Difusión magnética

Tipo de movimiento de los campos magnéticos

La difusión magnética se refiere al movimiento de los campos magnéticos , típicamente en presencia de un sólido o fluido conductor, como un plasma . El movimiento de los campos magnéticos se describe mediante la ecuación de difusión magnética y se debe principalmente a la inducción y difusión de los campos magnéticos a través del material. La ecuación de difusión magnética es una ecuación diferencial parcial que se usa comúnmente en física. Comprender el fenómeno es esencial para la magnetohidrodinámica y tiene consecuencias importantes en la astrofísica, la geofísica y la ingeniería eléctrica.

Ecuación

La ecuación de difusión magnética (también conocida como ecuación de inducción ) es donde es la permeabilidad del espacio libre y es la conductividad eléctrica del material, que se supone constante. denota la velocidad (no relativista) del plasma. El primer término del lado derecho representa los efectos de la inducción del plasma, mientras que el segundo representa la difusión . Este último actúa como un término de disipación, lo que resulta en una pérdida de energía del campo magnético en calor. La importancia relativa de los dos términos se caracteriza por el número de Reynolds magnético , . $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle R_{m}}$

Sin embargo , en el caso de una conductividad no uniforme , la ecuación de difusión magnética se vuelve significativamente más difícil de resolver. $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \left[{\frac {1}{\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}\right]}$$

Derivación

Partiendo de la ley de Ohm generalizada : ^{[1] [2]} y las ecuaciones de rizo para pequeñas corrientes de desplazamiento (es decir, bajas frecuencias) sustituyen en la ley de Ampere-Maxwell para obtener Tomando el rizo de la ecuación anterior y sustituyendo en la ley de Faraday, Esta expresión se puede simplificar aún más escribiéndola en términos del componente i -ésimo de y el tensor de Levi-Cevita : Usando la identidad ^[3] y recordando , los productos cruzados se pueden eliminar: Escrita en forma vectorial, la expresión final es donde es la derivada material . Esto se puede reorganizar en una forma más útil usando identidades de cálculo vectorial y : En el caso , esto se convierte en una ecuación de difusión para el campo magnético, donde es la difusividad magnética . $${\displaystyle {\vec {J}}=\sigma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)}$$ $${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\approx \mu _{0}{\vec {J}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\quad \Rightarrow \quad {\vec {E}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}-{\vec {v}}\times {\vec {B}}.}$$ $${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}-{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\varepsilon _{klm}\partial _{l}B_{m}-\varepsilon _{klm}v_{l}B_{m}\right)\\&=\varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{l}B_{m}-\left(v_{l}\partial _{j}B_{m}+B_{m}\partial _{j}v_{l}\right)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$ ${\displaystyle \partial _{j}B_{j}=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\left(\partial _{i}\partial _{j}B_{j}-\partial _{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(v_{i}\partial _{j}B_{j}-v_{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{j}B_{i}+v_{j}\partial _{j}B_{i}-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}={\frac {D{\vec {B}}}{Dt}}=\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}-{\vec {B}}\left(\nabla \cdot {\vec {v}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$$ ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$$ ${\displaystyle {\vec {v}}=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}}$$ ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}}$

Casos limitantes

En algunos casos es posible ignorar uno de los términos de la ecuación de difusión magnética. Esto se hace estimando el número de Reynolds magnético, donde es la difusividad, es la magnitud de la velocidad del plasma y es una longitud característica del plasma. $${\displaystyle R_{m}={\frac {vL}{\eta }}}$$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$

Relación con el efecto sobre la piel

A bajas frecuencias, la profundidad de la piel para la penetración de un campo electromagnético de CA en un conductor es: En comparación con la fórmula para , la profundidad de la piel es la longitud de difusión del campo durante un período de oscilación: ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\mu \sigma \omega }}}}$$ ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2\eta }{\omega }}}={\sqrt {\frac {\eta T}{\pi }}}}$$

Ejemplos y visualización

Ejemplo de campo magnético congelado en el flujo de fluido.

Para el límite , las líneas de campo magnético se " congelan " en el movimiento del fluido conductor. Un ejemplo simple que ilustra este comportamiento tiene un flujo de cizallamiento que varía sinusoidalmente con un campo magnético inicial uniforme . La ecuación para este límite, , tiene la solución ^[4] Como se puede ver en la figura de la derecha, el fluido arrastra las líneas de campo magnético de modo que obtienen el carácter sinusoidal del campo de flujo. ${\displaystyle R_{m}\gg 1}$ $${\displaystyle {\vec {v}}=v_{0}\sin(ky){\hat {x}}}$$ ${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}},0\right)=B_{0}{\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]}$ $${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}},t\right)=B_{0}kv_{0}t\cos(ky){\hat {x}}+B_{0}{\hat {y}}}$$

Para el límite , la ecuación de difusión magnética es simplemente una forma vectorial de la ecuación del calor . Para un campo magnético inicial localizado (por ejemplo, distribución gaussiana) dentro de un material conductor, los máximos y mínimos decaerán asintóticamente hasta un valor consistente con la ecuación de Laplace para las condiciones de contorno dadas. Este comportamiento se ilustra en la figura siguiente. ${\displaystyle R_{m}\ll 1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$

Tiempos de difusión para conductores estacionarios

Para conductores estacionarios con geometrías simples, se puede derivar una constante de tiempo denominada tiempo de difusión magnética. ^[5] Se aplican diferentes ecuaciones unidimensionales para placas conductoras y cilindros conductores con permeabilidad magnética constante. Además, se pueden derivar diferentes ecuaciones de tiempo de difusión para materiales saturables no lineales, como el acero. ${\displaystyle (R_{m}=0)}$

Referencias

1. Holt, EH; Haskell, RE (1965). Fundamentos de la dinámica del plasma . Nueva York: Macmillan. págs. 429-431.
2. Chen, Francis F. (2016). Introducción a la física del plasma y la fusión controlada (3.ª ed.). Heidelberg: Springer. pp. 192–194. ISBN 978-3-319-22308-7.
3. Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). La teoría clásica de campos (4.ª edición revisada). Nueva York: Elsevier. ISBN 9781483293288.
4. Longcope, Dana (2002). "Notes on Magnetohydrodynamics" (PDF) . Universidad Estatal de Montana - Departamento de Física . Consultado el 30 de abril de 2019 .
5. Brauer, JR (2014). Actuadores y sensores magnéticos (2.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley IEEE Press. ISBN 978-1-118-50525-0.