Dilatación del tiempo

Diferencia de tiempo medida según la teoría de la relatividad

La dilatación del tiempo es la diferencia en el tiempo transcurrido medido por dos relojes, ya sea debido a una velocidad relativa entre ellos ( relatividad especial ) o a una diferencia en el potencial gravitatorio entre sus ubicaciones ( relatividad general ). Cuando no se especifica, "dilatación del tiempo" generalmente se refiere al efecto debido a la velocidad.

Después de compensar los retrasos variables de la señal resultantes de la distancia cambiante entre un observador y un reloj en movimiento (es decir, el efecto Doppler ), el observador medirá el reloj en movimiento como si hiciera tictac más lento que un reloj en reposo en el propio marco de referencia del observador . Existe una diferencia entre la dilatación del tiempo relativista observada y medida: el observador no percibe visualmente la dilatación del tiempo de la misma manera que la mide. ^[1] Además, un reloj que está cerca de un cuerpo masivo (y que, por lo tanto, está a un potencial gravitatorio menor) registrará menos tiempo transcurrido que un reloj situado más lejos del mismo cuerpo masivo (y que está a un potencial gravitatorio mayor).

Estas predicciones de la teoría de la relatividad han sido confirmadas repetidamente mediante experimentos y son de importancia práctica, por ejemplo, en el funcionamiento de sistemas de navegación por satélite como GPS y Galileo . ^[2]

Historia

La dilatación del tiempo por el factor de Lorentz fue predicha por varios autores a principios del siglo XX. ^{[3] [4]} Joseph Larmor (1897) escribió que, al menos para aquellos que orbitan alrededor de un núcleo, los electrones individuales describen partes correspondientes de sus órbitas en tiempos más cortos para el sistema [en reposo] en la relación: . ^[5] Emil Cohn (1904) relacionó específicamente esta fórmula con la frecuencia de los relojes. ^[6] En el contexto de la relatividad especial , Albert Einstein (1905) demostró que este efecto concierne a la naturaleza del tiempo en sí, y también fue el primero en señalar su reciprocidad o simetría. ^[7] Posteriormente, Hermann Minkowski (1907) introdujo el concepto de tiempo propio que aclaró aún más el significado de la dilatación del tiempo. ^[8] ${\textstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Dilatación del tiempo causada por una velocidad relativa

Desde el marco de referencia local del reloj azul, el reloj rojo, al estar en movimiento, se mide como si hiciera tictac más lento. ^[9]

La relatividad especial indica que, para un observador en un marco de referencia inercial , un reloj que se mueve en relación con el observador se medirá como si funcionara más lentamente que un reloj en reposo en el marco de referencia del observador. Esto a veces se llama dilatación del tiempo relativista especial. Cuanto más rápida sea la velocidad relativa , mayor será la dilatación del tiempo entre ellas, y el tiempo se ralentiza hasta detenerse a medida que un reloj se acerca a la velocidad de la luz (299 792 458 m/s).

En teoría, la dilatación del tiempo permitiría a los pasajeros de un vehículo que se desplaza a gran velocidad viajar hacia el futuro en un breve período de tiempo. A velocidades suficientemente altas, el efecto sería espectacular. Por ejemplo, un año de viaje podría corresponder a diez años en la Tierra. De hecho, una aceleración constante de 1  g permitiría a los seres humanos viajar por todo el universo conocido en una vida humana. ^[10]

En la práctica, las diferencias que se dan en la Estación Espacial Internacional (ISS) tras seis meses en órbita a una velocidad de unos 7.700 m/s, son minúsculas. Después de seis meses en la Estación Espacial Internacional (ISS), orbitando la Tierra a una velocidad de unos 7.700 m/s, un astronauta habría envejecido unos 0,005 segundos menos que en la Tierra. ^[11] Los cosmonautas Sergei Krikalev y Sergey Avdeev experimentaron una dilatación del tiempo de unos 20 milisegundos en comparación con el tiempo que transcurría en la Tierra. ^{[12] [13]}

