Diagrama de espacio-tiempo

Gráfica del espacio y el tiempo en relatividad especial.

La línea mundial (camino amarillo) de un fotón , que está en la ubicación x = 0 en el momento ct = 0.

Un diagrama de espacio-tiempo es una ilustración gráfica de ubicaciones en el espacio en distintos momentos, especialmente en la teoría especial de la relatividad . Los diagramas de espacio-tiempo pueden mostrar la geometría subyacente a fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud sin ecuaciones matemáticas.

La historia de la ubicación de un objeto a lo largo del tiempo traza una línea o curva en un diagrama de espacio-tiempo, denominada línea mundial del objeto . Cada punto en un diagrama espacio-temporal representa una posición única en el espacio y el tiempo y se denomina evento .

La clase más conocida de diagramas de espacio-tiempo se conoce como diagramas de Minkowski , desarrollados por Hermann Minkowski en 1908. Los diagramas de Minkowski son gráficos bidimensionales que representan eventos que suceden en un universo que consta de una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de un gráfico normal de distancia-tiempo, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida de tiempo y espacio se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa siguiendo un ángulo de 45° con respecto a los ejes del diagrama.

Introducción a los diagramas cinéticos.

Gráficos de posición versus tiempo

Figura 1-1. Gráfico de posición versus tiempo

En el estudio de la cinemática unidimensional , los gráficos de posición versus tiempo (llamados gráficos xt para abreviar) proporcionan un medio útil para describir el movimiento. Las características cinemáticas además de la posición del objeto son visibles por la pendiente y la forma de las líneas. ^[1] En la Fig. 1-1, el objeto trazado se aleja del origen a una velocidad constante positiva (1,66 m/s) durante 6 segundos, se detiene durante 5 segundos y luego regresa al origen durante un período de 7 segundos a una velocidad no constante (pero velocidad negativa).

En su nivel más básico, un diagrama de espacio-tiempo es simplemente un gráfico de tiempo versus posición, con las direcciones de los ejes en un gráfico pt habitual intercambiadas; es decir, el eje vertical se refiere a valores de coordenadas temporales y el eje horizontal a valores de coordenadas espaciales. Especialmente cuando se usan en relatividad especial (SR), los ejes temporales de un diagrama espacio-temporal a menudo se escalan con la velocidad de la luz c y, por lo tanto, a menudo se etiquetan con ct. Esto cambia la dimensión de la cantidad física direccionada de <Tiempo> a <Longitud> , de acuerdo con la dimensión asociada con el eje espacial, que frecuentemente está etiquetado como x.

Configuración estándar de marcos de referencia.

Figura 1-2. Diagrama galileano de dos sistemas de referencia en configuración estándar.

Para facilitar la comprensión de cómo se comparan entre sí las coordenadas del espacio-tiempo, medidas por observadores en diferentes marcos de referencia , es útil estandarizar y simplificar la configuración. Dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos convencionales de 3 espacios), S y S′ (pronunciado "S primo"), cada uno con los observadores O y O′ en reposo en sus respectivos marcos, pero midiendo al otro como moviéndose con velocidades ± v Se dice que están en configuración estándar , cuando:

• Los ejes x , y , z del marco S están orientados paralelos a los respectivos ejes preparados del marco S'.
• Los orígenes de los cuadros S y S′ coinciden en el instante t = 0 en el cuadro S y también en t ′ = 0 en el cuadro S′. ^{[2] : 107}
• El marco S′ se mueve en la dirección x del marco S con la velocidad v medida en el marco S.

Esta configuración espacial se muestra en la Fig. 1-2, en la que las coordenadas temporales se anotan por separado como cantidades t y t' .

En un paso adicional de simplificación, a menudo es suficiente considerar solo la dirección del movimiento observado e ignorar los otros dos componentes espaciales, lo que permite trazar x y ct en diagramas espacio-temporales bidimensionales, como se presentó anteriormente.

"Diagramas espacio-temporales" no relativistas

Figura 1-3. En la física newtoniana, para ambos observadores, el evento en A se asigna al mismo momento.

