En matemáticas y física , la regla de la mano derecha es una convención y un mnemónico , utilizado para definir la orientación de los ejes en el espacio tridimensional y para determinar la dirección del producto vectorial de dos vectores , así como para establecer la dirección de la fuerza sobre un conductor que transporta corriente en un campo magnético .
Las distintas reglas de la mano derecha e izquierda surgen del hecho de que los tres ejes del espacio tridimensional tienen dos orientaciones posibles. Esto se puede comprobar si se juntan las manos con las palmas hacia arriba y los dedos curvados. Si la curvatura de los dedos representa un movimiento desde el primer eje o eje x al segundo eje o eje y, entonces el tercer eje o eje z puede apuntar a lo largo del pulgar derecho o del pulgar izquierdo.
La regla de la mano derecha se remonta al siglo XIX, cuando se implementó como una forma de identificar la dirección positiva de los ejes de coordenadas en tres dimensiones. A William Rowan Hamilton , reconocido por su desarrollo de cuaterniones , un sistema matemático para representar rotaciones tridimensionales, a menudo se le atribuye la introducción de esta convención. En el contexto de los cuaterniones, el producto hamiltoniano de dos cuaterniones vectoriales produce un cuaternión que comprende componentes escalares y vectoriales . [1] Josiah Willard Gibbs reconoció que tratar estos componentes por separado, como producto escalar y vectorial , simplifica el formalismo vectorial. Después de un debate sustancial, [2] la corriente principal pasó del sistema cuaterniónico de Hamilton al sistema de tres vectores de Gibbs. Esta transición condujo a la adopción predominante de la regla de la mano derecha en los contextos contemporáneos.
El producto vectorial de los vectores y es un vector perpendicular al plano generado por y con la dirección dada por la regla de la mano derecha : si colocas el índice de tu mano derecha sobre y el dedo medio sobre , entonces el pulgar apunta en la dirección de . [3]
La regla de la mano derecha en física fue introducida a finales del siglo XIX por John Fleming en su libro Magnets and Electric Currents. [4] Fleming describió la orientación de la fuerza electromotriz inducida haciendo referencia al movimiento del conductor y la dirección del campo magnético en la siguiente representación: “Si un conductor, representado por el dedo medio, se mueve en un campo de flujo magnético , cuya dirección está representada por la dirección del dedo índice , siendo la dirección de este movimiento la dirección del pulgar, entonces la fuerza electromotriz establecida en él estará indicada por la dirección en la que apunta el dedo medio”. [4]
En el caso de las coordenadas de la mano derecha , si el pulgar de la mano derecha de una persona apunta a lo largo del eje z en la dirección positiva (tercer vector de coordenadas), entonces los dedos se curvan desde el eje x positivo (primer vector de coordenadas) hacia el eje y positivo (segundo vector de coordenadas). Cuando se observa en una posición a lo largo del eje z positivo, el ¼ de giro desde el eje x positivo al eje y positivo es en sentido contrario a las agujas del reloj .
Para las coordenadas para zurdos , la descripción anterior de los ejes es la misma, excepto que se utiliza la mano izquierda y el ¼ de giro es en el sentido de las agujas del reloj .
Al intercambiar las etiquetas de dos ejes cualesquiera, se invierte la lateralidad. Al invertir la dirección de un eje (o de tres ejes), también se invierte la lateralidad. Al invertir dos ejes, se hace una rotación de 180° alrededor del eje restante, lo que también preserva la lateralidad. Estas operaciones se pueden componer para dar cambios repetidos de lateralidad. [5] (Si los ejes no tienen una dirección positiva o negativa, entonces la lateralidad no tiene significado).
