Determinación de constantes de equilibrio

Las constantes de equilibrio se determinan para cuantificar los equilibrios químicos . Cuando una constante de equilibrio K se expresa como un cociente de concentración,

${\displaystyle K={\frac {\mathrm {[S]} ^{\sigma }\mathrm {[T]} ^{\tau }\cdots }{\mathrm {[A]} ^{\alpha }\mathrm {[B]} ^{\beta }\cdots }}}$

Se supone que el cociente de actividad es constante. Para que esta suposición sea válida, las constantes de equilibrio deben determinarse en un medio de fuerza iónica relativamente alta . Cuando esto no sea posible, se debe considerar la posible variación de la actividad.

La expresión de equilibrio anterior es una función de las concentraciones [A], [B], etc. de las especies químicas en equilibrio. El valor de la constante de equilibrio se puede determinar si se puede medir cualquiera de estas concentraciones. El procedimiento general es que la concentración en cuestión se mide para una serie de soluciones con concentraciones analíticas conocidas de los reactivos. Normalmente, una titulación se realiza con uno o más reactivos en el recipiente de titulación y uno o más reactivos en la bureta. Conociendo las concentraciones analíticas de los reactivos inicialmente en el recipiente de reacción y en la bureta, todas las concentraciones analíticas se pueden derivar como una función del volumen (o masa) del reactivo valorante añadido.

Las constantes de equilibrio pueden derivarse mediante el mejor ajuste de los datos experimentales con un modelo químico del sistema de equilibrio.

Métodos experimentales

Existen cuatro métodos experimentales principales. Para métodos menos utilizados, véase Rossotti y Rossotti ^[1] . En todos los casos, el rango se puede ampliar utilizando el método de competencia. Un ejemplo de la aplicación de este método se puede encontrar en el cianuro de paladio (II) .

Medidas potenciométricas

La concentración libre [A] o actividad {A} de una especie A se mide mediante un electrodo selectivo de iones, como el electrodo de vidrio . Si el electrodo se calibra utilizando estándares de actividad, se supone que se aplica la ecuación de Nernst en la forma

${\displaystyle E=E^{0}+{\frac {RT}{nF}}\ln \mathrm {\{A\}} }$

donde E ⁰ es el potencial del electrodo estándar . Cuando se utilizan soluciones tampón de pH conocido para la calibración, la lectura del medidor será un pH.

${\displaystyle \mathrm {pH} ={\frac {nF}{RT}}\left(E^{0}-E\right)}$

A 298 K, 1 unidad de pH equivale aproximadamente a 59 mV. ^[2]

Cuando el electrodo se calibra con soluciones de concentración conocida, mediante una titulación ácido fuerte-base fuerte, por ejemplo, se supone una ecuación de Nernst modificada.

${\displaystyle E=E^{0}+s\log _{10}\mathrm {[A]} }$

donde s es un factor de pendiente empírico. Se puede preparar una solución de concentración conocida de iones hidrógeno mediante la estandarización de un ácido fuerte frente a bórax . También se puede utilizar ácido clorhídrico de ebullición constante como estándar primario para la concentración de iones hidrógeno.

Alcance y limitaciones

El electrodo más utilizado es el de vidrio, que es selectivo para el ion hidrógeno. Es adecuado para todos los equilibrios ácido-base . Los valores de log ₁₀ β entre aproximadamente 2 y 11 se pueden medir directamente mediante titulación potenciométrica utilizando un electrodo de vidrio . Este enorme rango de valores de constante de estabilidad (aproximadamente 100 a 10 ¹¹ ) es posible debido a la respuesta logarítmica del electrodo. Las limitaciones surgen porque la ecuación de Nernst se rompe a un pH muy bajo o muy alto.

Cuando se utiliza un electrodo de vidrio para obtener las mediciones de las que dependen las constantes de equilibrio calculadas, la precisión de los parámetros calculados está limitada por efectos secundarios como la variación de los potenciales de unión líquida en el electrodo. En la práctica, es prácticamente imposible obtener una precisión para el log β mejor que ±0,001.

Mediciones espectrofotométricas

Absorbancia

Se supone que se aplica la ley de Beer-Lambert .

${\displaystyle A=l\sum {\varepsilon c}}$

donde l es la longitud del recorrido óptico, ε es una absorbancia molar en la longitud del recorrido unitario y c es una concentración. Más de una de las especies puede contribuir a la absorbancia. En principio, la absorbancia puede medirse en una sola longitud de onda, pero en la práctica actual es común registrar espectros completos.

Alcance y limitaciones

Se suele citar un límite superior de log ₁₀ β de 4, que corresponde a la precisión de las mediciones, pero también depende de la intensidad del efecto. Los espectros de las especies contribuyentes deben ser claramente distintos entre sí.

Intensidad de fluorescencia (luminiscencia)

Se supone que la intensidad de la luz dispersa es una función lineal de las concentraciones de especies.

${\displaystyle I=\sum \varphi c}$

donde φ es una constante de proporcionalidad.

Alcance y limitaciones

La magnitud de la constante φ puede ser mayor que el valor del coeficiente de extinción molar, ε, para una especie. Cuando esto es así, el límite de detección para esa especie será menor. A altas concentraciones de soluto, la intensidad de fluorescencia se vuelve no lineal con respecto a la concentración debido a la autoabsorción de la radiación dispersa.