Los ejes negros etiquetados x y ct en la figura 1-3 son el sistema de coordenadas de un observador, denominado en reposo , y que está ubicado en x = 0 . La línea mundial de este observador es idéntica al eje de tiempo ct . Cada línea paralela a este eje correspondería también a un objeto en reposo pero en otra posición. La línea azul describe un objeto que se mueve con velocidad constante v hacia la derecha, como un observador en movimiento.

Esta línea azul denominada ct ′ puede interpretarse como el eje de tiempo para el segundo observador. Junto con el eje x , que es idéntico para ambos observadores, representa su sistema de coordenadas. Dado que los sistemas de referencia están en configuración estándar, ambos observadores coinciden en la ubicación del origen de sus sistemas de coordenadas. Los ejes del observador en movimiento no son perpendiculares entre sí y la escala en su eje temporal está alargada. Para determinar las coordenadas de un determinado evento, se deben construir dos líneas, cada una de ellas paralela a uno de los dos ejes, que pasen por el evento y leer sus intersecciones con los ejes.

Determinar la posición y el momento del evento A como ejemplo en el diagrama conduce al mismo tiempo para ambos observadores, como se esperaba. Sólo para la posición se obtienen valores diferentes, porque el observador en movimiento se ha acercado a la posición del evento A desde t = 0 . En términos generales, todos los eventos en una línea paralela al eje x ocurren simultáneamente para ambos observadores. Sólo hay un tiempo universal t = t ′ , que modela la existencia de un eje de posición común. Por otro lado, debido a dos ejes temporales diferentes, los observadores suelen medir coordenadas diferentes para el mismo evento. Esta traducción gráfica de x y t a x ′ y t ′ y viceversa se describe matemáticamente mediante la llamada transformación galileana .

diagramas de Minkowski

Descripción general

Fig 2-1 En la teoría de la relatividad cada observador asigna el evento en A a un tiempo y lugar diferentes.

Fig. 2-2 Diagrama de Minkowski para varias velocidades del marco preparado, que se mueve en relación con el marco no preparado. Las líneas discontinuas representan el cono luminoso de un destello de luz en el origen.

El término diagrama de Minkowski se refiere a una forma específica de diagrama espacio-temporal que se utiliza con frecuencia en la relatividad especial. Un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una porción del espacio de Minkowski , generalmente donde el espacio se ha reducido a una sola dimensión. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera que el cono de luz en un evento esté formado por las líneas de pendiente más o menos uno que pasa por ese evento. ^[3] Las líneas horizontales corresponden a la noción habitual de eventos simultáneos para un observador estacionario en el origen.

Un diagrama de Minkowski particular ilustra el resultado de una transformación de Lorentz . La transformación de Lorentz relaciona dos sistemas de referencia inerciales , donde un observador estacionario en el evento (0, 0) realiza un cambio de velocidad a lo largo del eje x . Como se muestra en la Fig. 2-1, el nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo α con el eje de tiempo anterior, con α <π/4. En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos son paralelos a una línea inclinada en α con respecto a las líneas de simultaneidad anteriores. Este es el nuevo eje x . Tanto el conjunto original de ejes como el conjunto primo de ejes tienen la propiedad de que son ortogonales con respecto al producto interno de Minkowski o producto escalar relativista .

Cualquiera que sea la magnitud de α , la recta ct = x forma la bisectriz universal ^[4] , como se muestra en la figura 2-2.

Con frecuencia nos encontramos con diagramas de Minkowski en los que las unidades de medida de tiempo están escaladas por un factor de c tal que una unidad de x es igual a una unidad de t . Un diagrama de este tipo puede tener unidades de

• Aproximadamente 30 centímetros de longitud y nanosegundos.
• Unidades astronómicas e intervalos de aproximadamente 8 minutos y 19 segundos (499 segundos)
• Años luz y años
• Segundo luz y segundo

Así, los caminos de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz entre los ejes.

Detalles matemáticos

El ángulo α entre los ejes x y x ′ será idéntico al formado entre los ejes del tiempo ct y ct ′ . Esto se desprende del segundo postulado de la relatividad especial, que dice que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo (ver más abajo). El ángulo α viene dado por ^[5]

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}{c}}=\beta .}$

Fig 2-3 Diferentes escalas en los ejes.

