Diagrama del espacio-tiempo

Gráfica del espacio y el tiempo en la relatividad especial

La línea del mundo (trayectoria amarilla) de un fotón , que está en la ubicación x = 0 en el tiempo ct = 0.

Un diagrama de espacio-tiempo es una ilustración gráfica de las ubicaciones en el espacio en distintos momentos, especialmente en la teoría especial de la relatividad . Los diagramas de espacio-tiempo pueden mostrar la geometría subyacente a fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud sin ecuaciones matemáticas.

La historia de la ubicación de un objeto a través del tiempo traza una línea o curva en un diagrama espacio-temporal, denominada línea del mundo del objeto . Cada punto en un diagrama espacio-temporal representa una posición única en el espacio y el tiempo y se denomina evento .

La clase más conocida de diagramas espacio-temporales son los llamados diagramas de Minkowski , desarrollados por Hermann Minkowski en 1908. Los diagramas de Minkowski son gráficos bidimensionales que representan eventos que suceden en un universo que consta de una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de un gráfico de distancia-tiempo regular, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida de tiempo y espacio se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa siguiendo un ángulo de 45° con los ejes del diagrama.

Introducción a los diagramas cinéticos

Gráficas de posición versus tiempo

Figura 1-1. Gráfica de posición vs. tiempo

En el estudio de la cinemática unidimensional , los gráficos de posición versus tiempo (llamados gráficos xt para abreviar) proporcionan un medio útil para describir el movimiento. Las características cinemáticas además de la posición del objeto son visibles por la pendiente y la forma de las líneas. ^[1] En la figura 1-1, el objeto trazado se aleja del origen a una velocidad constante positiva (1,66 m/s) durante 6 segundos, se detiene durante 5 segundos y luego regresa al origen durante un período de 7 segundos a una velocidad no constante (pero con velocidad negativa).

En su nivel más básico, un diagrama de espacio-tiempo es simplemente un gráfico de tiempo versus posición, con las direcciones de los ejes en un gráfico pt habitual intercambiadas; es decir, el eje vertical se refiere a valores de coordenadas temporales y el eje horizontal a espaciales. Especialmente cuando se utilizan en relatividad especial (SR), los ejes temporales de un diagrama de espacio-tiempo a menudo se escalan con la velocidad de la luz c y, por lo tanto, a menudo se etiquetan con ct. Esto cambia la dimensión de la cantidad física abordada de < Tiempo > a < Longitud >, de acuerdo con la dimensión asociada con el eje espacial, que con frecuencia se etiqueta x.

Configuración estándar de los marcos de referencia

Fig. 1-2. Diagrama galileano de dos marcos de referencia en configuración estándar.

Para comprender mejor cómo se comparan entre sí las coordenadas del espacio-tiempo medidas por observadores en diferentes marcos de referencia , es útil estandarizar y simplificar la configuración. Dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos de referencia convencionales de 3 espacios), S y S′ (pronunciado "S prima"), cada uno con observadores O y O′ en reposo en sus respectivos marcos, pero midiendo al otro como moviéndose con velocidades ± v, se dice que están en configuración estándar , cuando:

• Los ejes x , y , z del marco S están orientados paralelos a los respectivos ejes primos del marco S′.
• Los orígenes de los marcos S y S′ coinciden en el tiempo t = 0 en el marco S y también en t ′ = 0 en el marco S′. ^{[2] : 107}
• El marco S′ se mueve en la dirección x del marco S con una velocidad v medida en el marco S.

Esta configuración espacial se muestra en la figura 1-2, en la que las coordenadas temporales se anotan por separado como cantidades t y t' .

En un paso más de simplificación, a menudo es suficiente considerar sólo la dirección del movimiento observado e ignorar los otros dos componentes espaciales, lo que permite representar gráficamente x y ct en diagramas espacio-temporales bidimensionales, como se presentó anteriormente.

"Diagramas espacio-temporales" no relativistas

Fig. 1-3. En la física newtoniana, para ambos observadores el evento en A se asigna al mismo punto en el tiempo.