Mediciones de desplazamiento químico por RMN

Se supone que el intercambio químico es rápido en la escala de tiempo de RMN. Un desplazamiento químico individual δ es el promedio ponderado por fracción molar de los desplazamientos δ de los núcleos en las especies contribuyentes.

${\displaystyle {\bar {\delta }}={\frac {\sum x_{i}\delta _{i}}{\sum x_{i}}}}$

Ejemplo: se ha determinado que el p K _a del grupo hidroxilo en el ácido cítrico es 14,4 a partir de datos de desplazamiento químico ^{de 13} C. No se pudo utilizar ni potenciometría ni espectroscopia ultravioleta-visible para esta determinación. ^[3]

Alcance y limitaciones

La precisión limitada de las mediciones de desplazamiento químico también impone un límite superior de aproximadamente 4 en el log ₁₀ β . Limitado a sistemas diamagnéticos. La RMN 1 H no se puede utilizar con soluciones de compuestos en ¹ H ₂ O.

Mediciones calorimétricas

La medición simultánea de K y Δ H para aductos 1:1 se lleva a cabo de manera rutinaria mediante calorimetría de titulación isotérmica . La extensión a sistemas más complejos está limitada por la disponibilidad de software adecuado.

Alcance y limitaciones

Actualmente no hay pruebas suficientes.

El método de competición

El método de competencia se puede utilizar cuando un valor de constante de estabilidad es demasiado grande para determinarse mediante un método directo. Fue utilizado por primera vez por Schwarzenbach para determinar las constantes de estabilidad de complejos de EDTA con iones metálicos.

Para simplificar , consideremos la determinación de la constante de estabilidad de un complejo binario, AB , de un reactivo A con otro reactivo B. ${\displaystyle K_{AB}}$

${\displaystyle K_{AB}={\frac {[AB]}{[A][B]}}}$

donde [X] representa la concentración, en equilibrio, de una especie X en una solución de composición dada.

Se elige un ligando C que forme un complejo más débil con A. La constante de estabilidad, K _AC , es lo suficientemente pequeña como para determinarse mediante un método directo. Por ejemplo, en el caso de los complejos de EDTA, A es un ion metálico y C puede ser una poliamina como la dietilentriamina .

${\displaystyle K_{AC}={\frac {[AC]}{[A][C]}}}$

La constante de estabilidad, K para la reacción de competencia

${\displaystyle AC+B\leftrightharpoons AB+C}$

se puede expresar como

${\displaystyle K={\frac {[AB][C]}{[AC][B]}}}$

Resulta que

${\displaystyle K_{AB}=K\times K_{AC}}$

donde K es la constante de estabilidad para la reacción de competencia. Por lo tanto, el valor de la constante de estabilidad puede derivarse de los valores determinados experimentalmente de K y . ${\displaystyle K_{AB}}$ ${\displaystyle K_{AC}}$

Métodos computacionales

Se supone que los datos experimentales recopilados comprenden un conjunto de puntos de datos. En cada punto de datos i , se conocen las concentraciones analíticas de los reactivos, T _A ( i ) , T _B ( i ) etc., junto con una cantidad medida, y _i , que depende de una o más de estas concentraciones analíticas. Un procedimiento computacional general tiene cuatro componentes principales:

1. Definición de un modelo químico de los equilibrios
2. Cálculo de las concentraciones de todas las especies químicas en cada solución.
3. Refinamiento de las constantes de equilibrio
4. Selección de modelo

El valor de la constante de equilibrio para la formación de un complejo 1:1, como una especie huésped-anfitrión, se puede calcular con una aplicación de hoja de cálculo dedicada, Bindfit: ^[4] En este caso, el paso 2 se puede realizar con un procedimiento no iterativo y la rutina preprogramada Solver se puede utilizar para el paso 3.

El modelo químico

El modelo químico está constituido por un conjunto de especies químicas presentes en disolución, tanto los reactivos añadidos a la mezcla de reacción como las especies complejas formadas a partir de ellos. Denotando los reactivos por A, B..., cada especie compleja se especifica mediante los coeficientes estequiométricos que relacionan la combinación particular de reactivos que la forman.

${\displaystyle {\ce {{{\mathit {p}}A}+{\mathit {q}}B\cdots <=>A_{\mathit {p}}B_{\mathit {q}}\cdots }}}$: ${\displaystyle \beta _{pq\cdots }={\frac {[{\ce {A}}_{p}{\ce {B}}_{q}\cdots ]}{[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots }}}$

Cuando se utilizan programas informáticos de uso general, es habitual utilizar constantes de asociación acumulativa , como se muestra arriba. Las cargas eléctricas no se muestran en expresiones generales como ésta y, a menudo, se omiten en expresiones específicas para simplificar la notación. De hecho, las cargas eléctricas no tienen relación con los procesos de equilibrio, salvo que exista un requisito de neutralidad eléctrica general en todos los sistemas.

En soluciones acuosas, las concentraciones de protón (ion hidronio) y de ion hidróxido están limitadas por la autodisociación del agua.

${\displaystyle {\ce {H2O <=> H+ + OH-}}}$: ${\displaystyle K_{\mathrm {W} }^{'}={\frac {[H^{+}][OH^{-}]}{[H_{2}O]}}}$

Con soluciones diluidas la concentración de agua se supone constante, por lo que la expresión de equilibrio se escribe en forma de producto iónico del agua.