El impulso correspondiente de x y t a x ′ y t ′ y viceversa se describe matemáticamente mediante la transformación de Lorentz , que se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta x),\\x'&=\gamma (x-\beta ct)\\\end{aligned}}}$

¿ Dónde está el factor de Lorentz ? Aplicando la transformación de Lorentz, los ejes espacio-temporales obtenidos para un marco potenciado siempre corresponderán a diámetros conjugados de un par de hipérbolas . ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Como se ilustra en la Fig. 2-3, los ejes espacio-temporales impulsados ​​y no impulsados ​​tendrán en general longitudes unitarias desiguales. Si U es la unidad de longitud en los ejes de ct y x respectivamente, la unidad de longitud en los ejes de ct ′ y x ′ es: ^[6]

${\displaystyle U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.}$

El eje ct representa la línea mundial de un reloj que descansa en S , donde U representa la duración entre dos eventos que suceden en esta línea mundial, también llamado el tiempo adecuado entre estos eventos. La longitud U sobre el eje x representa la longitud en reposo o la longitud adecuada de una varilla que descansa en S. La misma interpretación también se puede aplicar a la distancia U ′ sobre los ejes ct ′ y x ′ para relojes y varillas que descansan en S ′ .

Historia

Albert Einstein descubrió la relatividad especial en 1905, ^[7] y Hermann Minkowski proporcionó su representación gráfica en 1908. ^[8]

En el artículo de Minkowski de 1908 había tres diagramas, primero para ilustrar la transformación de Lorentz, luego la partición del plano por el cono de luz y, finalmente, la ilustración de las líneas del mundo. ^[8] El primer diagrama utilizó una rama de la hipérbola unitaria para mostrar el lugar geométrico de una unidad de tiempo propio dependiendo de la velocidad, ilustrando así la dilatación del tiempo. El segundo diagrama mostraba la hipérbola conjugada para calibrar el espacio, donde un estiramiento similar deja la impresión de una contracción de FitzGerald . En 1914, Ludwik Silberstein ^[9] incluyó un diagrama de "la representación de Minkowski de la transformación de Lorentz". Este diagrama incluía la hipérbola unitaria, su conjugado y un par de diámetros conjugados . Desde la década de 1960, una versión de esta configuración más completa se conoce como diagrama de Minkowski y se utiliza como ilustración estándar de la geometría de transformación de la relatividad especial. ET Whittaker ha señalado que el principio de relatividad equivale a la arbitrariedad del radio de hipérbola seleccionado para el tiempo en el diagrama de Minkowski. En 1912 Gilbert N. Lewis y Edwin B. Wilson aplicaron los métodos de la geometría sintética para desarrollar las propiedades del plano no euclidiano que tiene diagramas de Minkowski. ^{[10] [11]} ${\displaystyle t^{2}-x^{2}=1}$

Cuando Taylor y Wheeler compusieron Física del espacio-tiempo (1966), no utilizaron el término diagrama de Minkowski para su geometría del espacio-tiempo. En cambio, incluyeron un reconocimiento de la contribución de Minkowski a la filosofía por la totalidad de su innovación de 1908. ^[12]

diagramas de loedel

Mientras que un marco en reposo en un diagrama de Minkowski tiene ejes espacio-temporales ortogonales, un marco que se mueve con respecto al marco en reposo en un diagrama de Minkowski tiene ejes espacio-temporales que forman un ángulo agudo. Esta asimetría de los diagramas de Minkowski puede ser engañosa, ya que la relatividad especial postula que dos sistemas de referencia inerciales cualesquiera deben ser físicamente equivalentes. El diagrama de Loedel es un diagrama espacio-temporal alternativo que hace que la simetría de los marcos de referencia inerciales sea mucho más manifiesta.

Formulación a través del marco mediano.