Inferencia simple

Izquierda : El observador en reposo mide el tiempo 2 L / c entre los eventos co-locales de generación de la señal de luz en A y la llegada a A.
Derecha : Eventos según un observador que se mueve hacia la izquierda de la configuración: espejo inferior A cuando la señal se genera en el tiempo t'= 0, espejo superior B cuando la señal se refleja en el tiempo t'=D/c , espejo inferior A cuando la señal regresa en el tiempo t'=2D/c

La dilatación del tiempo se puede inferir de la constancia observada de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia dictados por el segundo postulado de la relatividad especial . Esta constancia de la velocidad de la luz significa que, contrariamente a la intuición, las velocidades de los objetos materiales y de la luz no son aditivas. No es posible hacer que la velocidad de la luz parezca mayor acercándose o alejándose de la fuente de luz. ^{[14] [15] [16] [17]}

Consideremos, entonces, un reloj vertical simple que consta de dos espejos A y B , entre los cuales rebota un pulso de luz. La separación de los espejos es L y el reloj hace tictac una vez cada vez que el pulso de luz incide en el espejo A.

En el marco en el que el reloj está en reposo (ver parte izquierda del diagrama), el pulso de luz traza una trayectoria de longitud 2 L y el período de tiempo entre los tictac del reloj es igual a 2 L dividido por la velocidad de la luz c : ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

Desde el marco de referencia de un observador en movimiento que viaja a la velocidad v con respecto al marco de referencia en reposo del reloj (parte derecha del diagrama), se ve que el pulso de luz traza una trayectoria más larga y en ángulo 2 D . Mantener la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales requiere un alargamiento (es decir, una dilatación) del período de tiempo entre los tictacs de este reloj desde la perspectiva del observador en movimiento. Es decir, medido en un marco de referencia que se mueve con respecto al reloj local, este reloj funcionará (es decir, hará tictac) más lentamente, ya que la tasa de tictac es igual a uno durante el período de tiempo entre tictacs 1/ . ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle \Delta t'}$

La aplicación directa del teorema de Pitágoras conduce a la conocida predicción de la relatividad especial:

El tiempo total que tarda el pulso de luz en recorrer su trayectoria viene dado por:

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

La longitud del semirrecorrido se puede calcular en función de cantidades conocidas como:

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

La eliminación de las variables D y L de estas tres ecuaciones da como resultado:

Ecuación de dilatación del tiempo

${\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\gamma }{\Delta t}}$

que expresa el hecho de que el período del reloj del observador en movimiento es más largo que el período en el marco del propio reloj. El factor de Lorentz gamma ( γ ) se define como ^[18] ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dado que todos los relojes que tienen un período común en el marco de reposo deberían tener un período común cuando se observan desde el marco de movimiento, todos los demás relojes (mecánicos, electrónicos, ópticos, como una versión horizontal idéntica del reloj del ejemplo) deberían exhibir la misma dilatación del tiempo dependiente de la velocidad. ^[19]

Reciprocidad

Dilatación transversal del tiempo. Los puntos azules representan un pulso de luz. Cada par de puntos con luz "rebotando" entre ellos es un reloj. En el marco de cada grupo de relojes, se mide que el otro grupo hace tictac más lento, porque el pulso de luz del reloj en movimiento tiene que recorrer una distancia mayor que el pulso de luz del reloj estacionario. Esto es así, a pesar de que los relojes son idénticos y su movimiento relativo es perfectamente recíproco.

Dado un cierto marco de referencia y el observador "estacionario" descrito anteriormente, si un segundo observador acompañara al reloj "en movimiento", cada uno de los observadores mediría el reloj del otro como si estuviera marcando a un ritmo más lento que su propio reloj local, debido a que ambos miden al otro como si fuera el que está en movimiento en relación con su propio marco de referencia estacionario.