${\displaystyle K_{\mathrm {W} }={\ce {[H+]}}[{\ce {OH-}}]\,}$

Cuando tanto H ⁺ como OH− ^deben considerarse como reactivos, uno de ellos se elimina del modelo especificando que su concentración se deriva de la concentración del otro. Por lo general, la concentración del ion hidróxido se da por

${\displaystyle [{\ce {OH-}}]={\frac {K_{{\ce {W}}}}{[{\ce {H+}}]}}\,}$

En este caso, la constante de equilibrio para la formación de hidróxido tiene coeficientes estequiométricos −1 con respecto al protón y cero para los demás reactivos. Esto tiene implicaciones importantes para todos los equilibrios de protonación en solución acuosa y para las constantes de hidrólisis en particular.

Es bastante habitual omitir del modelo aquellas especies cuyas concentraciones se consideran despreciables. Por ejemplo, se suele suponer que no hay interacción entre los reactivos y/o complejos y el electrolito utilizado para mantener constante la fuerza iónica o el tampón utilizado para mantener constante el pH. Estas suposiciones pueden estar justificadas o no. Además, se supone implícitamente que no hay otras especies complejas presentes. Cuando se ignoran erróneamente los complejos, se introduce un error sistemático en los cálculos.

Los valores constantes de equilibrio generalmente se estiman inicialmente por referencia a fuentes de datos .

Cálculos de especiación

Un cálculo de especiación es aquel en el que se calculan las concentraciones de todas las especies en un sistema de equilibrio, conociendo las concentraciones analíticas, T _A , T _B etc. de los reactivos A, B etc. Esto significa resolver un conjunto de ecuaciones no lineales de balance de masa.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {T_{A}}}&=[{\ce {A}}]+\sum _{1,nk}p\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\{\ce {T_{B}}}&=[{\ce {B}}]+\sum _{1,nk}q\beta _{pq\cdots }[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\cdots \\etc.\end{aligned}}}$

para las concentraciones libres [A], [B], etc. Cuando se mide el pH (o fem equivalente, E), la concentración libre de iones de hidrógeno, [H], se obtiene a partir del valor medido como

${\displaystyle [\mathrm {H} ]=10^{-\mathrm {pH} }}$o ${\displaystyle [\mathrm {H} ]=e^{\mathrm {{-{\frac {nF}{RT}}}(E-E^{0})} }}$

y sólo se calculan las concentraciones libres de los demás reactivos. Las concentraciones de los complejos se derivan de las concentraciones libres mediante el modelo químico.

Algunos autores ^{[5] [6]} incluyen los términos reactivos libres en las sumas declarando constantes β de identidad (unidad) para las cuales los coeficientes estequiométricos son 1 para el reactivo en cuestión y cero para todos los demás reactivos. Por ejemplo, con 2 reactivos, las ecuaciones de balance de masa asumen la forma más simple.

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\ce {A}}&=\sum _{0,nk}p\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\[4pt]T_{\ce {B}}&=\sum _{0,nk}q\beta _{pq}[{\ce {A}}]^{p}[{\ce {B}}]^{q}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta _{10}=\beta _{01}=1}$

De esta manera, todas las especies químicas, incluidos los reactivos libres , son tratadas de la misma manera, habiéndose formado a partir de la combinación de reactivos que viene especificada por los coeficientes estequiométricos.

En un sistema de titulación, las concentraciones analíticas de los reactivos en cada punto de titulación se obtienen a partir de las condiciones iniciales, las concentraciones de bureta y los volúmenes. La concentración analítica (total) de un reactivo R en el i- ésimo punto de titulación se obtiene mediante

${\displaystyle T_{{\ce {R}}}={\frac {{\ce {R}}_{0}+v_{i}{\ce {[R]}}}{v_{0}+v_{i}}}}$

donde R ₀ es la cantidad inicial de R en el recipiente de titulación, v ₀ es el volumen inicial, [R] es la concentración de R en la bureta y v _i es el volumen añadido. La concentración en la bureta de un reactivo que no está presente en la bureta se considera igual a cero.

En general, la solución de estas ecuaciones no lineales presenta un desafío formidable debido al enorme rango en el que pueden variar las concentraciones libres. Al principio, se deben estimar los valores de las concentraciones libres. Luego, estos valores se refinan, generalmente mediante iteraciones de Newton-Raphson . Se pueden refinar los logaritmos de las concentraciones libres en lugar de las concentraciones libres en sí. El refinamiento de los logaritmos de las concentraciones libres tiene la ventaja adicional de imponer automáticamente una restricción de no negatividad en las concentraciones libres. Una vez que se han calculado las concentraciones de reactivos libres, las concentraciones de los complejos se derivan de ellas y de las constantes de equilibrio.

Cabe señalar que las concentraciones de reactivos libres pueden considerarse parámetros implícitos en el proceso de refinamiento de la constante de equilibrio. En ese contexto, los valores de las concentraciones libres se restringen al obligar a que las condiciones del balance de masa se apliquen en todas las etapas del proceso.