Varios autores demostraron que existe un marco de referencia entre los que están en reposo y los que se mueven donde su simetría sería evidente ("marco mediano"). ^[13] En este cuadro, los otros dos cuadros se mueven en direcciones opuestas con la misma velocidad. El uso de tales coordenadas hace que las unidades de longitud y tiempo sean las mismas para ambos ejes. Si β =v/Cy se dan entre y , entonces estas expresiones se conectan con los valores en su marco mediano S ₀ de la siguiente manera: ^{[13] [14]} ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+{\beta _{0}}^{2}}},\\[3pt]&(2)&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}}$

Por ejemplo, si β = 0,5 entre y , entonces según (2) se están moviendo en su marco mediano S ₀ con aproximadamente ±0,268 c cada uno en direcciones opuestas. Por otro lado, si β ₀ = 0,5 en S ₀ , entonces según (1) la velocidad relativa entre y en sus propios marcos en reposo es 0,8 c . La construcción de los ejes de y se realiza de acuerdo con el método ordinario usando tan α = β ₀ con respecto a los ejes ortogonales del marco mediano (Fig. 3-1). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Sin embargo, resulta que al dibujar un diagrama simétrico de este tipo, es posible derivar las relaciones del diagrama incluso sin mencionar el marco mediano y β ₀ en absoluto. En cambio, la velocidad relativa β =v/Centre y se puede utilizar directamente en la siguiente construcción, proporcionando el mismo resultado: ^[15] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Si φ es el ángulo entre los ejes de ct ′ y ct (o entre x y x ′ ), y θ entre los ejes de x ′ y ct ′ , está dado: ^{[15] [16] [17] [18]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma .\end{aligned}}}$

Dos métodos de construcción son obvios en la figura 3-2: el eje x se dibuja perpendicular al eje ct ′ , los ejes x ′ y ct se suman en un ángulo φ ; y el eje x ′ se dibuja en un ángulo θ con respecto al eje ct ′ , el eje x se suma perpendicular al eje ct ′ y el eje ct perpendicular al eje x ′ .

En un diagrama de Minkowski, las longitudes de la página no se pueden comparar directamente entre sí debido al factor de deformación entre las longitudes unitarias de los ejes en un diagrama de Minkowski. En particular, si y son las longitudes unitarias de los ejes del marco en reposo y los ejes del marco en movimiento, respectivamente, en un diagrama de Minkowski, entonces las dos longitudes unitarias se deforman entre sí mediante la fórmula: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\prime }}$

${\displaystyle U^{\prime }=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}}$

Por el contrario, en un diagrama de Loedel simétrico, los ejes del marco y están deformados por el mismo factor con respecto al marco mediano y, por lo tanto, tienen longitudes unitarias idénticas. Esto implica que, para un diagrama de espacio-tiempo de Loedel, podemos comparar directamente las longitudes del espacio-tiempo entre diferentes fotogramas tal como aparecen en la página; no es necesario escalar/convertir unidades de longitud entre marcos debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Historia

• Max Born (1920) dibujó diagramas de Minkowski colocando el eje ct ′ casi perpendicular al eje x , así como el eje ct al eje x ′ , para demostrar la contracción de longitud y la dilatación del tiempo en el caso simétrico. de dos varillas y dos relojes que se mueven en direcciones opuestas. ^[19]
• Dmitry Mirimanoff (1921) demostró que siempre hay un marco mediano con respecto a dos marcos relativamente móviles y derivó las relaciones entre ellos a partir de la transformación de Lorentz. Sin embargo, no dio una representación gráfica en un diagrama. ^[13]
• Paul Gruner desarrolló sistemáticamente diagramas simétricos en colaboración con Josef Sauter en dos artículos de 1921. Demostraron efectos relativistas como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo y algunas relaciones con los vectores covariantes y contravariantes. ^{[16] [17]} Gruner amplió este método en artículos posteriores (1922-1924) y también dio crédito al tratamiento de Mirimanoff. ^{[20] [21] [22] [23] [24] [25]}
• Posteriormente, varios autores redescubrieron de forma independiente la construcción de diagramas simétricos de Minkowski. Por ejemplo, a partir de 1948, Enrique Loedel Palumbo publicó una serie de artículos en español, presentando los detalles de tal enfoque. ^{[26] [27]} En 1955, Henri Amar también publicó un artículo que presenta tales relaciones y dio crédito a Loedel en un artículo posterior en 1957. ^{[28] [29]} Algunos autores de libros de texto utilizan diagramas simétricos de Minkowski, denominados diagramas de Loedel. . ^{[15] [18]}

Fenómenos relativistas en diagramas.