En matemáticas, un cuerpo giratorio se representa comúnmente mediante un pseudovector a lo largo del eje de rotación . La longitud del vector da la velocidad de rotación y la dirección del eje da la dirección de rotación de acuerdo con la regla de la mano derecha: los dedos derechos curvados en la dirección de rotación y el pulgar derecho apuntando en la dirección positiva del eje. Esto permite algunos cálculos simples utilizando el producto vectorial. Ninguna parte del cuerpo se mueve en la dirección de la flecha del eje. Si el pulgar apunta al norte, la Tierra gira de acuerdo con la regla de la mano derecha ( movimiento progrado ). Esto hace que el Sol, la Luna y las estrellas parezcan girar hacia el oeste de acuerdo con la regla de la mano izquierda.
Una hélice es una línea curva formada por un punto que gira alrededor de un centro mientras el centro se mueve hacia arriba o hacia abajo en el eje z . Las hélices son para diestros o zurdos, con los dedos curvados indicando la dirección de rotación y el pulgar indicando la dirección de avance a lo largo del eje z .
Las roscas de un tornillo son helicoidales y, por lo tanto, los tornillos pueden ser de mano derecha o de mano izquierda. Para apretar o aflojar correctamente un tornillo, se aplican las reglas anteriores: si un tornillo es de mano derecha, apuntando el pulgar derecho en la dirección del orificio y girando en la dirección de los dedos curvados de la mano derecha (es decir, en el sentido de las agujas del reloj) se apretará el tornillo, mientras que apuntando en dirección opuesta al orificio y girando en la nueva dirección (es decir, en el sentido contrario a las agujas del reloj) se aflojará el tornillo.
En el cálculo vectorial , es necesario relacionar un vector normal de una superficie con la curva límite de la superficie. Dada una superficie S con una dirección normal especificada n̂ (una opción de "dirección ascendente" con respecto a S ), la curva límite C alrededor de S se define como orientada positivamente siempre que el pulgar derecho apunte en la dirección de n̂ y los dedos se curven a lo largo de la orientación de la curva límite C.
La regla de la mano derecha de Ampère , [6] también llamada regla del tornillo de la mano derecha , regla de la taza de café o regla del sacacorchos; se utiliza cuando se debe definir un vector (como el vector de Euler ) para representar la rotación de un cuerpo, un campo magnético o un fluido, o viceversa, cuando es necesario definir un vector de rotación para comprender cómo se produce la rotación. Revela una conexión entre la corriente y las líneas del campo magnético en el campo magnético creado por la corriente. Ampère se inspiró en su colega físico Hans Christian Ørsted , quien observó que las agujas giraban cuando estaban cerca de un cable que transportaba corriente eléctrica y concluyó que la electricidad podía crear campos magnéticos .
Esta regla se utiliza en dos aplicaciones diferentes de la ley circuital de Ampère :
El producto vectorial de dos vectores se suele tomar en física e ingeniería. Por ejemplo, como se ha comentado anteriormente, la fuerza ejercida sobre una partícula cargada en movimiento cuando se mueve en un campo magnético B se expresa mediante el término magnético de la fuerza de Lorentz:
La dirección del producto vectorial se puede encontrar mediante la aplicación de la regla de la mano derecha de la siguiente manera:
Por ejemplo, para una partícula con carga positiva que se mueve hacia el norte, en una región donde el campo magnético apunta al oeste, la fuerza resultante apunta hacia arriba. [5]
La regla de la mano derecha se utiliza ampliamente en física . A continuación se ofrece una lista de magnitudes físicas cuyas direcciones están relacionadas mediante la regla de la mano derecha. (Algunas de ellas están relacionadas sólo indirectamente con los productos cruzados y utilizan la segunda forma).
A diferencia de la mayoría de los conceptos matemáticos, el significado de un sistema de coordenadas diestro no se puede expresar en términos de ningún axioma matemático . Más bien, la definición depende de fenómenos quirales en el mundo físico, por ejemplo, el significado culturalmente transmitido de las manos derecha e izquierda, una población humana mayoritaria con la mano derecha dominante o ciertos fenómenos que involucran la fuerza débil .