Refinamiento de la constante de equilibrio

El objetivo del proceso de refinamiento es encontrar valores de constantes de equilibrio que proporcionen el mejor ajuste a los datos experimentales. Esto se logra generalmente minimizando una función objetivo , U , mediante el método de mínimos cuadrados no lineales . Primero, los residuos se definen como

${\displaystyle r_{i}=y_{i}^{\text{obs}}-y_{i}^{\text{calc}}}$

Entonces la función objetivo más general viene dada por

${\displaystyle U=\sum _{i}\sum _{j}r_{i}W_{ij}r_{j}\,}$

La matriz de pesos, W , debería ser, idealmente, la inversa de la matriz de varianza-covarianza de las observaciones. Es raro que esto se conozca. Sin embargo, cuando lo es, el valor esperado de U es uno, lo que significa que los datos se ajustan dentro del error experimental . La mayoría de las veces solo se conocen los elementos diagonales, en cuyo caso la función objetivo se simplifica a

${\displaystyle U=\sum _{i}W_{ii}r_{i}^{2}}$

con W _ij = 0 cuando j ≠ i . A menudo se utilizan pesos unitarios, W _ii = 1 , pero, en ese caso, el valor esperado de U es la raíz cuadrada media de los errores experimentales.

La minimización se puede realizar utilizando el método de Gauss-Newton . En primer lugar, la función objetivo se linealiza aproximándola como una expansión de la serie de Taylor de primer orden en torno a un conjunto de parámetros inicial, p .

${\displaystyle U=U^{0}+\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial p_{i}}}\delta p_{i}}$

Los incrementos δ p _i se suman a los parámetros iniciales correspondientes de manera que U sea menor que U ⁰ . Como mínimo, las derivadas ⁠∂ Yo/∂ p _yo⁠ , que están simplemente relacionados con los elementos de la matriz jacobiana , J

${\displaystyle J_{jk}={\frac {\partial y_{j}^{\mathrm {calc} }}{\partial p_{k}}}}$

donde p _k es el k- ésimo parámetro del refinamiento, son iguales a cero. Una o más constantes de equilibrio pueden ser parámetros del refinamiento. Sin embargo, las cantidades medidas (ver arriba) representadas por y no se expresan en términos de las constantes de equilibrio, sino en términos de las concentraciones de especies, que son funciones implícitas de estos parámetros. Por lo tanto, los elementos jacobianos deben obtenerse utilizando la diferenciación implícita .

Los incrementos del parámetro δ p se calculan resolviendo las ecuaciones normales , derivadas de las condiciones que ⁠∂ Yo/∂ p⁠ = 0 como mínimo.

${\displaystyle {\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr}}$

Los incrementos δ p se agregan iterativamente a los parámetros

${\displaystyle \mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+\delta \mathbf {p} }$

donde n es un número de iteración. Las concentraciones de especies y los valores de y ^calc se recalculan en cada punto de datos. Las iteraciones continúan hasta que no se logra una reducción significativa en U , es decir, hasta que se satisface un criterio de convergencia. Sin embargo, si los parámetros actualizados no dan como resultado una disminución de la función objetivo, es decir, si se produce divergencia, se debe modificar el cálculo del incremento. La modificación más simple es utilizar una fracción, f , del incremento calculado, lo que se denomina corte por desplazamiento.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{n+1}=\mathbf {p} ^{n}+f\mathbf {\delta p} }$

En este caso, la dirección del vector de desplazamiento, δ p , no cambia. Con el algoritmo de Levenberg-Marquardt más potente , por otro lado, el vector de desplazamiento se rota hacia la dirección de descenso más pronunciado , modificando las ecuaciones normales,

${\displaystyle \mathbf {\left(J^{\mathrm {T} }WJ+\lambda I\right)\delta p=J^{\mathrm {T} }Wr} }$

donde λ es el parámetro de Marquardt e I es una matriz identidad. Se han propuesto otros métodos para manejar la divergencia. ^[6]

Surge un problema particular con los datos de RMN y espectrofotométricos. Para estos últimos, la cantidad observada es la absorbancia, A , y la ley de Beer-Lambert puede escribirse como

${\displaystyle A_{\lambda }=l\sum (\varepsilon _{pq..})_{\lambda }c_{pq..}}$

Se puede observar que, suponiendo que se conocen las concentraciones, c, la absorbancia, A , a una longitud de onda dada, , y una longitud de trayectoria , es una función lineal de las absortividades molares, ε . Con una longitud de trayectoria de 1 cm, en notación matricial ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {C} \,}$

Hay dos enfoques para el cálculo de las absortividades molares desconocidas

(1) Los valores ε se consideran parámetros de la minimización y el jacobiano se construye sobre esa base. Sin embargo, los valores ε mismos se calculan en cada paso del refinamiento mediante mínimos cuadrados lineales:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {\left(C^{\mathrm {T} }C\right)^{-1}C^{\mathrm {T} }A} }$

utilizando los valores refinados de las constantes de equilibrio para obtener la especiación. La matriz

${\displaystyle \mathbf {\left(C^{T}C\right)^{-1}C^{T}} }$

es un ejemplo de una pseudo-inversa .

Golub y Pereyra ^[7] demostraron cómo se puede diferenciar la pseudoinversa de modo que los incrementos de parámetros tanto para las absortividades molares como para las constantes de equilibrio se puedan calcular resolviendo las ecuaciones normales.