Dilatación del tiempo

Figura 4-1. Dilatación del tiempo relativista, como se muestra en dos diagramas espacio-temporales de Loedel. Ambos observadores consideran que el reloj del otro va más lento.

Figura 4-2. Dilatación del tiempo relativista, como se muestra en un único diagrama espacio-temporal de Loedel. Ambos observadores consideran que el reloj del otro va más lento.

La dilatación del tiempo relativista se refiere al hecho de que se observa que un reloj (que indica su hora adecuada en su marco de reposo) que se mueve en relación con un observador funciona más lento. La situación se representa en los diagramas de Loedel simétricos de la figura 4-1. Tenga en cuenta que podemos comparar longitudes de espacio-tiempo en la página directamente entre sí, debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

En la figura 4-2, se supone que el observador cuyo marco de referencia está dado por los ejes negros se mueve desde el origen O hacia A. El reloj en movimiento tiene el marco de referencia dado por los ejes azules y se mueve de O a B. Para el negro observador, todos los eventos que suceden simultáneamente con el evento en A están ubicados en una línea recta paralela a su eje espacial. Esta línea pasa por A y B, por lo que A y B son simultáneos desde el sistema de referencia del observador con ejes negros. Sin embargo, el reloj que se mueve con respecto al observador negro marca el tiempo a lo largo del eje de tiempo azul. Esto está representado por la distancia de O a B. Por lo tanto, el observador en A con los ejes negros nota que su reloj lee la distancia de O a A mientras observa que el reloj se mueve con respecto a él para leer la distancia de O a B. Debido a que la distancia de O a B es menor que la distancia de O a A, concluyen que el tiempo transcurrido en el reloj que se mueve con respecto a ellos es menor que el que pasa en su propio reloj.

Un segundo observador, que se ha movido junto con el reloj de O a B, argumentará que el reloj del eje negro sólo ha llegado a C y, por tanto, funciona más lento. La razón de estas afirmaciones aparentemente paradójicas es la diferente determinación de los acontecimientos que suceden sincrónicamente en diferentes lugares. Debido al principio de relatividad, la pregunta de quién tiene razón no tiene respuesta y no tiene sentido.

Contracción de longitud

Fig. 4-3 Contracción de longitud relativista, como se muestra en dos diagramas espacio-temporales de Loedel. Ambos observadores consideran que los objetos que se mueven con el otro observador son más cortos.

Fig. 4-4 Contracción de longitud relativista, como se muestra en un diagrama espacio-temporal único de Loedel. Ambos observadores consideran que los objetos que se mueven con el otro observador son más cortos.

La contracción de longitud relativista se refiere al hecho de que se observa que una regla (que indica su longitud adecuada en su marco de reposo) que se mueve en relación con un observador se contrae o acorta. La situación se representa en diagramas de Loedel simétricos en la figura 4-3. Tenga en cuenta que podemos comparar longitudes de espacio-tiempo en la página directamente entre sí, debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

En la figura 4-4, se supone nuevamente que el observador se mueve a lo largo del eje ct . Se supone que las líneas universales de los puntos finales de un objeto que se mueve con respecto a él se mueven a lo largo del eje ct ′ y la línea paralela que pasa por A y B. Para este observador, los puntos finales del objeto en t = 0 son O y A. Para un segundo observador que se mueve junto con el objeto, de modo que para él el objeto está en reposo, tiene la longitud adecuada OB en t ′ = 0 . Debido a OA <OB . el objeto se contrae para el primer observador.

El segundo observador argumentará que el primer observador ha evaluado los puntos finales del objeto en O y A respectivamente y, por tanto, en momentos diferentes, lo que ha llevado a un resultado erróneo debido a su movimiento mientras tanto. Si el segundo observador investiga la longitud de otro objeto con puntos finales que se mueven a lo largo del eje ct y una línea paralela que pasa por C y D, concluye de la misma manera que este objeto se contrae de OD a OC. Cada observador estima que los objetos que se mueven con el otro observador se contraerán. Esta situación aparentemente paradójica es nuevamente consecuencia de la relatividad de la simultaneidad como lo demuestra el análisis mediante el diagrama de Minkowski.

