Desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau

En matemáticas, la desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau es la desigualdad

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}}$

entre números de Chern de superficies complejas compactas de tipo general . Su principal interés es la forma en que restringe los posibles tipos topológicos de la 4-variedad real subyacente. Fue probada independientemente por Shing-Tung Yau  (1977, 1978) y Yoichi Miyaoka  (1977), después de que Antonius Van de Ven (1966) y Fedor Bogomolov  (1978) probaran versiones más débiles con la constante 3 reemplazada por 8 y 4.

Armand Borel y Friedrich Hirzebruch demostraron que la desigualdad es posible de la mejor manera posible al encontrar una cantidad infinita de casos en los que se cumple la igualdad. La desigualdad es falsa en la característica positiva: William E. Lang (1983) y Robert W. Easton (2008) dieron ejemplos de superficies en la característica p , como las superficies de Raynaud generalizadas , para las que falla.

Formulación de la desigualdad

La formulación convencional de la desigualdad de Bogomolov–Miyaoka–Yau es la siguiente. Sea X una superficie compleja compacta de tipo general , y sean c ₁ =  c ₁ ( X ) y c ₂ =  c ₂ ( X ) la primera y segunda clase de Chern del fibrado tangente complejo de la superficie. Entonces

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}.}$

Además, si se cumple la igualdad, entonces X es un cociente de una bola. Esta última afirmación es una consecuencia del enfoque geométrico diferencial de Yau, que se basa en su resolución de la conjetura de Calabi .

Dado que es la característica topológica de Euler y por el teorema de la firma de Thom-Hirzebruch donde es la firma de la forma de intersección en la segunda cohomología, la desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau también se puede escribir como una restricción en el tipo topológico de la superficie de tipo general: ${\displaystyle c_{2}(X)=e(X)}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)}$ ${\displaystyle \sigma (X)}$

${\displaystyle \sigma (X)\leq {\frac {1}{3}}e(X),}$

Más aún si entonces la cubierta universal es una bola. ${\displaystyle \sigma (X)=(1/3)e(X)}$

Junto con la desigualdad de Noether, la desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau establece límites en la búsqueda de superficies complejas. El mapeo de los tipos topológicos que se realizan como superficies complejas se denomina geografía de superficies . Véase superficies de tipo general .

Superficies condo12= 3do2

Si X es una superficie de tipo general con , de modo que la igualdad se cumple en la desigualdad de Bogomolov–Miyaoka–Yau, entonces Yau (1977) demostró que X es isomorfo a un cociente de la bola unidad en por un grupo discreto infinito. Es difícil encontrar ejemplos de superficies que satisfagan esta igualdad. Borel (1963) demostró que hay infinitos valores de c ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$²
₁= 3 c ₂ para el cual existe una superficie. David Mumford  (1979) encontró un plano proyectivo falso con c²
₁= 3 c ₂ = 9, que es el mínimo valor posible porque c²
₁+ c ₂ siempre es divisible por 12, y Prasad y Yeung (2007), Prasad y Yeung (2010), Donald I. Cartwright y Tim Steger (2010) demostraron que hay exactamente 50 planos proyectivos falsos.

Barthel, Hirzebruch y Höfer (1987) dieron un método para encontrar ejemplos, que en particular produjo una superficie X con c²
₁= 3 c ₂ = 3 ² 5 ⁴ . Ishida (1988) encontró un cociente de esta superficie con c²
₁= 3 c ₂ = 45, y tomando recubrimientos no ramificados de este cociente se obtienen ejemplos con c²
₁= 3 c ₂ = 45 k para cualquier entero positivo k . Donald I. Cartwright y Tim Steger (2010) encontraron ejemplos con c²
₁= 3 c ₂ = 9 n para cada entero positivo n .

Referencias

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Barthel, Gottfried; Hirzebruch, Friedrich ; Höfer, Thomas (1987), Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen , Aspectos de las matemáticas, D4, Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn, ISBN 978-3-528-08907-8, Sr.  0912097
• Bogomolov, Fedor A. (1978), "Tensores holomorfos y haces de vectores en variedades proyectivas", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 42 (6): 1227–1287, ISSN  0373-2436, SEÑOR  0522939
• Borel, Armand (1963), "Formas compactas de Clifford-Klein de espacios simétricos", Topología , 2 (1–2): 111–122, doi : 10.1016/0040-9383(63)90026-0 , ISSN  0040-9383, MR  0146301
• Cartwright, Donald I.; Steger, Tim (2010), "Enumeración de los 50 planos proyectivos falsos", Comptes Rendus Mathématique , 348 (1), Elsevier Masson SAS: 11–13, doi :10.1016/j.crma.2009.11.016
• Easton, Robert W. (2008), "Superficies que violan Bogomolov-Miyaoka-Yau en característica positiva", Actas de la American Mathematical Society , 136 (7): 2271–2278, arXiv : math/0511455 , doi :10.1090/S0002-9939-08-09466-5, ISSN  0002-9939, MR  2390492, S2CID  35276117
• Ishida, Masa-Nori (1988), "Una superficie elíptica cubierta por el falso plano proyectivo de Mumford", The Tohoku Mathematical Journal , Segunda serie, 40 (3): 367–396, doi : 10.2748/tmj/1178227980 , ISSN  0040-8735, MR  0957050
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