El sentido común dictaría que, si el paso del tiempo se ha ralentizado para un objeto en movimiento, dicho objeto observaría que el tiempo del mundo exterior se acelera en consecuencia. Contrariamente a la intuición, la relatividad especial predice lo contrario. Cuando dos observadores están en movimiento uno con respecto al otro, cada uno medirá el reloj del otro desacelerándose, en concordancia con su movimiento con respecto al marco de referencia del observador.

El tiempo UV de un reloj en S es más corto comparado con Ux′ en S′, y el tiempo UW de un reloj en S′ es más corto comparado con Ux en S.

Aunque esto parezca contradictorio, en la vida cotidiana ocurre algo similar: si dos personas, A y B, se observan mutuamente desde la distancia, B le parecerá pequeña a A, pero, al mismo tiempo, A le parecerá pequeña a B. Como estamos familiarizados con los efectos de la perspectiva , no hay contradicción ni paradoja en esta situación. ^[20]

La reciprocidad del fenómeno también conduce a la llamada paradoja de los gemelos , en la que se compara el envejecimiento de los gemelos, uno que se queda en la Tierra y el otro que se embarca en un viaje espacial, y donde la reciprocidad sugiere que ambas personas deberían tener la misma edad cuando se reencuentren. Por el contrario, al final del viaje de ida y vuelta, el gemelo que viaja será más joven que el hermano en la Tierra. El dilema planteado por la paradoja se puede explicar por el hecho de que la situación no es simétrica. El gemelo que se queda en la Tierra está en un único sistema inercial, y el gemelo que viaja está en dos sistemas inerciales diferentes: uno en el camino de ida y otro en el camino de regreso. Véase también Paradoja de los gemelos § Papel de la aceleración .

Pruebas experimentales

Partículas en movimiento

• Es posible comparar la duración de la vida de los muones a distintas velocidades. En el laboratorio se producen muones lentos, y en la atmósfera, los rayos cósmicos introducen muones muy rápidos. Si tomamos como duración de vida de un muón en reposo el valor de laboratorio de 2,197 μs, la duración de vida de un muón producido por rayos cósmicos que viaja al 98% de la velocidad de la luz es aproximadamente cinco veces mayor, de acuerdo con las observaciones. Un ejemplo es el de Rossi y Hall (1941), quienes compararon la población de muones producidos por rayos cósmicos en la cima de una montaña con la observada a nivel del mar. ^[21]
• La vida útil de las partículas producidas en aceleradores de partículas es más larga debido a la dilatación del tiempo. En tales experimentos, el "reloj" es el tiempo que tardan los procesos que conducen a la desintegración del muón, y estos procesos tienen lugar en el muón en movimiento a su propia "frecuencia de reloj", que es mucho más lenta que el reloj del laboratorio. Esto se tiene en cuenta de forma rutinaria en la física de partículas, y se han realizado muchas mediciones específicas. Por ejemplo, en el anillo de almacenamiento de muones del CERN se descubrió que la vida útil de los muones que circulan con γ = 29,327 se dilataba a 64,378 μs, lo que confirma la dilatación del tiempo con una precisión de 0,9 ± 0,4 partes por mil. ^[22]