Por todas estas consideraciones se asumió que ambos observadores tienen en cuenta la velocidad de la luz y su distancia a todos los eventos que ven para determinar los momentos reales en los que estos eventos ocurren desde su punto de vista.

Constancia de la velocidad de la luz.

Fig. 4-5 Diagrama de Minkowski para 3 sistemas de coordenadas. Para las velocidades relativas al sistema en negro se cumple v ′ = 0,4 cy v ″ = 0,8 c .

Otro postulado de la relatividad especial es la constancia de la velocidad de la luz. Dice que cualquier observador en un sistema de referencia inercial que mida la velocidad de la luz en el vacío en relación con él mismo obtiene el mismo valor independientemente de su propio movimiento y el de la fuente de luz. Esta afirmación parece paradójica, pero se deduce inmediatamente de la ecuación diferencial que la produce, y el diagrama de Minkowski concuerda. Explica también el resultado del experimento de Michelson-Morley , que se consideraba un misterio antes de que se descubriera la teoría de la relatividad, cuando se pensaba que los fotones eran ondas a través de un medio indetectable.

Para líneas mundiales de fotones que pasan por el origen en diferentes direcciones, se cumple x = ct y x = − ct . Eso significa que cualquier posición en dicha línea mundial se corresponde con pasos en los ejes x y ct de igual valor absoluto. De la regla para leer coordenadas en un sistema de coordenadas con ejes inclinados se deduce que las dos líneas universales son las bisectrices de los ejes x y ct . Como se muestra en la figura 4-5, el diagrama de Minkowski los ilustra como bisectrices de los ejes x′ y ct ′ . Eso significa que ambos observadores miden la misma velocidad c para ambos fotones.

A este diagrama de Minkowski se pueden añadir otros sistemas de coordenadas correspondientes a observadores con velocidades arbitrarias. Para todos estos sistemas, ambas líneas del mundo de fotones representan las bisectrices de los ejes. Cuanto más se acerca la velocidad relativa a la velocidad de la luz, más se acercan los ejes a la bisectriz del ángulo correspondiente. El eje es siempre más plano y el eje del tiempo más inclinado que las líneas del mundo de los fotones. Las escalas en ambos ejes son siempre idénticas, pero normalmente diferentes de las de los demás sistemas de coordenadas. ${\displaystyle x}$

Velocidad de la luz y causalidad.

Fig 4-6 Pasado y futuro relativo al origen. Para las zonas grises no es posible una clasificación temporal correspondiente.

Las líneas rectas que pasan por el origen y que son más pronunciadas que ambas líneas del mundo de los fotones corresponden a objetos que se mueven más lentamente que la velocidad de la luz. Si esto se aplica a un objeto, entonces se aplica desde el punto de vista de todos los observadores, porque las líneas mundiales de estos fotones son las bisectrices de cualquier sistema de referencia inercial. Por tanto, cualquier punto por encima del origen y entre las líneas mundiales de ambos fotones se puede alcanzar con una velocidad menor que la de la luz y puede tener una relación de causa y efecto con el origen. Esta área es el futuro absoluto, porque cualquier evento allí ocurre más tarde en comparación con el evento representado por el origen, independientemente del observador, lo cual es obvio gráficamente en el diagrama de Minkowski en la Figura 4-6.

Siguiendo el mismo argumento, el rango debajo del origen y entre las líneas del mundo de los fotones es el pasado absoluto en relación con el origen. Cualquier evento allí pertenece definitivamente al pasado y puede ser causa de un efecto en el origen.

La relación entre cualquiera de estos pares de eventos se llama temporal , porque tienen una distancia temporal mayor que cero para todos los observadores. Una línea recta que conecta estos dos eventos es siempre el eje temporal de un posible observador para quien ocurren en el mismo lugar. Dos fenómenos que pueden relacionarse únicamente con la velocidad de la luz se denominan luminosos .

