Deflexión (ingeniería)

Degree to which part of a structural element is displaced under a given load

Deflexión (f) en ingeniería

En ingeniería estructural , la deflexión es el grado en el que una parte de un elemento estructural largo (como una viga ) se deforma lateralmente (en la dirección transversal a su eje longitudinal) bajo una carga . Puede cuantificarse en términos de un ángulo ( desplazamiento angular ) o una distancia ( desplazamiento lineal ). Una deformación longitudinal (en la dirección del eje) se denomina elongación .

La distancia de deflexión de un elemento bajo una carga se puede calcular integrando la función que describe matemáticamente la pendiente de la forma desviada del elemento bajo esa carga. Existen fórmulas estándar para la deflexión de configuraciones de vigas comunes y casos de carga en ubicaciones discretas. De lo contrario, se utilizan métodos como el trabajo virtual , la integración directa , el método de Castigliano , el método de Macaulay o el método de rigidez directa . La deflexión de los elementos de viga generalmente se calcula sobre la base de la ecuación de viga de Euler-Bernoulli , mientras que la de un elemento de placa o cáscara se calcula utilizando la teoría de placas o cáscaras .

Un ejemplo del uso de la deflexión en este contexto es la construcción de edificios. Los arquitectos e ingenieros seleccionan materiales para diversas aplicaciones.

Deflexión de vigas para diversas cargas y soportes

Las vigas pueden variar mucho en cuanto a su geometría y composición. Por ejemplo, una viga puede ser recta o curva. Puede tener una sección transversal constante o puede estrecharse. Puede estar hecha completamente del mismo material (homogénea) o puede estar compuesta de diferentes materiales (compuesta). Algunas de estas características dificultan el análisis, pero muchas aplicaciones de ingeniería implican casos que no son tan complicados. El análisis se simplifica si:

• La viga es originalmente recta y cualquier conicidad es leve.
• La viga experimenta únicamente una deformación elástica lineal .
• La viga es delgada (su relación longitud/altura es mayor a 10)
• Sólo se consideran pequeñas deflexiones (deflexión máxima menor a 1/10 de la longitud ).

En este caso, la ecuación que rige la deflexión de la viga ( ) se puede aproximar como: donde la segunda derivada de su forma deflexionada con respecto a ( siendo la posición horizontal a lo largo de la longitud de la viga) se interpreta como su curvatura, es el módulo de Young , es el momento de inercia del área de la sección transversal, y es el momento de flexión interno en la viga. ${\displaystyle w}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

Si además la viga no es cónica y es homogénea , y sobre ella actúa una carga distribuida , la expresión anterior se puede escribir como : ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Esta ecuación se puede resolver para una variedad de condiciones de carga y de contorno. A continuación se muestran varios ejemplos simples. Las fórmulas expresadas son aproximaciones desarrolladas para vigas prismáticas largas, delgadas, homogéneas, con pequeñas deflexiones y propiedades elásticas lineales. Con estas restricciones, las aproximaciones deberían dar resultados dentro del 5 % de la deflexión real.

Vigas en voladizo

Las vigas en voladizo tienen un extremo fijo, por lo que la pendiente y la desviación en ese extremo deben ser cero.

Esquema de la deflexión de una viga en voladizo.

Vigas en voladizo con carga en los extremos

Viga en voladizo con una fuerza en el extremo libre

La deflexión elástica y el ángulo de deflexión (en radianes ) en el extremo libre en la imagen de ejemplo: Una viga en voladizo (sin peso) , con una carga en el extremo, se puede calcular (en el extremo libre B) usando: ^[1] donde ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle F}$= fuerza que actúa sobre la punta de la viga
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga (tramo)
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= momento de inercia del área de la sección transversal de la viga

Obsérvese que si el tramo se duplica, la deflexión se multiplica por ocho. La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del tramo de una viga voladiza cargada en un extremo se puede calcular utilizando: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned}}}$$

Nota: En (el extremo de la viga), las ecuaciones y son idénticas a las ecuaciones y anteriores. ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

Vigas en voladizo cargadas uniformemente

Viga en voladizo con carga distribuida uniformemente

La deflexión, en el extremo libre B, de una viga en voladizo bajo una carga uniforme viene dada por: ^[1] donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle q}$= carga uniforme sobre la viga (fuerza por unidad de longitud)
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= momento de inercia del área de la sección transversal

La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del tramo de una viga en voladizo cargada uniformemente se puede calcular utilizando: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2}\right)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Vigas simplemente apoyadas

Las vigas simplemente apoyadas tienen soportes debajo de sus extremos que permiten la rotación, pero no la deflexión.

Esquema de la deflexión de una viga simplemente apoyada.