Los ejes negros etiquetados x y ct en la Fig. 1-3 son el sistema de coordenadas de un observador, al que se hace referencia como en reposo , y que se encuentra en x = 0. La línea del mundo de este observador es idéntica al eje del tiempo ct . Cada línea paralela a este eje correspondería también a un objeto en reposo pero en otra posición. La línea azul describe un objeto que se mueve con velocidad constante v hacia la derecha, como un observador en movimiento.

Esta línea azul, marcada con ct ′, puede interpretarse como el eje temporal del segundo observador. Junto con el eje x , que es idéntico para ambos observadores, representa su sistema de coordenadas. Como los sistemas de referencia están en configuración estándar, ambos observadores coinciden en la ubicación del origen de sus sistemas de coordenadas. Los ejes del observador en movimiento no son perpendiculares entre sí y la escala en su eje temporal está estirada. Para determinar las coordenadas de un determinado acontecimiento, se deben construir dos líneas, cada una paralela a uno de los dos ejes, que pasen por el acontecimiento y leer sus intersecciones con los ejes.

La determinación de la posición y el tiempo del evento A como ejemplo en el diagrama conduce al mismo tiempo para ambos observadores, como se esperaba. Solo para la posición resultan valores diferentes, porque el observador en movimiento se ha acercado a la posición del evento A desde t = 0 . En términos generales, todos los eventos en una línea paralela al eje x ocurren simultáneamente para ambos observadores. Solo existe un tiempo universal t = t ′ , lo que modela la existencia de un eje de posición común. Por otro lado, debido a dos ejes de tiempo diferentes, los observadores generalmente miden coordenadas diferentes para el mismo evento. Esta traducción gráfica de x y t a x ′ y t ′ y viceversa se describe matemáticamente mediante la llamada transformación de Galileo .

Diagramas de Minkowski

Descripción general

Figura 2-1 En la teoría de la relatividad, cada observador asigna el evento en A a un tiempo y ubicación diferentes.

Fig. 2-2 Diagrama de Minkowski para distintas velocidades del fotograma preparado, que se mueve en relación con el fotograma no preparado. Las líneas discontinuas representan el cono de luz de un destello de luz en el origen.

El término diagrama de Minkowski se refiere a una forma específica de diagrama de espacio-tiempo que se utiliza con frecuencia en la relatividad especial. Un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una porción del espacio de Minkowski , generalmente donde el espacio se ha reducido a una sola dimensión. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera que el cono de luz en un evento consiste en las líneas de pendiente más o menos uno que pasan por ese evento. ^[3] Las líneas horizontales corresponden a la noción habitual de eventos simultáneos para un observador estacionario en el origen.

Un diagrama de Minkowski particular ilustra el resultado de una transformación de Lorentz . La transformación de Lorentz relaciona dos marcos de referencia inerciales , donde un observador estacionario en el evento (0, 0) realiza un cambio de velocidad a lo largo del eje x . Como se muestra en la Fig. 2-1, el nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo α con el eje de tiempo anterior, con α < ⁠π/4⁠ . En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos se encuentran paralelos a una línea inclinada por α con respecto a las líneas de simultaneidad anteriores. Este es el nuevo eje x . Tanto el conjunto original de ejes como el conjunto de ejes primados tienen la propiedad de ser ortogonales con respecto al producto interno de Minkowski o producto escalar relativista . La posición original en su línea de tiempo (ct) es perpendicular a la posición A, la posición original en su línea de tiempo mutua (x) donde (t) es cero. Esta línea de tiempo donde las líneas de tiempo se unen se posicionan entonces en la misma línea de tiempo incluso cuando hay 2 posiciones diferentes. Las 2 posiciones están en la línea de Evento de 45 grados en la posición original de A. Por lo tanto, la posición A y la posición A' en la línea de Evento y (t) = 0, reubican A' nuevamente en la posición A.

Cualquiera que sea la magnitud de α , la línea ct = x forma la bisectriz universal ^[4] , como se muestra en la figura 2-2.

Con frecuencia se encuentran diagramas de Minkowski donde las unidades de medida de tiempo están escaladas por un factor de c de modo que una unidad de x es igual a una unidad de t . Un diagrama de este tipo puede tener unidades de

• Aproximadamente 30 centímetros de longitud y nanosegundos.
• Unidades astronómicas e intervalos de unos 8 minutos y 19 segundos (499 segundos)
• Años luz y años
• Segundo luz y segundo

Con esto, las trayectorias de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz entre los ejes.