Efecto Doppler

• El propósito declarado por Ives y Stilwell (1938, 1941) de estos experimentos fue verificar el efecto de dilatación del tiempo, predicho por la teoría del éter de Larmor-Lorentz, debido al movimiento a través del éter usando la sugerencia de Einstein de que el efecto Doppler en los rayos del canal proporcionaría un experimento adecuado. Estos experimentos midieron el desplazamiento Doppler de la radiación emitida por los rayos catódicos , cuando se observaban directamente desde el frente y desde atrás. Las frecuencias altas y bajas detectadas no fueron los valores predichos clásicamente: Las frecuencias altas y bajas de la radiación de las fuentes en movimiento se midieron como: ^[23] como lo dedujo Einstein (1905) a partir de la transformación de Lorentz , cuando la fuente está funcionando lentamente por el factor de Lorentz. $${\displaystyle {\frac {f_{0}}{1-v/c}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {f_{0}}{1+v/c}}}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1+v/c\right)f_{0}\qquad {\text{and}}\qquad {\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1-v/c\right)f_{0}\,}$$
• Hasselkamp, ​​Mondry y Scharmann ^[24] (1979) midieron el efecto Doppler de una fuente que se movía en ángulo recto con respecto a la línea de visión. La relación más general entre las frecuencias de la radiación de las fuentes en movimiento viene dada por: tal como lo dedujo Einstein (1905). ^[25] Para ϕ = 90° ( cos ϕ = 0 ) esto se reduce a f _detectado = f _{en reposo} γ . Esta frecuencia más baja de la fuente en movimiento se puede atribuir al efecto de dilatación del tiempo y a menudo se denomina efecto Doppler transversal y fue predicho por la relatividad. $${\displaystyle f_{\mathrm {detected} }=f_{\mathrm {rest} }{\left(1-{\frac {v}{c}}\cos \phi \right)/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$$
• En 2010 se observó la dilatación del tiempo a velocidades de menos de 10 metros por segundo utilizando relojes atómicos ópticos conectados por 75 metros de fibra óptica. ^[26]

Tiempo propio y diagrama de Minkowski

Diagrama de Minkowski y paradoja de los gemelos

En el diagrama de Minkowski de la primera imagen de la derecha, el reloj C que reposa en el sistema inercial S′ se encuentra con el reloj A en d y el reloj B en f (ambos en reposo en S). Los tres relojes empiezan a funcionar simultáneamente en S. La línea de mundo de A es el eje ct, la línea de mundo de B que interseca a f es paralela al eje ct y la línea de mundo de C es el eje ct′. Todos los eventos simultáneos con d en S están en el eje x, en S′ en el eje x′.

El tiempo propio entre dos eventos está indicado por un reloj presente en ambos eventos. ^[27] Es invariante, es decir, en todos los sistemas inerciales se acuerda que este tiempo está indicado por ese reloj. El intervalo df es, por lo tanto, el tiempo propio del reloj C, y es más corto con respecto a los tiempos de coordenadas ef=dg de los relojes B y A en S. A la inversa, también el tiempo propio ef de B es más corto con respecto al tiempo si está en S′, porque el evento e se midió en S′ ya en el tiempo i debido a la relatividad de la simultaneidad, mucho antes de que C comenzara a funcionar.

De esto se desprende que el tiempo propio entre dos eventos indicados por un reloj no acelerado presente en ambos eventos, comparado con el tiempo de coordenadas sincronizado medido en todos los demás sistemas inerciales, es siempre el intervalo de tiempo mínimo entre esos eventos. Sin embargo, el intervalo entre dos eventos también puede corresponder al tiempo propio de los relojes acelerados presentes en ambos eventos. Bajo todos los tiempos propios posibles entre dos eventos, el tiempo propio del reloj no acelerado es máximo , lo cual es la solución a la paradoja de los gemelos . ^[27]

Derivación y formulación

Factor de Lorentz en función de la velocidad (en unidades naturales donde c = 1). Nótese que para velocidades pequeñas (cuando v tiende a cero), γ es aproximadamente 1.

Además del reloj de luz utilizado anteriormente, la fórmula para la dilatación del tiempo se puede derivar de manera más general de la parte temporal de la transformación de Lorentz . ^[28] Sean dos eventos en los que el reloj en movimiento indica y , por lo tanto: ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle t_{b}}$

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Como el reloj permanece en reposo en su marco inercial, se deduce que , por lo tanto el intervalo viene dado por: ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$ ${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

donde Δ t es el intervalo de tiempo entre dos eventos co-locales (es decir, que suceden en el mismo lugar) para un observador en algún marco inercial (por ejemplo, los tictac de su reloj), conocido como el tiempo propio , Δ t′ es el intervalo de tiempo entre esos mismos eventos, medidos por otro observador, moviéndose inercialmente con velocidad v con respecto al observador anterior, v es la velocidad relativa entre el observador y el reloj en movimiento, c es la velocidad de la luz, y el factor de Lorentz (convencionalmente denotado por la letra griega gamma o γ) es:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

