Teorema del radón-Nikodym

En matemáticas , el teorema de Radón-Nikodym es un resultado de la teoría de la medida que expresa la relación entre dos medidas definidas en el mismo espacio mensurable . Una medida es una función establecida que asigna una magnitud consistente a los subconjuntos mensurables de un espacio mensurable. Ejemplos de medida incluyen área y volumen, donde los subconjuntos son conjuntos de puntos; o la probabilidad de un evento, que es un subconjunto de resultados posibles dentro de un espacio de probabilidad más amplio .

Una forma de derivar una nueva medida a partir de una ya dada es asignar una densidad a cada punto del espacio y luego integrarla en el subconjunto de interés mensurable. Esto se puede expresar como

\nu (A)=\int _ {A}f\,d\mu ,

donde $ν$ es la nueva medida que se define para cualquier subconjunto $A$ medible y la función $f$ es la densidad en un punto dado. La integral es con respecto a una medida existente $μ$ , que a menudo puede ser la medida canónica de Lebesgue en la línea real $R$ o el espacio euclidiano de n dimensiones $R$ $n$ (correspondiente a nuestras nociones estándar de longitud, área y volumen). Por ejemplo, si $f$ representaba la densidad de masa y $μ$ era la medida de Lebesgue en el espacio tridimensional $R$ $3$ , entonces $ν$ $($ $A$ $)$ sería igual a la masa total en una región espacial $A.$

El teorema de Radon-Nikodym esencialmente establece que, bajo ciertas condiciones, cualquier medida $ν$ puede expresarse de esta manera con respecto a otra medida $μ$ en el mismo espacio. La función $f$ se denomina entonces derivada de radón-Nikodym y se denota por . ^[1] Una aplicación importante es la teoría de la probabilidad , que conduce a la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria . ${\tfrac {d\nu }{d\mu }}$

El teorema lleva el nombre de Johann Radon , quien demostró el teorema para el caso especial donde el espacio subyacente es $R n$ en 1913, y de Otto Nikodym , quien demostró el caso general en 1930. ^[2] En 1936, Hans Freudenthal generalizó el Radon-Nikodym. teorema demostrando el teorema espectral de Freudenthal , un resultado de la teoría espacial de Riesz ; esto contiene el teorema de radón-Nikodym como caso especial. ^[3]

Se dice que un espacio de Banach $Y$ tiene la propiedad Radon-Nikodym si la generalización del teorema de Radon-Nikodym también se cumple, mutatis mutandis , para funciones con valores en $Y.$ Todos los espacios de Hilbert tienen la propiedad Radon-Nikodym.

Descripción formal

Teorema del radón-Nikodym

El teorema de Radón-Nikodym implica un espacio medible en el que se definen dos medidas σ-finitas , y establece que, si (es decir, si es absolutamente continua con respecto a ), entonces existe una función medible tal que para cualquier medible colocar $(X,\Sigma)$ $\mu$ $\nu.$ $\nu \ll \mu$ $\nu$ $\mu$ $\Sigma$ $f:X\to [0,\infty ),$ $A\in \Sigma ,$

\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu .

Derivado del radón-Nikodym

La función que satisface la igualdad anterior se define de forma única hasta un conjunto nulo , es decir, si hay otra función que satisface la misma propiedad, entonces casi en todas partes . La función se escribe comúnmente y se llama $f$ $\mu$ $g$ $f=g$ $\mu$ $f$ ${\frac {d\nu }{d\mu }}$ Derivado del radón-Nikodym . La elección de la notación y el nombre de la función refleja el hecho de que la función es análoga a unaderivadaencálculose usaeldeterminante jacobianoen integración multivariable).

Ampliación a medidas firmadas o complejas

Se puede demostrar un teorema similar para medidas complejas y con signo : a saber, que si es una medida σ-finita no negativa y es una medida compleja o con signo de valor finito tal que es absolutamente continua con respecto a entonces hay un - función integrable de valor real o complejo de modo que para cada conjunto medible $\mu$ $\nu$ $\nu \ll \mu ,$ $\nu$ $\mu ,$ $\mu$ $g$ $X$ $A,$

\nu (A)=\int _{A}g\,d\mu .