Detalles matemáticos

Fig 2-3 Diferentes escalas en los ejes.

El ángulo α entre los ejes x y x ′ será idéntico al que hay entre los ejes de tiempo ct y ct ′ . Esto se desprende del segundo postulado de la relatividad especial, que dice que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo (véase más adelante). El ángulo α viene dado por ^[5]

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}{c}}=\beta .}$

El impulso correspondiente de x y t a x ′ y t ′ y viceversa se describe matemáticamente mediante la transformación de Lorentz , que puede escribirse

${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta x),\\x'&=\gamma (x-\beta ct)\\\end{aligned}}}$

donde es el factor de Lorentz . Aplicando la transformación de Lorentz, los ejes del espacio-tiempo obtenidos para un marco reforzado siempre corresponderán a diámetros conjugados de un par de hipérbolas . ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Como se ilustra en la figura 2-3, los ejes del espacio-tiempo potenciados y no potenciados tendrán, en general, longitudes unitarias desiguales. Si U es la longitud unitaria en los ejes de ct y x respectivamente, la longitud unitaria en los ejes de ct ′ y x ′ es: ^[6]

${\displaystyle U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.}$

El eje ct representa la línea de tiempo de un reloj que reposa en S , donde U representa la duración entre dos eventos que suceden en esta línea de tiempo, también llamado tiempo propio entre estos eventos. La longitud U sobre el eje x representa la longitud en reposo o longitud propia de una varilla que reposa en S . La misma interpretación también se puede aplicar a la distancia U ′ sobre los ejes ct ′ y x ′ para relojes y varillas que reposa en S ′ .

Historia

Cono de luz e hipérbolas en Minkowski (1908)

Albert Einstein anunció su teoría de la relatividad especial en 1905, ^[7] y Hermann Minkowski proporcionó su representación gráfica en 1908. ^[8]

En el artículo de Minkowski de 1908 había tres diagramas, primero para ilustrar la transformación de Lorentz, luego la partición del plano por el cono de luz y finalmente la ilustración de las líneas de mundo. ^[8] El primer diagrama utilizó una rama de la hipérbola unitaria para mostrar el lugar geométrico de una unidad de tiempo propio en función de la velocidad, ilustrando así la dilatación del tiempo. El segundo diagrama mostró la hipérbola conjugada para calibrar el espacio, donde un estiramiento similar deja la impresión de contracción de FitzGerald . En 1914, Ludwik Silberstein ^[9] incluyó un diagrama de la "representación de Minkowski de la transformación de Lorentz". Este diagrama incluía la hipérbola unitaria, su conjugado y un par de diámetros conjugados . Desde la década de 1960, una versión de esta configuración más completa se conoce como Diagrama de Minkowski y se utiliza como una ilustración estándar de la geometría de transformación de la relatividad especial. ET Whittaker ha señalado que el principio de relatividad es equivalente a la arbitrariedad del radio de hipérbola seleccionado para el tiempo en el diagrama de Minkowski. En 1912, Gilbert N. Lewis y Edwin B. Wilson aplicaron los métodos de la geometría sintética para desarrollar las propiedades del plano no euclidiano que tiene diagramas de Minkowski. ^{[10] [11]} ${\displaystyle t^{2}-x^{2}=1}$

Cuando Taylor y Wheeler escribieron Spacetime Physics (1966), no utilizaron el término diagrama de Minkowski para su geometría del espacio-tiempo, sino que incluyeron un reconocimiento a la contribución de Minkowski a la filosofía mediante la totalidad de su innovación de 1908. ^[12]

Diagramas de Loedel

Mientras que un sistema en reposo en un diagrama de Minkowski tiene ejes espacio-temporales ortogonales, un sistema en movimiento con respecto al sistema en reposo en un diagrama de Minkowski tiene ejes espacio-temporales que forman un ángulo agudo. Esta asimetría de los diagramas de Minkowski puede ser engañosa, ya que la relatividad especial postula que dos sistemas de referencia inerciales cualesquiera deben ser físicamente equivalentes. El diagrama de Loedel es un diagrama espacio-temporal alternativo que hace mucho más manifiesta la simetría de los sistemas de referencia inerciales.