De este modo, se ha descubierto que la duración del ciclo de un reloj en movimiento aumenta: se ha medido que "corre más lento". El rango de tales variaciones en la vida cotidiana, donde v ≪ c , incluso considerando los viajes espaciales, no es lo suficientemente grande como para producir efectos de dilatación del tiempo fácilmente detectables y estos efectos extremadamente pequeños pueden ignorarse sin problemas para la mayoría de los propósitos. Como umbral aproximado, la dilatación del tiempo puede volverse importante cuando un objeto se acerca a velocidades del orden de 30.000 km/s (1/10 de la velocidad de la luz). ^[29]

Movimiento hiperbólico

En la relatividad especial, la dilatación del tiempo se describe de forma más sencilla en circunstancias en las que la velocidad relativa no cambia. Sin embargo, las ecuaciones de Lorentz permiten calcular el tiempo propio y el movimiento en el espacio para el caso simple de una nave espacial a la que se aplica una fuerza por unidad de masa, relativa a un objeto de referencia en movimiento uniforme (es decir, a velocidad constante), igual a g durante todo el período de medición.

Sea t el tiempo en un sistema inercial denominado posteriormente sistema de reposo. Sea x una coordenada espacial y sea la dirección de la aceleración constante así como la velocidad de la nave espacial (en relación con el sistema de reposo) paralelas al eje x . Suponiendo que la posición de la nave espacial en el tiempo t = 0 es x = 0 y la velocidad es v ₀ y definiendo la siguiente abreviatura:

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

Las siguientes fórmulas son válidas: ^[30]

Posición:

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

Velocidad:

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Tiempo propio en función del tiempo coordenado:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

En el caso donde v (0) = v ₀ = 0 y τ (0) = τ ₀ = 0 la integral puede expresarse como una función logarítmica o, equivalentemente, como una función hiperbólica inversa :

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

En función del tiempo propio del buque se cumplen las siguientes fórmulas: ^[31] ${\displaystyle \tau }$

Posición:

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

Velocidad:

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

Tiempo coordinado en función del tiempo propio:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

Hipótesis del reloj

La hipótesis del reloj es la suposición de que la velocidad a la que un reloj se ve afectado por la dilatación del tiempo no depende de su aceleración sino solo de su velocidad instantánea. Esto es equivalente a afirmar que un reloj que se mueve a lo largo de una trayectoria mide el tiempo propio , definido por: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

La hipótesis del reloj se incluyó de manera implícita (pero no explícita) en la formulación original de la relatividad especial de Einstein de 1905. Desde entonces, se ha convertido en una suposición estándar y suele incluirse en los axiomas de la relatividad especial, especialmente a la luz de la verificación experimental hasta aceleraciones muy altas en aceleradores de partículas . ^{[32] [33]}

Dilatación del tiempo causada por la gravedad o la aceleración.

La dilatación del tiempo explica por qué dos relojes en funcionamiento marcarán tiempos diferentes después de distintas aceleraciones. Por ejemplo, el tiempo transcurre más lento en la Estación Espacial Internacional , con un retraso de aproximadamente 0,01 segundos por cada 12 meses terrestres transcurridos. Para que los satélites GPS funcionen, deben ajustarse a una curvatura similar del espacio-tiempo para coordinarse adecuadamente con los sistemas en la Tierra. ^[2]

El tiempo pasa más rápido cuanto más lejos esté del centro de gravedad, como ocurre con los objetos masivos (como la Tierra).

La dilatación del tiempo gravitacional es experimentada por un observador que, a una determinada altitud dentro de un pozo de potencial gravitacional, descubre que sus relojes locales miden menos tiempo transcurrido que relojes idénticos situados a mayor altitud (y que, por lo tanto, están a un potencial gravitacional mayor).