Ejemplos

En los siguientes ejemplos, el conjunto $X$ es el intervalo real [0,1] y es el álgebra sigma de Borel en $X.$ $\Sigma$

$\mu$ es la medida de longitud en $X$ . asigna a cada subconjunto $Y$ de $X$ , el doble de la longitud de $Y$ . Entonces, . $\nu$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}=2}$
$\mu$ es la medida de longitud en $X$ . asigna a cada subconjunto $Y$ de $X$ , el número de puntos del conjunto {0.1,…, 0.9} que están contenidos en $Y$ . Entonces, no es absolutamente continuo con respecto a ya que asigna medidas distintas de cero a puntos de longitud cero. De hecho, no hay derivada : no hay una función finita que, cuando se integra, por ejemplo, desde a , dé para todos . $\nu$ $\nu$ $\mu$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}}$ $(0.1-\varepsilon )$ $(0.1+\varepsilon )$ $1$ $\varepsilon >0$
$\mu =\nu +\delta _{0}$ , donde es la medida de longitud en X y es la medida de Dirac en 0 (asigna una medida de 1 a cualquier conjunto que contenga 0 y una medida de 0 a cualquier otro conjunto). Entonces, es absolutamente continua con respecto a , y – la derivada es 0 en y 1 en . ^[4] $\nu$ $\delta _{0}$ $\nu$ $\mu$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}=1_{X\setminus \{0\}}}$ $x=0$ $x>0$

Propiedades

Sean ν , μ y λ medidas σ-finitas en el mismo espacio medible. Si ν ≪ λ y μ ≪ λ ( ν y μ son ambos absolutamente continuos con respecto a λ ), entonces ${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.$
Si ν ≪ μ ≪ λ , entonces ${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.$
En particular, si μ ≪ ν y ν ≪ μ , entonces ${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-almost everywhere}}.$
Si μ ≪ λ y $g$ es una función integrable μ , entonces $\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$
Si ν es una medida finita con signo o compleja, entonces ${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$

Aplicaciones

Teoría de probabilidad

El teorema es muy importante para extender las ideas de la teoría de la probabilidad desde masas de probabilidad y densidades de probabilidad definidas sobre números reales hasta medidas de probabilidad definidas sobre conjuntos arbitrarios. Indica si es posible cambiar de una medida de probabilidad a otra y cómo. Específicamente, la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria es la derivada de Radon-Nikodym de la medida inducida con respecto a alguna medida base (generalmente la medida de Lebesgue para variables aleatorias continuas ).

Por ejemplo, se puede utilizar para demostrar la existencia de expectativas condicionales para medidas de probabilidad. Este último en sí mismo es un concepto clave en la teoría de la probabilidad , ya que la probabilidad condicional es solo un caso especial de la misma.

Matemáticas financieras

Entre otros campos, las matemáticas financieras utilizan ampliamente el teorema, en particular a través del teorema de Girsanov . Estos cambios en la medida de probabilidad son la piedra angular de la fijación racional de precios de los derivados y se utilizan para convertir las probabilidades reales en probabilidades neutrales al riesgo .

Divergencias de información

Si μ y ν son medidas sobre $X$ y μ ≪ ν

La divergencia de Kullback-Leibler de ν a μ se define como $D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .$
Para α > 0, α ≠ 1, la divergencia de Rényi de orden α de ν a μ se define como $D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )={\frac {1}{\alpha -1}}\log \left(\int _{X}\left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)^{\alpha -1}\;d\mu \right).$

El supuesto de σ-finitud

El teorema de Radon-Nikodym anterior supone que la medida μ con respecto a la cual se calcula la tasa de cambio de ν es σ-finita .

Ejemplo negativo

A continuación se muestra un ejemplo en el que μ no es σ-finito y el teorema de Radon-Nikodym no se cumple.

Considere el álgebra σ de Borel sobre la recta real . Definamos la medida de conteo , $μ$ , de un conjunto de Borel $A$ como el número de elementos de $A$ si $A$ es finito y $\infty$ en caso contrario. Se puede comprobar que $μ$ es efectivamente una medida. No es $σ$ -finito, ya que no todo conjunto de Borel es, como máximo, una unión contable de conjuntos finitos. Sea $ν la$ medida habitual de Lebesgue en este álgebra de Borel. Entonces, $ν$ es absolutamente continua con respecto a $μ$ , ya que para un conjunto $A$ se tiene $μ (A) = 0$ sólo si $A$ es el conjunto vacío , y entonces $ν (A)$ también es cero.

Supongamos que se cumple el teorema de Radon-Nikodym, es decir, para alguna función medible $f$ uno tiene

\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu

para todos los conjuntos Borel. Tomando $A$ como un conjunto singleton , $A = {a}$ , y usando la igualdad anterior, se encuentra

0=f(a)

para todos los números reales $a$ . Esto implica que la función $f$ , y por tanto la medida de Lebesgue $ν$ , es cero, lo cual es una contradicción.