En principio, al diagrama de Minkowski se le puede añadir otra dimensión del espacio, lo que conduce a una representación tridimensional. En este caso, los rangos del futuro y del pasado se convierten en conos con vértices que se tocan en el origen. Se llaman conos de luz .

La velocidad de la luz como límite

Fig. 4-7 Envío de un mensaje a velocidad superluminal desde O vía A hasta B hacia el pasado. Ambos observadores consideran diferente el orden temporal de los pares de eventos O y A así como de A y B.

Siguiendo el mismo argumento, todas las líneas rectas que pasan por el origen y que son más casi horizontales que las líneas del mundo de los fotones, corresponderían a objetos o señales que se mueven más rápido que la luz , independientemente de la velocidad del observador. Por lo tanto, ningún evento fuera de los conos de luz puede ser alcanzado desde el origen, ni siquiera mediante una señal luminosa, ni mediante ningún objeto o señal que se mueva a una velocidad menor que la de la luz. Estos pares de eventos se denominan espaciales porque tienen una distancia espacial finita diferente de cero para todos los observadores. Por otro lado, una línea recta que conecta tales eventos es siempre el eje de coordenadas espaciales de un posible observador para quien ocurren al mismo tiempo. Mediante una ligera variación de la velocidad de este sistema de coordenadas en ambas direcciones, siempre es posible encontrar dos sistemas de referencia inerciales cuyos observadores estiman que el orden cronológico de estos eventos es diferente.

Dado un objeto que se mueve más rápido que la luz, digamos de O a A en la figura 4-7, entonces, para cualquier observador que observe el objeto que se mueve de O a A, se puede encontrar otro observador (que se mueve a menos de la velocidad de la luz con respecto a la primero) para quién el objeto se mueve de A a O. La pregunta de qué observador tiene razón no tiene una respuesta única y, por lo tanto, no tiene sentido físico. Cualquier objeto o señal en movimiento violaría el principio de causalidad.

Además, cualquier medio técnico general para enviar señales más rápido que la luz permitiría enviar información al pasado del autor. En el diagrama, un observador en O en el sistema x - ct envía un mensaje que se mueve más rápido que la luz a A. En A, es recibido por otro observador, que se mueve para estar en el sistema x ′- ct ′ , quien envía regresa, nuevamente más rápido que la luz, llegando a B. Pero B está en el pasado en relación con O. Lo absurdo de este proceso se vuelve obvio cuando ambos observadores confirman posteriormente que no recibieron ningún mensaje, sino que todos los mensajes estaban dirigidos hacia el otro. observador como se puede ver gráficamente en el diagrama de Minkowski. Además, si fuera posible acelerar a un observador a la velocidad de la luz, sus ejes espacial y temporal coincidirían con su bisectriz. El sistema de coordenadas colapsaría, de acuerdo con el hecho de que debido a la dilatación del tiempo , el tiempo efectivamente dejaría de pasar para ellos.

Estas consideraciones muestran que la velocidad de la luz como límite es consecuencia de las propiedades del espacio-tiempo y no de las propiedades de objetos como las naves espaciales tecnológicamente imperfectas. Por lo tanto, la prohibición del movimiento más rápido que la luz no tiene nada que ver en particular con las ondas electromagnéticas o la luz, sino que es una consecuencia de la estructura del espacio-tiempo.

Observadores acelerados

Fig. 5-1 Los marcos de referencia en movimiento conjunto momentáneo de una partícula en aceleración observados desde un marco estacionario

Fig. 5-2 Los marcos inerciales que se mueven momentáneamente a lo largo de la línea mundial de un observador que se acelera rápidamente (origen).

A menudo se afirma incorrectamente que la relatividad especial no puede manejar partículas en aceleración o sistemas de referencia en aceleración. En realidad, la aceleración de partículas no presenta ninguna dificultad en la relatividad especial. Por otro lado, los marcos acelerados requieren algún tratamiento especial. Sin embargo, mientras se trate de un espacio-tiempo plano, minkowskiano, la relatividad especial puede manejar la situación. Sólo en presencia de gravitación se requiere la relatividad general. ^[30]

La aceleración de 4 vectores de una partícula en aceleración es la derivada con respecto al tiempo propio de sus 4 velocidades. Esta no es una situación difícil de manejar. Los marcos acelerados requieren que uno comprenda el concepto de marco de referencia momentáneamente comovil (MCRF), es decir, un marco que viaja a la misma velocidad instantánea de una partícula en cualquier instante dado.