Vigas simples con carga central

Viga simplemente apoyada con una fuerza en el centro

La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del tramo de una viga simplemente apoyada con carga central se puede calcular utilizando: ^[1] para ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2}\right)}$$ $${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$$

El caso especial de deflexión elástica en el punto medio C de una viga, cargada en su centro, sostenida por dos apoyos simples viene dado por: ^[1] donde $${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= fuerza que actúa sobre el centro de la viga
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga entre los apoyos
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= momento de inercia del área de la sección transversal

Vigas simples con carga descentrada

Viga simplemente apoyada con una fuerza fuera del centro

La deflexión elástica máxima en una viga sostenida por dos apoyos simples, cargada a una distancia del apoyo más cercano, viene dada por: ^[1] donde ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \delta _{\text{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2}\right)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= fuerza que actúa sobre la viga
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga entre los apoyos
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= momento de inercia del área de la sección transversal
• ${\displaystyle a}$= distancia desde la carga hasta el soporte más cercano

Esta deflexión máxima se produce a una distancia del soporte más cercano y viene dada por: ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$$

Vigas simples cargadas uniformemente

Viga simplemente apoyada con carga distribuida uniformemente

La deflexión elástica (en el punto medio C) de una viga sostenida por dos soportes simples, bajo una carga uniforme (como se muestra en la imagen) viene dada por: ^[1] donde $${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$$

• ${\displaystyle q}$= carga uniforme sobre la viga (fuerza por unidad de longitud)
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= momento de inercia del área de la sección transversal

La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del tramo de una viga simplemente apoyada y cargada uniformemente se puede calcular utilizando: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3}\right)}$$

Cargas combinadas

La deflexión de vigas con una combinación de cargas simples se puede calcular utilizando el principio de superposición .

Cambio de longitud

El cambio de longitud de la viga, proyectada a lo largo de la línea de la viga sin carga, se puede calcular integrando la función de pendiente, si la función de deflexión es conocida para todos los . ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \theta _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Dónde:

• ${\displaystyle \Delta L}$= cambio de longitud (siempre negativo)
• ${\displaystyle \theta _{x}}$= función pendiente (primera derivada de ) ${\displaystyle \delta _{x}}$
• ${\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}$^[2]

Si la viga es uniforme y se conoce la desviación en cualquier punto, ésta se puede calcular sin conocer otras propiedades de la viga.

Unidades

Las fórmulas proporcionadas anteriormente requieren el uso de un conjunto coherente de unidades. La mayoría de los cálculos se realizarán en el Sistema Internacional de Unidades (SI) o en unidades habituales de EE. UU., aunque existen muchos otros sistemas de unidades.

Sistema internacional (SI)

• Fuerza: newtons ( ) ${\displaystyle \mathrm {N} }$
• Longitud: metros ( ) ${\displaystyle \mathrm {m} }$
• Módulo de elasticidad: ${\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} }$
• Momento de inercia: ${\displaystyle \mathrm {m^{4}} }$

Unidades consuetudinarias de EE. UU. (EE. UU.)

• Fuerza: libras fuerza ( ) ${\displaystyle \mathrm {lbf} }$
• Longitud: pulgadas ( ) ${\displaystyle \mathrm {in} }$
• Módulo de elasticidad: ${\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} }$
• Momento de inercia: ${\displaystyle \mathrm {in^{4}} }$

Otros

También se pueden utilizar otras unidades, siempre que sean coherentes entre sí. Por ejemplo, a veces se utiliza la unidad kilogramo-fuerza ( ) para medir cargas. En tal caso, el módulo de elasticidad debe convertirse a . ${\displaystyle \mathrm {kgf} }$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} }$

Deflexión estructural

Los códigos de construcción determinan la deflexión máxima, generalmente como una fracción de la distancia, por ejemplo, 1/400 o 1/600. Tanto el estado límite de resistencia (tensión admisible) como el estado límite de servicio (consideraciones de deflexión, entre otras) pueden determinar las dimensiones mínimas requeridas del elemento.

La deflexión debe tenerse en cuenta para el propósito de la estructura. Al diseñar un marco de acero para sostener un panel vidriado, se permite solo una deflexión mínima para evitar la fractura del vidrio.

La forma desviada de una viga se puede representar mediante el diagrama de momentos , integrado (dos veces, rotado y trasladado para imponer las condiciones de apoyo).

Véase también

• Método de deflexión de pendiente

Referencias

1. Gere, James M.; Goodno, Barry J. (enero de 2012). Mecánica de materiales (octava edición). págs. 1083–1087. ISBN 978-1-111-57773-5.
2. Fórmulas de Roark para tensión y deformación, octava edición, ecuación 8.1-14

Enlaces externos

• Deflexión de vigas
• Desviaciones de la viga
• Herramientas de cálculo para deflexión y pendiente de vigas