Formulación a través del marco medio

Varios autores demostraron que existe un marco de referencia entre los ejes en reposo y en movimiento donde su simetría sería evidente ("marco medio"). ^[13] En este marco, los otros dos marcos se mueven en direcciones opuestas con la misma velocidad. El uso de tales coordenadas hace que las unidades de longitud y tiempo sean las mismas para ambos ejes. Si β = ⁠en/do⁠ yse dan entrey, entonces estas expresiones están conectadas con los valores en su marco mediano S ₀ de la siguiente manera: ^{[13] [14]} ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+{\beta _{0}}^{2}}},\\[3pt]&(2)&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}}$

Por ejemplo, si β = 0,5 entre y , entonces por (2) se mueven en su sistema de referencia mediano S ₀ con aproximadamente ±0,268 c cada uno en direcciones opuestas. Por otro lado, si β ₀ = 0,5 en S ₀ , entonces por (1) la velocidad relativa entre y en sus propios sistemas de referencia en reposo es 0,8 c . La construcción de los ejes de y se realiza de acuerdo con el método ordinario utilizando tan α = β ₀ con respecto a los ejes ortogonales del sistema de referencia mediano (Fig. 3-1). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Sin embargo, resulta que al dibujar un diagrama tan simétrico, es posible derivar las relaciones del diagrama incluso sin mencionar el marco mediano y β _0. En cambio, la velocidad relativa β = ⁠en/do⁠ entreyse puede utilizar directamente en la siguiente construcción, proporcionando el mismo resultado: ^[15] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Si φ es el ángulo entre los ejes de ct ′ y ct (o entre x y x ′ ), y θ entre los ejes de x ′ y ct ′ , se da: ^{[15] [16] [17] [18]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma .\end{aligned}}}$

De la figura 3-2 se desprenden claramente dos métodos de construcción: el eje x se dibuja perpendicular al eje ct ′ , los ejes x ′ y ct se añaden en un ángulo φ ; y el eje x ′ se dibuja en un ángulo θ con respecto al eje ct ′ , el eje x se añade perpendicular al eje ct ′ y el eje ct perpendicular al eje x ′ .

En un diagrama de Minkowski, las longitudes de la página no se pueden comparar directamente entre sí, debido al factor de deformación entre las longitudes unitarias de los ejes en un diagrama de Minkowski. En particular, si y son las longitudes unitarias de los ejes del sistema de referencia en reposo y de los ejes del sistema de referencia en movimiento, respectivamente, en un diagrama de Minkowski, entonces las dos longitudes unitarias se deforman entre sí mediante la fórmula: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\prime }}$

${\displaystyle U^{\prime }=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}}$

Por el contrario, en un diagrama de Loedel simétrico, tanto los ejes de los marcos como los de los cuadros están deformados por el mismo factor en relación con el marco medio y, por lo tanto, tienen longitudes unitarias idénticas. Esto implica que, en el caso de un diagrama de espacio-tiempo de Loedel, podemos comparar directamente las longitudes de espacio-tiempo entre diferentes marcos tal como aparecen en la página; no es necesario realizar ninguna conversión o escalado de longitudes unitarias entre marcos debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Historia

• Max Born (1920) dibujó diagramas de Minkowski colocando el eje ct ′ casi perpendicular al eje x , así como el eje ct al eje x ′ , para demostrar la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo en el caso simétrico de dos varillas y dos relojes moviéndose en direcciones opuestas. ^[19]
• Dmitry Mirimanoff (1921) demostró que siempre existe un sistema de referencia mediano con respecto a dos sistemas de referencia que se mueven relativamente y derivó las relaciones entre ellos a partir de la transformación de Lorentz. Sin embargo, no proporcionó una representación gráfica en un diagrama. ^[13]
• Los diagramas simétricos fueron desarrollados sistemáticamente por Paul Gruner en colaboración con Josef Sauter en dos artículos publicados en 1921. Ellos demostraron efectos relativistas como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo y algunas relaciones con vectores covariantes y contravariantes. ^{[16] [17]} Gruner amplió este método en artículos posteriores (1922-1924) y también dio crédito al tratamiento de Mirimanoff. ^{[20] [21] [22] [23] [24] [25]}
• La construcción de diagramas simétricos de Minkowski fue redescubierta posteriormente de forma independiente por varios autores. Por ejemplo, a partir de 1948, Enrique Loedel Palumbo publicó una serie de artículos en lengua española, presentando los detalles de dicho enfoque. ^{[26] [27]} En 1955, Henri Amar también publicó un artículo que presentaba dichas relaciones, y dio crédito a Loedel en un artículo posterior en 1957. ^{[28] [29]} Algunos autores de libros de texto utilizan diagramas simétricos de Minkowski, denominándolos como diagramas de Loedel . ^{[15] [18]}