(2) La ley de Beer-Lambert se escribe como

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} _{\lambda }=\mathbf {A} _{\lambda }^{-1}\mathbf {C} \,}$

Las absorbancias molares desconocidas de todas las especies "coloreadas" se obtienen utilizando el método no iterativo de mínimos cuadrados lineales, una longitud de onda a la vez. Los cálculos se realizan una vez en cada ciclo de refinamiento, utilizando los valores de la constante de estabilidad obtenidos en ese ciclo de refinamiento para calcular los valores de concentración de las especies en la matriz . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Errores de parámetros y correlación

En la región cercana al mínimo de la función objetivo, U , el sistema se aproxima a un sistema de mínimos cuadrados lineal, para el cual

${\displaystyle \mathbf {p=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }Wy^{\mathrm {obs} }} }$

Por lo tanto, los valores de los parámetros son (aproximadamente) combinaciones lineales de los valores de los datos observados y los errores en los parámetros, p , se pueden obtener por propagación de errores a partir de las observaciones, y ^obs , utilizando la fórmula lineal. Sea la matriz de varianza-covarianza para las observaciones denotada por Σ ^y y la de los parámetros por Σ ^p . Entonces,

${\displaystyle \mathbf {\Sigma ^{p}=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }W\Sigma ^{y}W^{\mathrm {T} }J(J^{\mathrm {T} }WJ)^{-1}} }$

Cuando W = ( Σ ^y ) ⁻¹ , esto se simplifica a

${\displaystyle \mathbf {\Sigma ^{p}=\left(J^{\mathrm {T} }WJ\right)^{-1}} }$

En la mayoría de los casos, los errores en las observaciones no están correlacionados, de modo que Σ ^y es diagonal . Si es así, cada peso debería ser el recíproco de la varianza de la observación correspondiente. Por ejemplo, en una titulación potenciométrica , el peso en un punto de titulación, k , puede darse por

${\displaystyle W_{k}={\frac {1}{\sigma _{E}^{2}+\left({\frac {\partial E}{\partial v}}\right)_{k}^{2}\sigma _{v}^{2}}}}$

donde σ _E es el error en el potencial del electrodo o pH, ( ⁠∂ mi/∂ en⁠ )
_aes la pendiente de la curva de titulación y σ _v es el error en el volumen añadido.

Cuando se utilizan pesos unitarios ( W = I , p = ( J ^T J ) ⁻¹ J ^T y ) se implica que los errores experimentales no están correlacionados y son todos iguales: Σ ^y = σ ² I , donde σ ² se conoce como la varianza de una observación de peso unitario, e I es una matriz identidad . En este caso σ ² se aproxima mediante

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {U}{n_{\mathrm {d} }-n_{\mathrm {p} }}}}$

donde U es el valor mínimo de la función objetivo y n _d y n _p son el número de datos y parámetros, respectivamente.

${\displaystyle \mathbf {\Sigma ^{p}} ={\frac {U}{n_{\mathrm {d} }-n_{\mathrm {p} }}}\left(\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} \right)^{-1}}$

En todos los casos, la varianza del parámetro p _i viene dada por Σ^pág
_{. ii}y la covarianza entre los parámetros p _i y p _j está dada por Σ^p
_-ijLa desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Estas estimaciones de error reflejan únicamente errores aleatorios en las mediciones. La incertidumbre real en los parámetros es mayor debido a la presencia de errores sistemáticos , que , por definición, no se pueden cuantificar.

Tenga en cuenta que aunque las observaciones pueden no estar correlacionadas, los parámetros siempre están correlacionados .

Constantes derivadas

Cuando se han refinado las constantes acumulativas, suele ser útil derivar constantes escalonadas a partir de ellas. El procedimiento general consiste en escribir las expresiones definitorias de todas las constantes involucradas y luego igualar las concentraciones. Por ejemplo, supongamos que se desea derivar el pKa para eliminar un protón de un ácido tribásico, LH ₃ , como el ácido cítrico .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {L^3-}}+{\ce {H+ <=>}}\ {\ce {LH^2-}}&:\ [{\ce {LH^2-}}]=\beta _{11}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]\\{\ce {L^3-}}+{\ce {2H+ <=>}}\ {\ce {LH2^-}}&:\ [{\ce {LH2^-}}]=\beta _{12}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{2}\\{\ce {L^3-}}+{\ce {3H+ <=>}}\ {\ce {LH3}}&:\ [{\ce {LH3}}]=\beta _{13}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{3}\end{aligned}}}$

La constante de asociación escalonada para la formación de LH ₃ está dada por

${\displaystyle {\ce {{LH2^{-}}+H+<=>LH3\ ;\quad \ [LH3]}}=K[{\ce {LH2^{-}}}][{\ce {H+}}]}$

Sustituya las expresiones para las concentraciones de LH ₃ y LH⁻
₂En esta ecuación

${\displaystyle \beta _{13}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{3}=K\beta _{12}[{\ce {L^3-}}][{\ce {H+}}]^{2}[{\ce {H+}}]}$

De dónde

${\displaystyle \beta _{13}=K\beta _{12};K={\frac {\beta _{13}}{\beta _{12}}}\,}$

y como p K _a = −log ₁₀ ⁠1/K⁠ su valor viene dado por

${\displaystyle {\ce {p}}K_{{\ce {a1}}}=\log _{10}\beta _{13}-\log _{10}\beta _{12}\,}$

${\displaystyle {\ce {p}}K_{{\ce {a2}}}=\log _{10}\beta _{12}-\log _{10}\beta _{11}\,}$

${\displaystyle {\ce {p}}K_{{\ce {a3}}}=\log _{10}\beta _{11}\,}$

Obsérvese la numeración inversa para pK y log β. Al calcular el error en la constante escalonada, se debe tener en cuenta el hecho de que las constantes acumulativas están correlacionadas . Por propagación de errores