La dilatación del tiempo gravitacional está en juego, por ejemplo, para los astronautas de la ISS. Mientras que la velocidad relativa de los astronautas ralentiza su tiempo, la influencia gravitacional reducida en su ubicación lo acelera, aunque en menor grado. Además, el tiempo de un escalador teóricamente pasa un poco más rápido en la cima de una montaña en comparación con las personas al nivel del mar. También se ha calculado que debido a la dilatación del tiempo, el núcleo de la Tierra es 2,5 años más joven que la corteza . ^[34] "Un reloj utilizado para cronometrar una rotación completa de la Tierra medirá el día como aproximadamente 10 ns/día más largo por cada km de altitud sobre el geoide de referencia". ^[35] Los viajes a regiones del espacio donde se está produciendo una dilatación extrema del tiempo gravitacional, como cerca (pero no más allá del horizonte de sucesos ) de un agujero negro , podrían producir resultados de desplazamiento del tiempo análogos a los de los viajes espaciales a una velocidad cercana a la de la luz.

A diferencia de la dilatación del tiempo por velocidad, en la que ambos observadores miden que el otro envejece más lentamente (un efecto recíproco), la dilatación del tiempo gravitacional no es recíproca. Esto significa que con la dilatación del tiempo gravitacional ambos observadores están de acuerdo en que el reloj más cercano al centro del campo gravitacional tiene un ritmo más lento y están de acuerdo en la relación de la diferencia.

Pruebas experimentales

• En 1959, Robert Pound y Glen Rebka midieron el muy leve corrimiento al rojo gravitacional en la frecuencia de la luz emitida a una altura menor, donde el campo gravitacional de la Tierra es relativamente más intenso. Los resultados se encontraban dentro del 10% de las predicciones de la relatividad general. En 1964, Pound y JL Snider midieron un resultado dentro del 1% del valor predicho por la dilatación del tiempo gravitacional. ^[36] (Véase el experimento de Pound-Rebka )
• En 2010, se midió la dilatación del tiempo gravitacional en la superficie de la Tierra con una diferencia de altura de solo un metro, utilizando relojes atómicos ópticos. ^[26]

Efecto combinado de la velocidad y la dilatación del tiempo gravitacional

Dilatación diaria del tiempo (ganancia o pérdida si es negativa) en microsegundos en función del radio de la órbita (circular) r = rs / re , donde rs es el radio de la órbita del satélite y re es el radio ecuatorial de la Tierra, calculado utilizando la métrica de Schwarzschild. En r ≈ 1,497 ^{[Nota 1]} no hay dilatación del tiempo. Aquí los efectos del movimiento y la gravedad reducida se cancelan. Los astronautas de la ISS vuelan por debajo, mientras que los satélites GPS y geoestacionarios vuelan por encima. ^[2]

El cronometraje de alta precisión, el seguimiento de satélites en órbita baja y la medición del tiempo mediante pulsares son aplicaciones que requieren la consideración de los efectos combinados de la masa y el movimiento en la producción de la dilatación del tiempo. Algunos ejemplos prácticos incluyen el estándar de Tiempo Atómico Internacional y su relación con el estándar de Tiempo de Coordenadas Baricéntricas utilizado para objetos interplanetarios.

Los efectos de la dilatación del tiempo relativista para el sistema solar y la Tierra se pueden modelar con mucha precisión mediante la solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de Einstein. En la métrica de Schwarzschild, el intervalo viene dado por: ^{[38] [39]} ${\displaystyle dt_{\text{E}}}$