Fenómenos relativistas en diagramas

Dilatación del tiempo

Figura 4-1. Dilatación relativista del tiempo, como se representa en dos diagramas de espacio-tiempo de Loedel. Ambos observadores consideran que el reloj del otro va más lento.

Figura 4-2. Dilatación del tiempo relativista, como se representa en un único diagrama de espacio-tiempo de Loedel. Ambos observadores consideran que el reloj del otro va más lento.

La dilatación relativista del tiempo se refiere al hecho de que un reloj (que indica su tiempo propio en su marco de referencia en reposo) que se mueve en relación con un observador se observa que funciona más lento. La situación se representa en los diagramas de Loedel simétricos de la figura 4-1. Nótese que podemos comparar las longitudes del espacio-tiempo en la página directamente entre sí, debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

En la Fig. 4-2, se supone que el observador cuyo marco de referencia está dado por los ejes negros se mueve desde el origen O hacia A. El reloj en movimiento tiene el marco de referencia dado por los ejes azules y se mueve de O a B. Para el observador negro, todos los eventos que suceden simultáneamente con el evento en A están ubicados en una línea recta paralela a su eje espacial. Esta línea pasa por A y B, por lo que A y B son simultáneos desde el marco de referencia del observador con ejes negros. Sin embargo, el reloj que se mueve en relación con el observador negro marca el tiempo a lo largo del eje de tiempo azul. Esto está representado por la distancia de O a B. Por lo tanto, el observador en A con los ejes negros nota que su reloj marca la distancia de O a A mientras observa que el reloj se mueve en relación con él o ella para leer la distancia de O a B. Debido a que la distancia de O a B es menor que la distancia de O a A, concluye que el tiempo transcurrido en el reloj que se mueve en relación con él es menor que el transcurrido en su propio reloj.

Un segundo observador, que se ha desplazado junto con el reloj desde O hasta B, argumentará que el reloj del eje negro acaba de llegar a C y, por tanto, va más lento. La razón de estas afirmaciones aparentemente paradójicas es la diferente determinación de los acontecimientos que suceden sincrónicamente en diferentes lugares. Debido al principio de relatividad, la pregunta de quién tiene razón no tiene respuesta y no tiene sentido.

Contracción de longitud

Figura 4-3 Contracción relativista de la longitud, como se representa en dos diagramas de espacio-tiempo de Loedel. Ambos observadores consideran que los objetos que se mueven con el otro observador son más cortos.

Figura 4-4 Contracción relativista de la longitud, como se representa en un único diagrama de espacio-tiempo de Loedel. Ambos observadores consideran que los objetos que se mueven con el otro observador son más cortos.

La contracción relativista de la longitud se refiere al hecho de que una regla (que indica su longitud adecuada en su sistema de referencia en reposo) que se mueve en relación con un observador se contrae o se acorta. La situación se representa en diagramas de Loedel simétricos en la figura 4-3. Observe que podemos comparar las longitudes del espacio-tiempo en la página directamente entre sí, debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

En la Fig. 4-4, se supone nuevamente que el observador se mueve a lo largo del eje ct . Se supone que las líneas del universo de los puntos finales de un objeto que se mueve con respecto a él se mueven a lo largo del eje ct ′ y la línea paralela que pasa por A y B. Para este observador, los puntos finales del objeto en t = 0 son O y A. Para un segundo observador que se mueve junto con el objeto, de modo que para él el objeto está en reposo, tiene la longitud propia OB en t ′ = 0. Debido a que OA < OB , el objeto está contraído para el primer observador.