${\displaystyle \sigma _{K}^{2}=\sigma _{\beta _{12}}^{2}+\sigma _{\beta _{13}}^{2}-2\sigma _{\beta _{12}}\sigma _{\beta _{13}}\rho _{12,13}\,}$

y

${\displaystyle \sigma _{\log _{10}K}={\frac {\sigma _{K}}{K}}}$

Selección de modelo

Una vez que se ha completado un refinamiento, se deben verificar los resultados para verificar que el modelo elegido sea aceptable. En términos generales, un modelo es aceptable cuando los datos se ajustan al error experimental, pero no existe un criterio único para utilizar para emitir un juicio. Se debe tener en cuenta lo siguiente:

La función objetivo

Cuando los pesos se han derivado correctamente a partir de estimaciones del error experimental, el valor esperado de ⁠tú/n _d − n _p⁠ es 1. ^[8] Por lo tanto, es muy útil estimar errores experimentales y derivar algunos pesos razonables de ellos, ya que este es un indicador absoluto de la bondad del ajuste.

Cuando se utilizan pesos unitarios, se implica que todas las observaciones tienen la misma varianza .tú/n _d − n _pSe espera que sea igual a esa varianza.

Errores de parámetros

Sería deseable que los errores en las constantes de estabilidad fueran aproximadamente proporcionales al error experimental. Por ejemplo, con datos de titulación de pH, si el pH se mide con 2 decimales, los errores de log ₁₀ β no deberían ser mucho mayores que 0,01. En el trabajo exploratorio donde la naturaleza de las especies presentes no se conoce de antemano, se pueden probar y comparar varios modelos químicos diferentes. Habrá modelos donde las incertidumbres en la mejor estimación de una constante de equilibrio pueden ser algo o incluso significativamente mayores que σ _pH , especialmente con aquellas constantes que gobiernan la formación de especies comparativamente menores, pero la decisión sobre qué tan grande es aceptable sigue siendo subjetiva. El proceso de decisión sobre si incluir o no equilibrios comparativamente inciertos en un modelo, y para la comparación de modelos en competencia en general, puede hacerse objetivo y ha sido delineado por Hamilton. ^[8]

Distribución de residuos

Como mínimo en U el sistema se puede aproximar a uno lineal, los residuos en el caso de pesos unitarios están relacionados con las observaciones por

${\displaystyle \mathbf {r=y^{\mathrm {obs} }-J\left(J^{\mathrm {T} }T\right)^{-1}J^{\mathrm {T} }y^{\mathrm {obs} }} }$

La matriz simétrica e idempotente J ( J ^T T ) ⁻¹ J se conoce en la literatura estadística como la matriz sombrero , H . Por lo tanto,

${\displaystyle \mathbf {r=\left(I-H\right)y^{\mathrm {obs} }} }$

y

${\displaystyle \mathbf {M^{r}=\left(I-H\right)M^{y}\left(I-H\right)} }$

donde I es una matriz identidad y M ^r y M ^y son las matrices de varianza-covarianza de los residuos y las observaciones, respectivamente. Esto demuestra que, aunque las observaciones pueden no estar correlacionadas, los residuos siempre están correlacionados.

El diagrama de la derecha muestra el resultado de un refinamiento de las constantes de estabilidad de Ni (Gly) ⁺ , Ni(Gly) ₂ y Ni(Gly)⁻
₃(donde GlyH = glicina ). Los valores observados se muestran como rombos azules y las concentraciones de especies, como porcentaje del níquel total, se superponen. Los residuos se muestran en el recuadro inferior. Los residuos no se distribuyen de forma tan aleatoria como se esperaría. Esto se debe a la variación de los potenciales de unión del líquido y otros efectos en las interfaces vidrio/líquido. Esos efectos son muy lentos en comparación con la velocidad a la que se establece el equilibrio.

Restricciones físicas

En los cálculos se suelen incorporar algunas restricciones físicas. Por ejemplo, todas las concentraciones de reactivos y especies libres deben tener valores positivos y las constantes de asociación deben tener valores positivos.

Con datos espectrofotométricos, los valores de absortividad (o emisividad) molar calculados deben ser todos positivos. La mayoría de los programas informáticos no imponen esta restricción en los cálculos.

Restricciones químicas

Al determinar las constantes de estabilidad de complejos metal-ligando, es una práctica común fijar las constantes de protonación del ligando en valores que se han determinado utilizando datos obtenidos a partir de soluciones libres de metal. Las constantes de hidrólisis de iones metálicos se fijan generalmente en valores que se obtuvieron utilizando soluciones libres de ligando. Al determinar las constantes de estabilidad para complejos ternarios, M _p A _q B _r es una práctica común fijar los valores para los complejos binarios correspondientes M _p′ A _q′ y M _p′′ B _q′′ , en valores que se han determinado en experimentos separados. El uso de tales restricciones reduce el número de parámetros a determinar, pero puede dar lugar a que se subestimen los errores calculados en los valores refinados de las constantes de estabilidad.

Otros modelos

Si el modelo no es aceptable, se deben examinar otros modelos para encontrar el que mejor se ajuste a los datos experimentales, dentro del margen de error experimental. La principal dificultad se presenta con las llamadas especies menores. Se trata de especies cuya concentración es tan baja que el efecto sobre la cantidad medida es igual o inferior al nivel de error de la medición experimental. La constante para una especie menor puede resultar imposible de determinar si no hay medios para aumentar la concentración de la especie.