${\displaystyle dt_{\text{E}}^{2}=\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)dt_{\text{c}}^{2}-\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)^{-1}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle dt_{\text{E}}}$es un pequeño incremento del tiempo propio (un intervalo que podría registrarse en un reloj atómico), ${\displaystyle t_{\text{E}}}$
• ${\displaystyle dt_{\text{c}}}$es un pequeño incremento en la coordenada ( tiempo de la coordenada ), ${\displaystyle t_{\text{c}}}$
• ${\displaystyle dx,dy,dz}$son pequeños incrementos en las tres coordenadas de la posición del reloj, ${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle {\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$representa la suma de los potenciales gravitacionales newtonianos debidos a las masas en el vecindario, en función de sus distancias al reloj. Esta suma incluye cualquier potencial de marea. ${\displaystyle r_{i}}$

La velocidad de coordenadas del reloj viene dada por:

${\displaystyle v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt_{\text{c}}^{2}}}}$

El tiempo de coordenadas es el tiempo que se leería en un hipotético "reloj de coordenadas" situado infinitamente lejos de todas las masas gravitacionales ( ), y estacionario en el sistema de coordenadas ( ). La relación exacta entre la velocidad del tiempo propio y la velocidad del tiempo de coordenadas para un reloj con un componente radial de velocidad es: ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle U=0}$ ${\displaystyle v=0}$

${\displaystyle {\frac {dt_{\text{E}}}{dt_{\text{c}}}}={\sqrt {1+{\frac {2U}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\left({\frac {c^{2}}{2U}}+1\right)^{-1}{\frac {{v_{\shortparallel }}^{2}}{c^{2}}}}}={\sqrt {1-\left(\beta ^{2}+\beta _{e}^{2}+{\frac {\beta _{\shortparallel }^{2}\beta _{e}^{2}}{1-\beta _{e}^{2}}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v_{\shortparallel }}$es la velocidad radial,
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM_{i}}{r_{i}}}}}$es la velocidad de escape,
• ${\displaystyle \beta =v/c}$, y son velocidades como porcentaje de la velocidad de la luz c , ${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$ ${\displaystyle \beta _{\shortparallel }=v_{\shortparallel }/c}$
• ${\displaystyle U={\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$es el potencial newtoniano; por lo tanto, es igual a la mitad del cuadrado de la velocidad de escape. ${\displaystyle -U}$

La ecuación anterior es exacta bajo los supuestos de la solución de Schwarzschild. Se reduce a la ecuación de dilatación del tiempo de velocidad en presencia de movimiento y ausencia de gravedad, es decir , Se reduce a la ecuación de dilatación del tiempo gravitacional en ausencia de movimiento y presencia de gravedad, es decir , ${\displaystyle \beta _{e}=0}$ ${\displaystyle \beta =0=\beta _{\shortparallel }}$

Pruebas experimentales

Dilatación diaria del tiempo sobre la altura de la órbita circular dividida en sus componentes. En este gráfico, solo la sonda Gravity Probe A fue lanzada específicamente para probar la relatividad general. Las otras naves espaciales en este gráfico (excepto la ISS, cuyo rango de puntos está marcado como "teoría") llevan relojes atómicos cuyo funcionamiento correcto depende de la validez de la relatividad general.