El segundo observador argumentará que el primer observador ha evaluado los puntos finales del objeto en O y A respectivamente y, por lo tanto, en diferentes momentos, lo que lleva a un resultado erróneo debido a su movimiento mientras tanto. Si el segundo observador investiga la longitud de otro objeto con puntos finales que se mueven a lo largo del eje ct y una línea paralela que pasa por C y D, concluye de la misma manera que este objeto se contrae de OD a OC. Cada observador estima que los objetos que se mueven con el otro observador se contraen. Esta situación aparentemente paradójica es nuevamente una consecuencia de la relatividad de la simultaneidad, como lo demuestra el análisis mediante el diagrama de Minkowski.

Por todas estas consideraciones se asumió que ambos observadores tienen en cuenta la velocidad de la luz y su distancia a todos los eventos que ven para determinar los tiempos reales en que estos eventos ocurren desde su punto de vista.

Constancia de la velocidad de la luz

Fig. 4-5 Diagrama de Minkowski para 3 sistemas de coordenadas. Para las velocidades relativas al sistema en negro se cumple v ′ = 0,4 c y v ″ = 0,8 c .

Otro postulado de la relatividad especial es la constancia de la velocidad de la luz. Establece que cualquier observador situado en un sistema de referencia inercial que mida la velocidad de la luz en el vacío con respecto a sí mismo obtiene el mismo valor independientemente de su propio movimiento y del de la fuente de luz. Esta afirmación parece paradójica, pero se deduce inmediatamente de la ecuación diferencial que la produce, y el diagrama de Minkowski concuerda con ella. Explica también el resultado del experimento de Michelson-Morley , que se consideraba un misterio antes de que se descubriera la teoría de la relatividad, cuando se pensaba que los fotones eran ondas a través de un medio indetectable.

Para las líneas de universo de fotones que pasan por el origen en diferentes direcciones, x = ct y x = − ct se cumplen. Esto significa que cualquier posición en dicha línea de universo corresponde a pasos en los ejes x y ct de igual valor absoluto. De la regla para leer coordenadas en un sistema de coordenadas con ejes inclinados se deduce que las dos líneas de universo son las bisectrices de los ejes x y ct . Como se muestra en la figura 4-5, el diagrama de Minkowski las ilustra también como bisectrices de los ejes x′ y ct ′ . Esto significa que ambos observadores miden la misma velocidad c para ambos fotones.

A este diagrama de Minkowski se pueden añadir otros sistemas de coordenadas correspondientes a observadores con velocidades arbitrarias. Para todos estos sistemas, ambas líneas del universo de los fotones representan las bisectrices de los ejes. Cuanto más se aproxima la velocidad relativa a la velocidad de la luz, más se aproximan los ejes a la bisectriz del ángulo correspondiente. El eje es siempre más plano y el eje del tiempo más inclinado que las líneas del universo de los fotones. Las escalas de ambos ejes son siempre idénticas, pero normalmente diferentes de las de los otros sistemas de coordenadas. ${\displaystyle x}$

Velocidad de la luz y causalidad

Fig. 4-6 Pasado y futuro en relación con el origen. En las zonas grises no es posible realizar una clasificación temporal correspondiente.

Las líneas rectas que pasan por el origen y que son más empinadas que las líneas del universo de los fotones corresponden a objetos que se mueven más lentamente que la velocidad de la luz. Si esto se aplica a un objeto, se aplica desde el punto de vista de todos los observadores, porque las líneas del universo de estos fotones son las bisectrices de los ángulos para cualquier sistema de referencia inercial. Por lo tanto, cualquier punto por encima del origen y entre las líneas del universo de ambos fotones se puede alcanzar con una velocidad menor que la de la luz y puede tener una relación de causa y efecto con el origen. Esta área es el futuro absoluto, porque cualquier evento que ocurra allí ocurre más tarde en comparación con el evento representado por el origen, independientemente del observador, lo que es obvio gráficamente a partir del diagrama de Minkowski en la figura 4-6.

Siguiendo el mismo argumento, el rango por debajo del origen y entre las líneas del mundo de los fotones es el pasado absoluto relativo al origen. Cualquier evento que ocurra allí pertenece definitivamente al pasado y puede ser la causa de un efecto en el origen.

La relación entre estos pares de eventos se denomina temporal , porque tienen una distancia temporal mayor que cero para todos los observadores. Una línea recta que conecta estos dos eventos es siempre el eje temporal de un posible observador para el que ocurren en el mismo lugar. Dos eventos que se pueden conectar simplemente con la velocidad de la luz se denominan luminosos .