Resultado positivo

Suponiendo que el teorema de Radon-Nikodym también se cumpla si es localizable y accesible con respecto a , ^[5]^{: p. 189, Ejercicio 9O} , es decir, para todos ^[6]^{: Teorema 1.111 (Radón-Nikodym, II)}^[5]^{: p. 190, Ejercicio 9T(ii)} $\nu \ll \mu ,$ $\mu$ $\nu$ $\mu$ $\nu (A)=\sup\{\nu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\operatorname {pre} }(\mathbb {R} _{\geq 0})\}$ $A\in \Sigma .$

Prueba

Esta sección proporciona una demostración teórica de la medida del teorema. También hay una prueba analítica funcional, utilizando métodos espaciales de Hilbert, que fue dada por primera vez por von Neumann .

Para medidas finitas $μ$ y $ν$ , la idea es considerar funciones $f$ con $f dμ$ $\leq$ $dν$ . El supremo de todas estas funciones, junto con el teorema de convergencia monótona , proporciona la derivada radón-Nikodym. El hecho de que la parte restante de $μ$ sea singular con respecto a $ν$ se deriva de un hecho técnico sobre medidas finitas. Una vez que se establece el resultado para medidas finitas, la extensión a medidas $σ$ -finitas, con signo y complejas se puede realizar de forma natural. Los detalles se dan a continuación.

Para medidas finitas

Construcción de un candidato de valores extendidos Primero, supongamos que $μ$ y $ν$ son medidas no negativas de valores finitos. Sea $F$ el conjunto de aquellas funciones medibles de valor extendido $f : X \to [0, \infty]$ tales que:

\forall A\in \Sigma :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)

$F \neq \emptyset$ , ya que contiene al menos la función cero. Ahora sean $f 1, f 2 \in F$ , y supongamos que $A$ es un conjunto arbitrario medible, y defina:

{\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\}.\end{aligned}}

Entonces uno tiene

\int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),

y por lo tanto, $max{f 1, f 2} \in F$ .

Ahora, sea ${f n}$ una secuencia de funciones en $F$ tal que

\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .

Al reemplazar $f$ $n$ con el máximo de las primeras $n$ funciones, se puede suponer que la secuencia ${$ $f$ $n$ $}$ es creciente. Sea $g$ una función de valor extendido definida como

g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).

Según el teorema de convergencia monótona de Lebesgue , se tiene

\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)

para cada $A \in Σ$ , y por tanto, $g \in F$ . Además, por la construcción de $g$ ,

\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .

Demostrando la igualdad Ahora, dado que $g \in F$ ,

\nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu

define una medida no negativa en $Σ$ . Para demostrar la igualdad, demostramos que $ν 0 = 0$ .

Supongamos que $ν 0 \neq 0$ ; entonces, dado que $μ$ es finito, existe un $ε > 0$ tal que $ν 0 (X) > ε μ (X)$ . Para derivar una contradicción de $ν 0 \neq 0$ , buscamos un conjunto positivo $P \in Σ$ para la medida con signo $ν 0 - ε μ$ (es decir, un conjunto medible $P$ , todos cuyos subconjuntos mensurables tienen una medida no negativa $ν 0 - εμ$ ) , donde también $P$ tiene una medida $μ$ positiva . Conceptualmente, buscamos un conjunto $P$ , donde $ν 0 \geq ε μ$ en cada parte de $P$ . Un enfoque conveniente es utilizar la descomposición de Hahn $(P, N)$ para la medida con signo $ν 0 - ε μ$ .

Tenga en cuenta entonces que para cada $A \in Σ$ uno tiene $ν 0 (A \cap P) \geq ε μ (A \cap P)$ , y por tanto,

{\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}

donde $1 P$ es la función indicadora de $P$ . Además, tenga en cuenta que $μ (P) > 0$ según se desee; porque si $μ (P) = 0$ , entonces (dado que $ν$ es absolutamente continuo en relación con $μ$ ) $ν 0 (P) \leq ν (P) = 0$ , entonces $ν 0 (P) = 0$ y

\nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,

contradiciendo el hecho de que $ν 0 (X) > εμ (X)$ .

Entonces, como también

\int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,

$g + ε 1 P \in F$ y satisface

\int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .

Esto es imposible porque viola la definición de supremo ; por lo tanto, el supuesto inicial de que $ν 0 \neq 0$ debe ser falso. Por tanto, $ν 0 = 0$ , como se desea.

Restringir a valores finitos Ahora, dado que $g$ es $μ$ -integrable, el conjunto ${x \in X : g (x) = \infty}$ es $μ$ - nulo . Por lo tanto, si una $f$ se define como

f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}

entonces $f$ tiene las propiedades deseadas.

Unicidad En cuanto a la unicidad, sean $f$ $,$ $g$ $:$ $X$ $\to [0, \infty)$ funciones medibles que satisfagan

\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu

para cada conjunto medible $A$ . Entonces, $g - f$ es $μ$ -integrable, y

\int _{A}(g-f)\,d\mu =0.