Principios termodinámicos de las interacciones anfitrión-huésped

La termodinámica de la interacción anfitrión-huésped se puede evaluar mediante espectroscopia de RMN, espectroscopia UV/visible y calorimetría de titulación isotérmica. ^[9] El análisis cuantitativo de los valores constantes de enlace proporciona información termodinámica útil. ^[10]

Una constante de asociación se puede definir mediante la expresión ${\displaystyle K_{a}^{\ominus }}$

${\displaystyle K_{a}^{\ominus }={\frac {\{HG\}}{\{H\}\{G\}}}={\frac {[HG]}{[H][G]}}\times \Gamma }$

donde {HG} es la actividad termodinámica del complejo en equilibrio. {H} representa la actividad del anfitrión y {G} la actividad del huésped. Las cantidades , y son las concentraciones correspondientes y es un cociente de coeficientes de actividad . ${\displaystyle [HG]}$ ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle [G]}$ ${\displaystyle \Gamma }$

En la práctica, la constante de equilibrio suele definirse en términos de concentraciones.

${\displaystyle K_{a}={\frac {[HG]}{[H][G]}}}$

Cuando se utiliza esta definición, se da por sentado que el cociente de los coeficientes de actividad tiene un valor numérico de uno. Entonces parece que la constante de equilibrio tiene la dimensión 1/concentración, pero eso no puede ser cierto ya que el cambio de energía libre de Gibbs estándar es proporcional al logaritmo de . ${\displaystyle K_{A}}$ ${\displaystyle \Delta G^{\ominus }}$ ${\displaystyle K_{A}}$

${\displaystyle \Delta G^{\ominus }=-RT\ln {K_{A}^{\ominus }}}$

Esta aparente paradoja se resuelve cuando la dimensión de se define como el recíproco de la dimensión del cociente de concentraciones. La implicación es que se considera que tiene un valor constante en todas las condiciones experimentales pertinentes. Sin embargo, es una práctica común asignar una dimensión, como milimol por litro o micromol por litro, a un valor de K que se ha determinado experimentalmente. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Un valor grande indica que las moléculas huésped y anfitriona interactúan fuertemente para formar el complejo huésped-anfitrión. ${\displaystyle K_{a}}$

Determinación de los valores de la constante de enlace y de la constante cinética

Complejización host-huésped simple

Cuando las moléculas anfitrionas y huéspedes se combinan para formar un único complejo, el equilibrio se representa como

${\displaystyle H+G\leftrightharpoons HG}$

y la constante de equilibrio, K, se define como

${\displaystyle K={\frac {[HG]}{[H][G]}}}$

donde [X] denota la concentración de una especie química X (se supone que todos los coeficientes de actividad tienen un valor numérico de 1). Las ecuaciones de balance de masa, en cualquier punto de datos,

${\displaystyle T_{H}=[H]+K[H][G]}$

${\displaystyle T_{G}=[G]+K[H][G]}$

donde y representan las concentraciones totales del anfitrión y del huésped, se pueden reducir a una única ecuación cuadrática en, digamos, [G] y por lo tanto se pueden resolver analíticamente para cualquier valor dado de K. Luego se pueden derivar las concentraciones [H] y [HG]. ${\displaystyle T_{G}}$ ${\displaystyle T_{H}}$

${\displaystyle [H]=T_{H}-T_{G}+[G]}$

${\displaystyle [HG]=K[H][G]}$

El siguiente paso en el cálculo es calcular el valor, , de una cantidad correspondiente a la cantidad observada . Luego, una suma de cuadrados, U, sobre todos los puntos de datos, np, se puede definir como ${\displaystyle X_{i}^{calc}}$ ${\displaystyle X_{i}^{obs}}$

${\displaystyle U=\sum _{i=1,np}(X_{i}^{obs}-X_{i}^{calc})^{2}}$

y esto se puede minimizar con respecto al valor de la constante de estabilidad, K, y un parámetro como el desplazamiento químico de la especie HG (datos de RMN) o su absorbancia molar (datos de UV/VIS). La minimización se puede realizar en una aplicación de hoja de cálculo como EXCEL utilizando la utilidad SOLVER incorporada.

Este procedimiento es aplicable a aductos 1:1.

Reacción general de complexación

Para cada equilibrio que involucra un anfitrión, H, y un huésped G

${\displaystyle pH+qG\leftrightharpoons H_{p}G_{q}}$

La constante de equilibrio, , se define como ${\displaystyle \beta _{pq}}$

${\displaystyle \beta _{pq}={\frac {[H_{p}G_{q}]}{[H]^{p}[G]^{q}}}}$

Los valores de las concentraciones libres, y se obtienen resolviendo las ecuaciones de balance de masa con valores conocidos o estimados para las constantes de estabilidad. ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle [G]}$

${\displaystyle T_{H}=[H]+\sum p\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}}$

${\displaystyle T_{G}=[G]+\sum q\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}}$

Luego, las concentraciones de cada especie compleja también pueden calcularse como . La relación entre la concentración de una especie y la cantidad medida es específica para la técnica de medición, como se indica en cada sección anterior. Usando esta relación, el conjunto de parámetros, los valores de la constante de estabilidad y los valores de propiedades como la absortividad molar o los desplazamientos químicos específicos, pueden refinarse mediante un proceso de refinamiento de mínimos cuadrados no lineal . Para una exposición más detallada de la teoría, consulte Determinación de constantes de equilibrio. Algunos programas informáticos dedicados se enumeran en Implementaciones. ${\displaystyle [H_{p}G_{q}]=\beta _{pq}[H]^{p}[G]^{q}}$