En principio, al diagrama de Minkowski se le puede añadir una dimensión espacial adicional, lo que da lugar a una representación tridimensional. En este caso, los rangos de futuro y pasado se convierten en conos cuyos vértices se tocan en el origen. Se denominan conos de luz .

La velocidad de la luz como límite

Fig. 4-7 Envío de un mensaje a velocidad superlumínica desde O vía A a B hacia el pasado. Ambos observadores consideran que el orden temporal de los pares de eventos O y A, así como el de A y B, es diferente.

Siguiendo el mismo argumento, todas las líneas rectas que pasan por el origen y que son más cercanas a la horizontal que las líneas del universo de los fotones, corresponderían a objetos o señales que se mueven más rápido que la luz , independientemente de la velocidad del observador. Por lo tanto, ningún evento fuera de los conos de luz puede ser alcanzado desde el origen, ni siquiera por una señal de luz, ni por ningún objeto o señal que se mueva a una velocidad menor que la de la luz. Tales pares de eventos se llaman espaciales porque tienen una distancia espacial finita distinta de cero para todos los observadores. Por otra parte, una línea recta que conecta tales eventos es siempre el eje de coordenadas espaciales de un posible observador para el cual ocurren al mismo tiempo. Mediante una ligera variación de la velocidad de este sistema de coordenadas en ambas direcciones, siempre es posible encontrar dos sistemas de referencia inerciales cuyos observadores estiman que el orden cronológico de estos eventos es diferente.

Dado un objeto que se mueve más rápido que la luz, por ejemplo de O a A en la figura 4-7, entonces para cualquier observador que observe el objeto moverse de O a A, se puede encontrar otro observador (que se mueve a una velocidad menor que la de la luz con respecto al primero) para quien el objeto se mueve de A a O. La pregunta de qué observador tiene razón no tiene una respuesta única y, por lo tanto, no tiene sentido físico. Cualquier objeto o señal en movimiento violaría el principio de causalidad.

Además, cualquier medio técnico general para enviar señales más rápidas que la luz permitiría enviar información al pasado del emisor. En el diagrama, un observador en O en el sistema x - ct envía un mensaje que se mueve más rápido que la luz a A. En A, es recibido por otro observador, que se mueve de manera que está en el sistema x ′ - ct ′ , que lo envía de vuelta, también más rápido que la luz, llegando a B. Pero B está en el pasado en relación con O. Lo absurdo de este proceso se hace evidente cuando ambos observadores confirman posteriormente que no recibieron ningún mensaje en absoluto, sino que todos los mensajes estaban dirigidos al otro observador, como se puede ver gráficamente en el diagrama de Minkowski. Además, si fuera posible acelerar a un observador a la velocidad de la luz, sus ejes de espacio y tiempo coincidirían con su bisectriz de ángulo. El sistema de coordenadas colapsaría, en concordancia con el hecho de que debido a la dilatación del tiempo , el tiempo dejaría de pasar para ellos.

Estas consideraciones muestran que la velocidad de la luz como límite es una consecuencia de las propiedades del espacio-tiempo y no de las propiedades de objetos como naves espaciales tecnológicamente imperfectas. La prohibición de moverse a velocidades superiores a las de la luz, por tanto, no tiene nada que ver en particular con las ondas electromagnéticas o la luz, sino que es una consecuencia de la estructura del espacio-tiempo.

Observadores acelerados

Figura 5-1 Los marcos de referencia que se mueven momentáneamente de manera conjunta de una partícula en aceleración, observados desde un marco estacionario

Fig. 5-2 Los marcos inerciales que se mueven momentáneamente a lo largo de la línea del mundo de un observador que acelera rápidamente (origen).

A menudo se afirma, incorrectamente, que la relatividad especial no puede manejar partículas aceleradas o sistemas de referencia acelerados. En realidad, las partículas aceleradas no presentan ninguna dificultad en la relatividad especial. Por otra parte, los sistemas acelerados sí requieren un tratamiento especial. Sin embargo, mientras se trate de un espacio-tiempo plano, minkowskiano, la relatividad especial puede manejar la situación. Sólo en presencia de la gravitación se requiere la relatividad general. ^[30]

La aceleración de 4 vectores de una partícula en aceleración es la derivada con respecto al tiempo propio de su 4-velocidad. No es una situación difícil de manejar. Los sistemas de referencia acelerados requieren que uno comprenda el concepto de un sistema de referencia comóvil momentáneamente (MCRF), es decir, un sistema que viaja a la misma velocidad instantánea de una partícula en cualquier instante dado.