Considere la animación en la Fig. 5-1. La línea curva representa la línea mundial de una partícula que sufre una aceleración continua, incluidos cambios completos de dirección en las direcciones x positivas y negativas. Los ejes rojos son los ejes del MCRF para cada punto a lo largo de la trayectoria de la partícula. Las coordenadas de los eventos en el marco no preparado (estacionario) se pueden relacionar con sus coordenadas en cualquier marco preparado en movimiento conjunto momentáneamente utilizando las transformaciones de Lorentz.

La figura 5-2 ilustra las vistas cambiantes del espacio-tiempo a lo largo de la línea mundial de una partícula que se acelera rápidamente. El eje (no dibujado) es vertical, mientras que el eje (no dibujado) es horizontal. La línea discontinua es la trayectoria espacio-temporal ("línea mundial") de la partícula. Las bolas se colocan a intervalos regulares de tiempo adecuados a lo largo de la línea mundial. Las líneas diagonales continuas son los conos de luz del evento actual del observador y se cruzan en ese evento. Los pequeños puntos son otros eventos arbitrarios en el espacio-tiempo. ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle x'}$

La pendiente de la línea mundial (desviación de la vertical) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea mundial. Las curvas en la línea mundial representan la aceleración de partículas. A medida que la partícula acelera, su visión del espacio-tiempo cambia. Estos cambios de visión están regidos por las transformaciones de Lorentz. También tenga en cuenta que:

• las bolas en la línea mundial antes/después de aceleraciones futuras/pasadas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo.
• los eventos que eran simultáneos antes de una aceleración (eventos espaciados horizontalmente) se encuentran en momentos diferentes después debido a la relatividad de la simultaneidad,
• los eventos pasan a través de las líneas del cono de luz debido a la progresión del tiempo propio, pero no debido al cambio de vistas causado por las aceleraciones, y
• la línea mundial siempre permanece dentro de los conos de luz futuros y pasados ​​del evento actual.

Si uno imagina que cada evento es el destello de una luz, entonces los eventos que están dentro del cono de luz pasado del observador son los eventos visibles para el observador. La pendiente de la línea del mundo (desviación de la vertical) da la velocidad relativa al observador.

Caso de sistemas de referencia no inerciales

Fig. 6-1 Diagrama de Minkowski en un sistema de referencia inercial. A la izquierda, la línea vertical del mundo del objeto que cae. A la derecha, la línea mundial hiperbólica del cohete.

Fig. 6-2 Diagrama de Minkowski en un sistema de referencia no inercial. A la izquierda, la línea mundial del objeto que cae. A la derecha, la línea vertical del mundo del cohete.

Las líneas del mundo de fotones se determinan utilizando la métrica con . ^[31] Los conos de luz se deforman según la posición. En un sistema de referencia inercial, una partícula libre tiene una línea recta. En un sistema de referencia no inercial, la línea universal de una partícula libre es curva. ${\displaystyle d\tau =0}$

Tomemos el ejemplo de la caída de un objeto lanzado sin velocidad inicial desde un cohete. El cohete tiene un movimiento uniformemente acelerado con respecto a un sistema de referencia inercial. Como se puede ver en la figura 6-2 de un diagrama de Minkowski en un sistema de referencia no inercial, el objeto, una vez dejado caer, gana velocidad, alcanza un máximo y luego ve cómo su velocidad disminuye y se cancela asintóticamente en el horizonte donde se congela su tiempo adecuado. en . La velocidad la mide un observador en reposo en el cohete acelerado. ${\displaystyle t_{\text{H}}}$

Ver también

• Portal de física

• espacio de minkowski
• diagrama de penrose
• Rapidez

Referencias

1. "¿Qué son los gráficos de posición versus tiempo?". Academia Khan . Consultado el 19 de noviembre de 2018 .
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   Varias traducciones al inglés en Wikisource: Espacio y tiempo

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enlaces externos

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