizado durante mucho tiempo fuera de las matemáticas, por ejemplo como el escudo de Buzan-ha , una secta budista japonesa fundada en el siglo XVI.