Considere la animación de la figura 5-1. La línea curva representa la línea del universo de una partícula que experimenta una aceleración continua, incluidos cambios completos de dirección en las direcciones x positiva y negativa. Los ejes rojos son los ejes de la MCRF para cada punto a lo largo de la trayectoria de la partícula. Las coordenadas de los eventos en el marco no primado (estacionario) se pueden relacionar con sus coordenadas en cualquier marco primado que se mueva momentáneamente utilizando las transformaciones de Lorentz.

La figura 5-2 ilustra las vistas cambiantes del espacio-tiempo a lo largo de la línea del universo de una partícula que acelera rápidamente. El eje (no dibujado) es vertical, mientras que el eje (no dibujado) es horizontal. La línea discontinua es la trayectoria del espacio-tiempo ("línea del universo") de la partícula. Las bolas están colocadas a intervalos regulares de tiempo propio a lo largo de la línea del universo. Las líneas diagonales sólidas son los conos de luz para el evento actual del observador y se intersecan en ese evento. Los puntos pequeños son otros eventos arbitrarios en el espacio-tiempo. ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle x'}$

La pendiente de la línea del universo (desviación de la verticalidad) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea del universo. Las curvas en la línea del universo representan la aceleración de la partícula. A medida que la partícula se acelera, su visión del espacio-tiempo cambia. Estos cambios de visión están regidos por las transformaciones de Lorentz. Observe también que:

• Las bolas en la línea del mundo antes/después de las aceleraciones futuras/pasadas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo.
• Los eventos que eran simultáneos antes de una aceleración (eventos espaciados horizontalmente) ocurren en momentos diferentes después de una aceleración debido a la relatividad de la simultaneidad,
• Los acontecimientos pasan a través de las líneas del cono de luz debido a la progresión del tiempo propio, pero no debido al cambio de puntos de vista causado por las aceleraciones, y
• La línea del mundo siempre permanece dentro de los conos de luz futuros y pasados ​​del evento actual.

Si imaginamos que cada evento es el destello de una luz, entonces los eventos que están dentro del cono de luz pasado del observador son los eventos visibles para el observador. La pendiente de la línea del universo (desviación de la verticalidad) indica la velocidad relativa al observador.

Caso de sistemas de referencia no inerciales

Fig. 6-1 Diagrama de Minkowski en un sistema de referencia inercial. A la izquierda, la línea de universo vertical del objeto que cae. A la derecha, la línea de universo hiperbólica del cohete.

Fig. 6-2 Diagrama de Minkowski en un sistema de referencia no inercial. A la izquierda, la línea de universo del objeto que cae. A la derecha, la línea de universo vertical del cohete.

Las líneas del mundo de los fotones se determinan utilizando la métrica con . ^[31] Los conos de luz se deforman según la posición. En un marco de referencia inercial, una partícula libre tiene una línea del mundo recta. En un marco de referencia no inercial, la línea del mundo de una partícula libre es curva. ${\displaystyle d\tau =0}$

Tomemos como ejemplo la caída de un objeto que se deja caer sin velocidad inicial desde un cohete. El cohete tiene un movimiento uniformemente acelerado con respecto a un sistema de referencia inercial. Como se puede ver en la figura 6-2 de un diagrama de Minkowski en un sistema de referencia no inercial, el objeto, una vez que se deja caer, gana velocidad, alcanza un máximo y luego ve cómo su velocidad disminuye y se cancela asintóticamente en el horizonte, donde su tiempo propio se congela en . La velocidad la mide un observador en reposo en el cohete acelerado. ${\displaystyle t_{\text{H}}}$

Véase también

• Portal de física

• Espacio Minkowski
• Diagrama de Penrose
• Rapidez

Referencias

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Enlaces externos

Medios relacionados con los diagramas de Minkowski en Wikimedia Commons