Cooperatividad

En la cooperatividad, la unión inicial del ligando afecta la afinidad del huésped por los ligandos posteriores. En la cooperatividad positiva, el primer evento de unión mejora la afinidad del huésped por otro ligando. Ejemplos de cooperatividad positiva y negativa son la hemoglobina y el receptor de aspartato, respectivamente. ^[11]

Enlace general anfitrión-huésped. (1.) Enlace huésped A (2.) Enlace huésped B. (3.) Cooperatividad positiva Enlace huésped A–B. (4.) Cooperatividad negativa Enlace huésped A–B

Las propiedades termodinámicas de la cooperatividad se han estudiado para definir parámetros matemáticos que distinguen la cooperatividad positiva o negativa. La ecuación tradicional de energía libre de Gibbs establece: . Sin embargo, para cuantificar la cooperatividad en un sistema anfitrión-huésped, se debe considerar la energía de enlace. El esquema de la derecha muestra el enlace de A, el enlace de B, el enlace cooperativo positivo de A–B y, por último, el enlace cooperativo negativo de A–B. Por lo tanto, una forma alternativa de la ecuación de energía libre de Gibbs sería ${\displaystyle \Delta G=\Delta H-T\Delta S\ }$

${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }=\Delta G_{A}^{\circ }+\Delta G_{B}^{\circ }-\Delta G_{AB}^{\circ }}$

${\displaystyle \Delta H_{S}^{\circ }=\Delta H_{A}^{\circ }+\Delta H_{B}^{\circ }-\Delta H_{AB}^{\circ }}$

${\displaystyle \ T\Delta G_{S}^{\circ }=T\Delta H_{A}^{\circ }+T\Delta H_{B}^{\circ }-T\Delta S_{AB}^{\circ }}$

dónde:

${\displaystyle \Delta G_{A}^{\circ }}$= energía libre de enlace A

${\displaystyle \Delta G_{B}^{\circ }}$= energía libre de enlace B

${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$= energía libre de enlace para A y B atados

${\displaystyle \Delta G_{AB}^{\circ }}$= suma de las energías libres de enlace

Se considera que si es mayor que la suma de y , es positivamente cooperativo. Si es menor, entonces es negativamente cooperativo. ^[12] La química anfitrión-huésped no se limita a las interacciones receptor-ligando. También se demuestra en sistemas de apareamiento iónico. Dichas interacciones se estudian en un medio acuoso utilizando anfitriones organometálicos sintéticos y moléculas huésped orgánicas. Por ejemplo, un receptor policatiónico que contiene cobre (el anfitrión) se coordina con moléculas como tetracarboxilatos, tricarbalato, aspartato y acetato (los huéspedes). Este estudio ilustra que la entropía en lugar de la entalpía determina la energía de enlace del sistema que conduce a la cooperatividad negativa. El gran cambio en la entropía se origina del desplazamiento de las moléculas de disolvente que rodean al ligando y al receptor. Cuando múltiples acetatos se unen al receptor, libera más moléculas de agua al medio ambiente que un tetracarboxilato. Esto llevó a una disminución de la energía libre, lo que implica que el sistema está cooperando negativamente. ^[13] En un estudio similar, utilizando guanidinio y Cu(II) y huéspedes policarboxilato, se demuestra que la cooperación positiva está determinada en gran medida por la entalpía. ^[14] Además de los estudios termodinámicos, la química huésped-huésped también tiene aplicaciones biológicas. ${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$ ${\displaystyle \Delta G_{A}^{\circ }}$ ${\displaystyle \Delta G_{B}^{\circ }}$ ${\displaystyle \Delta G_{S}^{\circ }}$

Implementaciones

Algunos sistemas simples se pueden calcular mediante hojas de cálculo. ^{[4] [15]}

Se han publicado numerosos programas informáticos de uso general para el cálculo de la constante de equilibrio. Véase ^[16] para consultar la bibliografía. Los programas más utilizados son:

• Datos potenciométricos: Hyperquad, BEST ^[17] PSEQUAD, ^[18] ReactLab pH PRO
• Datos espectrofotométricos: HypSpec, SQUAD, ^[18] Specfit, ^[19] ReactLab EQUILIBRIA
• Datos de RMN HypNMR, EQNMR Archivado el 14 de julio de 2019 en Wayback Machine.
• Datos calorimétricos HypΔH. Affinimeter Los calorímetros
  comerciales de titulación isotérmica se suministran normalmente con un software con el que se puede obtener una constante de equilibrio y una entalpía de formación estándar para la formación de un aducto 1:1. También se puede suministrar algún software para manejar equilibrios más complejos.

Referencias

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2. "Definiciones de escalas de pH, valores de referencia estándar, medición del pH y terminología relacionada" (PDF) . Pure Appl. Chem . 57 : 531–542. 1985. doi :10.1351/pac198557030531. S2CID  14182410.
3. Silva, Andre MN; Kong, Xiaole; ​​Hider, Robert C. (2009). "Determinación del valor p K _a del grupo hidroxilo en los α-hidroxicarboxilatos citrato, malato y lactato mediante RMN de ¹³ C: implicaciones para la coordinación de metales en sistemas biológicos". Biometals . 22 (5): 771–778. doi :10.1007/s10534-009-9224-5. PMID  19288211. S2CID  11615864.
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