En particular, para $A = {x \in X : f (x) > g (x)},$ o ${x \in X : f (x) < g (x)}$ . Resulta que

\int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,

y así, que $(g - f) + = 0$ $μ$ -casi en todas partes; lo mismo es cierto para $(g - f) -$ , y por lo tanto, $f = g$ $μ$ -casi en todas partes, como se desee.

Para σ -medidas positivas finitas

Si $μ$ y $ν$ son $σ$ -finitos, entonces $X$ puede escribirse como la unión de una secuencia ${B n} n$ de conjuntos disjuntos en $Σ$ , cada uno de los cuales tiene medida finita tanto bajo $μ$ como $ν$ . Para cada $n$ , por el caso finito, existe una función $Σ -medible$ $f$ $n$ $:$ $B$ $n$ $\to [0, \infty)$ tal que

\nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu

para cada $Σ$ -subconjunto $A$ medible de $B n$ . La suma de esas funciones es entonces la función requerida tal que . ${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$ ${\textstyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

En cuanto a la unicidad, dado que cada una de las $f n$ es $μ$ -casi única en todas partes, también lo es $f$ .

Para medidas firmadas y complejas

Si $ν$ es una medida $σ$ -finita con signo, entonces se puede descomponer Hahn-Jordan como $ν = ν + - ν -$ donde una de las medidas es finita. Aplicando el resultado anterior a esas dos medidas, se obtienen dos funciones, $g, h : X \to [0, \infty)$ , que satisfacen el teorema de Radon-Nikodym para $ν +$ y $ν -$ respectivamente, al menos una de las cuales es $μ$ -integrable ( es decir, su integral con respecto a $μ$ es finita). Está claro entonces que $f = g - h$ satisface las propiedades requeridas, incluida la unicidad, ya que tanto $g$ como $h$ son únicos hasta $μ$ -igualdad casi en todas partes.

Si $ν$ es una medida compleja , se puede descomponer como $ν = ν 1 + iν 2$ , donde tanto $ν 1$ como $ν 2$ son medidas con signo de valores finitos. Aplicando el argumento anterior, se obtienen dos funciones, $g, h : X \to [0, \infty)$ , que satisfacen las propiedades requeridas para $ν 1$ y $ν 2$ , respectivamente. Claramente, $f = g + ih$ es la función requerida.

El teorema de descomposición de Lebesgue

El teorema de descomposición de Lebesgue muestra que los supuestos del teorema de radón-Nikodym se pueden encontrar incluso en una situación aparentemente más general. Considere una medida positiva σ-finita en el espacio de medidas y una medida σ-finita con signo en , sin asumir ninguna continuidad absoluta. Entonces existen medidas únicas firmadas y sobre tales que , , y . Luego se puede aplicar el teorema de radón-Nikodym al par . $\mu$ $(X,\Sigma )$ $\nu$ $\Sigma$ $\nu _{a}$ $\nu _{s}$ $\Sigma$ $\nu =\nu _{a}+\nu _{s}$ $\nu _{a}\ll \mu$ $\nu _{s}\perp \mu$ $\nu _{a},\mu$

Ver también

Notas

^ Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y medida (Tercera ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 419–427. ISBN 0-471-00710-2.
^ Nikodym, O. (1930). "Sur una generalización de los integrales de MJ Radon" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 15 : 131-179. doi : 10.4064/fm-15-1-131-179 . JFM 56.0922.02 . Consultado el 30 de enero de 2018 .
^ Zaanen, Adriaan C. (1996). Introducción a la Teoría del Operador en Espacios de Riesz . Saltador . ISBN 3-540-61989-5.
^ "Cálculo del derivado del radón Nikodym". Intercambio de pila . 7 de abril de 2018.
^ ab Brown, Arlen; Pearcy, Carl (1977). Introducción a la Teoría del Operador I: Elementos del Análisis Funcional . ISBN 978-1461299288.
^ Fonseca, Irene; Leoni, Giovanni. Métodos modernos en el cálculo de variaciones: espacios L ^p . Saltador. pag. 68.ISBN 978-0-387-35784-3.

Referencias

Lang, Serge (1969). Análisis II: Análisis real . Addison-Wesley.Contiene una prueba de medidas vectoriales que asumen valores en un espacio de Banach.
Royden, HL ; Fitzpatrick, PM (2010). Análisis real (4ª ed.). Pearson.Contiene una prueba lúcida en caso de que la medida ν no sea σ-finita.
Shilov, GE; Gurevich, BL (1978). Integral, medida y derivada: un enfoque unificado . Richard A. Silverman, trad. Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-63519-8.
Stein, Elías M.; Shakarchi, Rami (2005). Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert . Conferencias de Princeton sobre análisis. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11386-9.Contiene una prueba de la generalización.
Teschl, Gerald . "Temas de Análisis Real y Funcional". (notas de lectura).

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