Suma directa de grupos

Medios para construir un grupo a partir de dos subgrupos

En matemáticas , un grupo G se denomina suma directa ^{[1] [2]} de dos subgrupos normales con intersección trivial si es generado por los subgrupos. En álgebra abstracta , este método de construcción de grupos se puede generalizar a sumas directas de espacios vectoriales , módulos y otras estructuras; consulte el artículo suma directa de módulos para obtener más información. Un grupo que se puede expresar como una suma directa de subgrupos no triviales se llama descomponible , y si un grupo no se puede expresar como tal suma directa, se llama indecomponible .

Definición

Un grupo G se denomina suma directa ^{[1] [2]} de dos subgrupos H ₁ y H ₂ si

• cada H ₁ y H ₂ son subgrupos normales de G ,
• los subgrupos H ₁ y H ₂ tienen intersección trivial (es decir, solo tienen el elemento identidad de G en común), ${\displaystyle e}$
• G = ⟨ H ₁ , H ₂ ⟩; en otras palabras, G es generado por los subgrupos H ₁ y H ₂ .

De manera más general, G se denomina suma directa de un conjunto finito de subgrupos { H _i } si

• cada H _i es un subgrupo normal de G ,
• cada H _i tiene una intersección trivial con el subgrupo ⟨{ H _j  : j ≠ i }⟩ ,
• G = ⟨{ H _i }⟩; en otras palabras, G es generado por los subgrupos { H _i }.

Si G es la suma directa de los subgrupos H y K , entonces escribimos G = H + K , y si G es la suma directa de un conjunto de subgrupos { H _i }, entonces a menudo escribimos G = Σ H _i . En términos generales, una suma directa es isomorfa a un producto directo débil de subgrupos.

Propiedades

Si G = H + K , entonces se puede demostrar que:

• para todo h en H , k en K , tenemos que h ∗ k = k ∗ h
• para todo g en G , existe un único h en H , k en K tal que g = h ∗ k
• Hay una cancelación de la suma en un cociente; de ​​modo que ( H + K )/ K es isomorfo a H

Las afirmaciones anteriores se pueden generalizar al caso de G = Σ H _i , donde { H _i } es un conjunto finito de subgrupos:

• si i ≠ j , entonces para todo h _i en H _i , h _j en H _j , tenemos que h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i
• para cada g en G , existe un conjunto único de elementos h _i en H _i tales que

g = h ₁ ∗ h ₂ ∗ ... ∗ h _i ∗ ... ∗ h _n

• Hay una cancelación de la suma en un cociente; de ​​modo que ((Σ H _i ) + K )/ K es isomorfo a Σ H _i .

Nótese la similitud con el producto directo , donde cada g puede expresarse de forma única como

g = ( h ₁ , h ₂ , ..., h _i , ..., h _n ).

Como h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i para todo i ≠ j , se deduce que la multiplicación de elementos en una suma directa es isomorfa a la multiplicación de los elementos correspondientes en el producto directo; por lo tanto, para conjuntos finitos de subgrupos, Σ H _i es isomorfo al producto directo ×{ H _i }.

Suma directa

Dado un grupo , decimos que un subgrupo es una suma directa de si existe otro subgrupo de tal que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H+K}$

En grupos abelianos, si es un subgrupo divisible de , entonces es un sumando directo de . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

• Si lo tomamos queda claro que es el producto directo de los subgrupos . ${\textstyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}}$

• Si es un subgrupo divisible de un grupo abeliano entonces existe otro subgrupo de tal que . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=K+H}$
• Si también tiene una estructura de espacio vectorial , entonces se puede escribir como una suma directa de y otro subespacio que será isomorfo al cociente . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G/K}$

Equivalencia de descomposiciones en sumas directas

En la descomposición de un grupo finito en una suma directa de subgrupos indecomponibles, la inclusión de los subgrupos no es única. Por ejemplo, en el grupo de Klein tenemos que ${\displaystyle V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}}$

${\displaystyle V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle ,}$y

${\displaystyle V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .}$

Sin embargo, el teorema de Remak-Krull-Schmidt establece que dado un grupo finito G = Σ A _i = Σ B _j , donde cada A _i y cada B _j son no triviales e indescomponibles, las dos sumas tienen términos iguales salvo reordenamiento e isomorfismo.

El teorema de Remak-Krull-Schmidt falla para grupos infinitos; por lo que en el caso de G = H + K = L + M infinito, incluso cuando todos los subgrupos son no triviales e indescomponibles, no podemos concluir que H es isomorfo a L o M.

Generalización a sumas sobre conjuntos infinitos

Para describir las propiedades anteriores en el caso en que G es la suma directa de un conjunto infinito (quizás incontable) de subgrupos, es necesario tener más cuidado.

Si g es un elemento del producto cartesiano Π{ H _i } de un conjunto de grupos, sea g _i el i ésimo elemento de g en el producto. La suma directa externa de un conjunto de grupos { H _i } (escrita como Σ _E { H _i }) es el subconjunto de Π{ H _i }, donde, para cada elemento g de Σ _E { H _i }, g _i es la identidad para todos excepto un número finito de g _i (equivalentemente, solo un número finito de g _i no son la identidad). La operación de grupo en la suma directa externa es la multiplicación puntual, como en el producto directo habitual. ${\displaystyle e_{H_{i}}}$

Este subconjunto forma de hecho un grupo, y para un conjunto finito de grupos { H _i } la suma directa externa es igual al producto directo.

Si G = Σ H _i , entonces G es isomorfo a Σ _E { H _i }. Por lo tanto, en cierto sentido, la suma directa es una suma directa externa "interna". Para cada elemento g en G , existe un único conjunto finito S y un único conjunto { h _i ∈ H _i  : i ∈ S } tal que g = Π { h _i  : i en S }.

Véase también

• Suma directa
• Coproducto
• Producto gratuito
• Suma directa de grupos topológicos

Referencias

1. Homología. Saunders MacLane. Springer, Berlín; Academic Press, Nueva York, 1963.
2. László Fuchs. Grupos abelianos infinitos