• En 1971, Hafele y Keating hicieron volar relojes atómicos de cesio de este a oeste alrededor de la Tierra en aviones comerciales para comparar el tiempo transcurrido con el de un reloj que permanecía en el Observatorio Naval de los Estados Unidos . Entraron en juego dos efectos opuestos. Se esperaba que los relojes envejecieran más rápidamente (mostraran un tiempo transcurrido mayor) que el reloj de referencia, ya que estaban en un potencial gravitatorio más alto (más débil) durante la mayor parte del viaje (cf. experimento de Pound-Rebka ). Pero también, en contraste, se esperaba que los relojes en movimiento envejecieran más lentamente debido a la velocidad de su viaje. A partir de las trayectorias de vuelo reales de cada viaje, la teoría predijo que los relojes voladores, comparados con los relojes de referencia en el Observatorio Naval de los Estados Unidos, deberían haber perdido 40 ± 23 nanosegundos durante el viaje hacia el este y deberían haber ganado 275 ± 21 nanosegundos durante el viaje hacia el oeste. En relación con la escala de tiempo atómico del Observatorio Naval de los Estados Unidos, los relojes voladores perdieron 59 ± 10 nanosegundos durante el viaje hacia el este y ganaron 273 ± 7 nanosegundos durante el viaje hacia el oeste (donde las barras de error representan la desviación estándar). ^[40] En 2005, el Laboratorio Nacional de Física del Reino Unido informó sobre su réplica limitada de este experimento. ^[41] El experimento del NPL se diferenciaba del original en que los relojes de cesio se enviaron en un viaje más corto (ida y vuelta de Londres a Washington, DC), pero los relojes eran más precisos. Los resultados informados están dentro del 4% de las predicciones de la relatividad, dentro de la incertidumbre de las mediciones.
• El Sistema de Posicionamiento Global puede considerarse un experimento de funcionamiento continuo tanto en relatividad especial como general. Los relojes en órbita están corregidos para los efectos de dilatación del tiempo relativista especial y general, como se describió anteriormente, de modo que (tal como se observa desde la superficie de la Tierra) funcionan a la misma velocidad que los relojes en la superficie de la Tierra. ^[42]

En la cultura popular

La velocidad y la dilatación gravitacional del tiempo han sido el tema de obras de ciencia ficción en una variedad de medios. Algunos ejemplos en el cine son las películas Interstellar y El planeta de los simios . ^[43] En Interstellar , un punto clave de la trama involucra a un planeta, que está cerca de un agujero negro giratorio y en cuya superficie una hora equivale a siete años en la Tierra debido a la dilatación del tiempo. ^[44] El físico Kip Thorne colaboró ​​​​en la realización de la película y explicó sus conceptos científicos en el libro The Science of Interstellar . ^{[45] [46]}

La dilatación temporal se utilizó en los episodios de Doctor Who " World Enough and Time " y " The Doctor Falls ", que tienen lugar en una nave espacial en las proximidades de un agujero negro. Debido a la inmensa atracción gravitatoria del agujero negro y la longitud de la nave (400 millas), el tiempo se mueve más rápido en un extremo que en el otro. Cuando el compañero del Doctor, Bill, es llevado al otro extremo de la nave, ella espera años a que él la rescate; en su tiempo, solo pasan minutos. ^[47] Además, la dilatación permite a los Cybermen evolucionar a un ritmo "más rápido" que el visto anteriormente en la serie.

Tau Zero , una novela de Poul Anderson , es un ejemplo temprano del concepto en la literatura de ciencia ficción. En la novela, una nave espacial utiliza un estatorreactor Bussard para acelerar a velocidades lo suficientemente altas como para que la tripulación pase cinco años a bordo, pero pasen treinta y tres años en la Tierra antes de que lleguen a su destino. Anderson explica la dilatación del tiempo de la velocidad en términos del factor tau que disminuye cada vez más cerca de cero a medida que la nave se acerca a la velocidad de la luz, de ahí el título de la novela. ^[48] Debido a un accidente, la tripulación no puede dejar de acelerar la nave espacial, lo que provoca una dilatación temporal tan extrema que la tripulación experimenta el Big Crunch al final del universo. ^[49] Otros ejemplos en la literatura, como Rocannon's World , Hyperion y The Forever War , hacen uso de la dilatación del tiempo relativista como un recurso literario científicamente plausible para que ciertos personajes envejezcan más lentamente que el resto del universo. ^{[50] [51]}

Véase también

• Contracción de longitud
• Masa en relatividad especial

Notas al pie

1. La dilatación temporal media tiene una dependencia débil del ángulo de inclinación orbital (Ashby 2003, p.32). El resultado r ≈ 1,497 corresponde a ^[37] la inclinación orbital de los satélites GPS modernos, que es de 55 grados.

Referencias

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Enlaces externos

• Medios relacionados con la dilatación del tiempo en Wikimedia Commons
• Merrifield, Michael. "El factor de Lorentz (y la dilatación del tiempo)". Sixty Symbols . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .