Corte de pastel de feria

Problema de división justa

Si un pastel con una selección de ingredientes se corta simplemente en porciones iguales, diferentes personas recibirán diferentes cantidades de sus ingredientes y algunos pueden no considerar esto como una división justa del pastel.

El reparto justo de la tarta es un tipo de problema de división justa . El problema implica un recurso heterogéneo , como una tarta con diferentes ingredientes, que se supone que es divisible : es posible cortar trozos arbitrarios sin destruir su valor. El recurso tiene que ser dividido entre varios socios que tienen diferentes preferencias sobre distintas partes de la tarta, es decir, algunas personas prefieren los ingredientes de chocolate, otras prefieren las cerezas, y algunas simplemente quieren un trozo lo más grande posible. La división debe ser unánimemente justa: cada persona debe recibir un trozo que se considere que es una parte justa.

La "torta" es sólo una metáfora ; se pueden utilizar procedimientos para dividir la torta de manera justa para dividir diversos tipos de recursos, como tierras, espacios publicitarios o tiempo de transmisión.

El procedimiento prototípico para el corte justo de la torta es dividir y elegir , que se menciona en el libro de Génesis para resolver el conflicto de Abraham y Lot . Este procedimiento resuelve el problema de la división justa para dos personas. El estudio moderno del corte justo de la torta se inició durante la Segunda Guerra Mundial , cuando Hugo Steinhaus pidió a sus estudiantes Stefan Banach y Bronisław Knaster que encontraran una generalización de dividir y elegir para tres o más personas. Desarrollaron el último procedimiento de disminución. ^[1] Hoy en día, el corte justo de la torta es objeto de intensa investigación en matemáticas , informática , economía y ciencias políticas . ^[2]

Suposiciones

Hay una torta C , que generalmente se supone que es un segmento unidimensional finito, un polígono bidimensional o un subconjunto finito del plano euclidiano multidimensional R ^d .

Hay n personas con funciones de valor subjetivas sobre C . Cada persona i tiene una función de valor V _i que asigna subconjuntos de C a números. Se supone que todas las funciones de valor son absolutamente continuas con respecto a la longitud, el área o (en general) la medida de Lebesgue . ^[3] Esto significa que no hay "átomos" - no hay puntos singulares a los que uno o más agentes asignen un valor positivo, por lo que todas las partes del pastel son divisibles. En muchos casos, se supone que las funciones de valor son sigma aditivas (el valor de un todo es igual a la suma de los valores de sus partes).

C debe dividirse en n subconjuntos disjuntos, de modo que cada persona reciba un subconjunto disjunto. La porción asignada a la persona i se llama , y . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle C=X_{1}\sqcup \cdots \sqcup X_{n}}$

Las personas n tienen los mismos derechos que las personas C. Es decir, no hay disputa sobre los derechos de las personas: todos están de acuerdo en que todos los demás tienen derecho a una parte justa. El único problema es cómo dividir la torta de manera que cada persona reciba una parte justa.

En los siguientes ejemplos se utilizará como ilustración el siguiente pastel.

• El pastel tiene dos partes: chocolate y vainilla.
• Hay dos personas: Alice y George.
• Alicia valora el chocolate como 9 y la vainilla como 1.
• George valora el chocolate como 6 y la vainilla como 4.

Requisitos de justicia

Proporcionalidad

El criterio original y más común de justicia es la proporcionalidad (PR). En un corte de pastel proporcional , cada persona recibe un trozo que valora como al menos 1/ n del valor de todo el pastel. En el pastel del ejemplo, se puede lograr una división proporcional dando toda la vainilla y 4/9 del chocolate a George (por un valor de 6,66), y los otros 5/9 del chocolate a Alice (por un valor de 5). En símbolos:

${\displaystyle \forall {i}:\ V_{i}(X_{i})\geq 1/n}$

Para n personas con valoraciones aditivas, siempre existe una división proporcional. Los protocolos más comunes son:

• Último disminuidor , un protocolo que puede garantizar que las n piezas estén conectadas (es decir, ninguna persona recibe un conjunto de dos o más piezas desconectadas). En particular, si la torta es un intervalo unidimensional, entonces cada persona recibe un intervalo. Este protocolo es discreto y se puede jugar por turnos. Requiere O( n ² ) acciones.
• El procedimiento de cuchilla móvil de Dubins-Spanier es una versión de tiempo continuo del último disminuidor. ^[4]
• El protocolo Fink (también conocido como pares sucesivos o selector solitario ) es un protocolo discreto que se puede utilizar para la división en línea: dada una división proporcional para n  − 1 socios, cuando un nuevo socio entra en la fiesta, el protocolo modifica la división existente de modo que tanto el nuevo socio como los socios existentes permanezcan con 1/ n . La desventaja es que cada socio recibe una gran cantidad de piezas desconectadas.
• El protocolo Even-Paz , basado en dividir recursivamente la torta y el grupo de agentes a la mitad, requiere solo O( n  log  n ) acciones. Este es el protocolo determinista más rápido posible para la división proporcional, y el protocolo más rápido posible para la división proporcional que puede garantizar que las piezas estén conectadas.
• El protocolo Edmonds-Pruhs es un protocolo aleatorio que requiere sólo O( n ) acciones, pero garantiza sólo una división parcialmente proporcional (cada socio recibe al menos 1/ an , donde a es una constante), y podría dar a cada socio una colección de "migajas" en lugar de una única pieza conectada.
• El protocolo de división de tierras de Beck puede producir una división proporcional de un territorio en disputa entre varios países vecinos, de modo que cada país reciba una parte que esté conectada y sea adyacente a su territorio actual.
• El protocolo de división superproporcional de Woodall produce una división que le da a cada socio estrictamente más de 1/ n , dado que al menos dos socios tienen opiniones diferentes sobre el valor de al menos una sola pieza.

Ver corte de tarta proporcional para más detalles y referencias completas.

El criterio de proporcionalidad puede generalizarse a situaciones en las que los derechos de las personas no son iguales. Por ejemplo, en un reparto proporcional con diferentes derechos , el pastel pertenece a los accionistas de manera que uno de ellos posee el 20% y el otro el 80%. Esto conduce al criterio de proporcionalidad ponderada (RPP):

${\displaystyle \forall i:V_{i}(X_{i})\geq w_{i}}$

Donde w _i son pesos que suman 1.

Libre de envidia

Otro criterio común es la ausencia de envidia (FE). En un corte de pastel sin envidia , cada persona recibe un trozo que valora al menos tanto como cualquier otro trozo. En símbolos:

${\displaystyle \forall i,j:\ V_{i}(X_{i})\geq V_{i}(X_{j})}$

En algunos casos, existen relaciones de implicación entre proporcionalidad y ausencia de envidia, como se resume en la siguiente tabla:

El protocolo de dividir y elegir encuentra una asignación que siempre es EF. Si las funciones de valor son aditivas, entonces esta división también es PR; de lo contrario, no se garantiza la proporcionalidad.

Existe una división EF para n personas incluso cuando las valoraciones no son aditivas, siempre que puedan representarse como conjuntos de preferencias consistentes. La división EF se ha estudiado por separado para el caso en el que las piezas deben estar conectadas y para el caso más fácil en el que las piezas pueden estar desconectadas.

Para piezas conectadas los principales resultados son:

• El procedimiento de cuchillos móviles de Stromquist produce una división sin envidia para 3 personas, dándoles a cada una un cuchillo y dándoles instrucciones para que muevan sus cuchillos continuamente sobre el pastel de una manera preestablecida.
• El protocolo de Simmons puede producir una aproximación de una división sin envidia para n personas con una precisión arbitraria. Si las funciones de valor son aditivas, la división también será proporcional. De lo contrario, la división seguirá siendo sin envidia, pero no necesariamente proporcional. El algoritmo ofrece una forma rápida y práctica de resolver algunos problemas de división justa. ^{[5] [6]}

Ambos algoritmos son infinitos: el primero es continuo y el segundo puede tardar un tiempo infinito en converger. De hecho, no es posible encontrar divisiones sin envidia de intervalos conexos entre 3 o más personas mediante ningún protocolo finito.

Para las piezas posiblemente desconectadas los resultados principales son:

• El procedimiento discreto de Selfridge-Conway produce una división sin envidia para 3 personas utilizando como máximo 5 cortes.
• El procedimiento de cuchillas móviles Brams–Taylor–Zwicker produce una división sin envidia para 4 personas utilizando como máximo 11 cortes.
• Una variante reentrante del protocolo Last Diminisher encuentra una aproximación aditiva a una división sin envidia en un tiempo acotado. Específicamente, para cada constante , devuelve una división en la que el valor de cada socio es al menos el valor más grande menos , en el tiempo . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle O(n^{2}/\epsilon )}$
• Tres procedimientos diferentes, uno de Brams y Taylor (1995) , otro de Robertson y Webb (1998) y otro de Pikhurko (2000), producen una división sin envidia para n personas. Ambos algoritmos requieren un número finito pero ilimitado de cortes.
• Un procedimiento de Aziz y Mackenzie (2016) ^[7] encuentra una división libre de envidia para n personas en un número limitado de consultas.

El resultado negativo en el caso general es mucho más débil que en el caso conectado. Todo lo que sabemos es que todo algoritmo para la división sin envidia debe utilizar al menos Ω( n ² ) consultas. Existe una gran brecha entre este resultado y la complejidad en tiempo de ejecución del procedimiento más conocido.

Consulte el corte de pastel sin envidia para obtener más detalles y referencias completas.

Otros criterios

Un tercer criterio menos común es la equidad (EQ). En una división equitativa , cada persona disfruta exactamente del mismo valor. En el ejemplo de la torta, una división equitativa se puede lograr dando a cada persona la mitad del chocolate y la mitad de la vainilla, de modo que cada persona disfrute de un valor de 5. En símbolos:

${\displaystyle \forall i,j:\ V_{i}(X_{i})=V_{j}(X_{j})}$

Un cuarto criterio es la exactitud . Si el derecho de cada socio i es w _i , entonces una división exacta es una división en la que:

${\displaystyle \forall {i,j}:\ V_{i}(X_{j})=w_{j}}$

Si los pesos son todos iguales (a 1/ n ) entonces la división se llama perfecta y:

${\displaystyle \forall i,j:\ V_{i}(X_{j})=1/n}$

Requisitos geométricos

En algunos casos, las piezas asignadas a los socios deben satisfacer algunas restricciones geométricas, además de ser justas.

• La restricción más común es la de la conectividad . En el caso de que la "torta" sea un intervalo unidimensional, esto se traduce en el requisito de que cada trozo sea también un intervalo. En el caso de que la torta sea un círculo unidimensional ("tarta"), esto se traduce en el requisito de que cada trozo sea un arco; véase corte de tarta justo .
• Otra restricción es la adyacencia . Esta restricción se aplica al caso en que la "torta" es un territorio en disputa que debe ser dividido entre países vecinos. En este caso, puede requerirse que la porción asignada a cada país sea adyacente a su territorio actual; esta restricción se maneja mediante el problema de división de tierras de Hill .
• En la división de tierras a menudo hay restricciones geométricas bidimensionales, por ejemplo, cada pieza debe ser un cuadrado o (de manera más general) un objeto grueso . ^[8]

Requisitos de procedimiento

Además de las propiedades deseadas de las particiones finales, también existen propiedades deseadas del proceso de división. Una de estas propiedades es la veracidad (también conocida como compatibilidad de incentivos ), que se presenta en dos niveles.

• La veracidad débil significa que si el socio revela su verdadera medida de valor al algoritmo, se le garantiza que recibirá su parte justa (por ejemplo, 1/ n del valor de todo el pastel, en caso de división proporcional), independientemente de lo que hagan los demás socios. Incluso si todos los demás socios forman una coalición con la única intención de hacerle daño, seguirá recibiendo su parte garantizada. La mayoría de los algoritmos de división del pastel son veraces en este sentido. ^[1]
• Una veracidad absoluta significa que ninguna de las partes puede obtener beneficios mintiendo. Es decir, decir la verdad es una estrategia dominante . La mayoría de los protocolos de corte de pastel no son totalmente veraces, pero se han desarrollado algunos protocolos veraces; consulte corte de pastel veraz .

Otra propiedad es la simetría : no debe haber diferencia entre los distintos roles en el procedimiento. Se han estudiado varias variantes de esta propiedad:

• El anonimato exige que, si se permutan los agentes y se vuelve a ejecutar el procedimiento, cada agente reciba exactamente la misma parte que en la ejecución original. Esta es una condición estricta; actualmente, un procedimiento anónimo solo es conocido por dos agentes.
• La simetría requiere que, si se permutan los agentes y se vuelve a ejecutar el procedimiento, cada agente reciba el mismo valor que en la ejecución original. Esto es más débil que el anonimato; actualmente, se conoce un procedimiento simétrico y proporcional para cualquier número de agentes, y requiere O( n ³ ) consultas. Se conoce un procedimiento simétrico y libre de envidia para cualquier número de agentes, pero requiere mucho más tiempo: requiere n ! ejecuciones de un procedimiento libre de envidia existente.
• La aristotelidad exige que, si dos agentes tienen una medida de valor idéntica, entonces reciben el mismo valor. Esto es más débil que la simetría; se satisface con cualquier procedimiento libre de envidia. Además, se conoce un procedimiento aristotélico y proporcional para cualquier número de agentes, y acepta O( n ³ ) consultas.

Consulte el corte de pastel de feria simétrico para obtener detalles y referencias.

Una tercera familia de requisitos procedimentales es la monotonía : cuando se vuelve a aplicar un procedimiento de división con una torta más pequeña/más grande y un conjunto más pequeño/más grande de agentes, la utilidad de todos los agentes debería cambiar en la misma dirección. Consulte el recurso monotonía para obtener más detalles.

Requisitos de eficiencia

Además de la justicia, también es común considerar la eficiencia económica de la división; véase corte eficiente de la torta . Existen varios niveles de eficiencia:

• La noción más débil es la eficiencia de Pareto . Se puede satisfacer fácilmente simplemente dando todo el pastel a una sola persona; el desafío es satisfacerla junto con la equidad. Véase División eficiente sin envidia .
• Una noción más fuerte es la de maximalidad utilitarista: maximizar la suma de utilidades (UM). Cuando las funciones de valor son aditivas, existen divisiones UM. Intuitivamente, para crear una división UM, deberíamos dar cada trozo de pastel a la persona que más lo valore. En el pastel del ejemplo, una división UM daría todo el chocolate a Alice y toda la vainilla a George, logrando un valor utilitario de 9 + 4 = 13. Este proceso es fácil de llevar a cabo cuando las funciones de valor son constantes por partes, es decir, el pastel se puede dividir en pedazos de manera que la densidad de valor de cada pedazo sea constante para todas las personas. Cuando las funciones de valor no son constantes por partes, la existencia de asignaciones UM se desprende de los teoremas clásicos de la teoría de la medida. Véase Corte de pastel utilitario .

División justa y eficiente

Para n personas con funciones de valor aditivo, siempre existe una división PEEF. Este es el teorema de Weller . ^[9]

Si la torta es un intervalo unidimensional y cada persona debe recibir un intervalo conexo, se cumple el siguiente resultado general: si las funciones de valor son estrictamente monótonas (es decir, cada persona prefiere estrictamente un trozo sobre todos sus subconjuntos propios), entonces cada división EF también es PE. ^[10] Por lo tanto, el protocolo de Simmons produce una división PEEF en este caso.

Si el pastel es un círculo unidimensional (es decir, un intervalo cuyos dos extremos están identificados topológicamente) y cada persona debe recibir un arco conexo, entonces el resultado anterior no se cumple: una división EF no es necesariamente PE. Además, hay pares de funciones de valor (no aditivas) para las que no existe una división PEEF. Sin embargo, si hay 2 agentes y al menos uno de ellos tiene una función de valor aditiva, entonces existe una división PEEF. ^[11]

Si la torta es unidimensional pero cada persona puede recibir un subconjunto desconectado de ella, entonces una división EF no es necesariamente PE. En este caso, se requieren algoritmos más complicados para encontrar una división PEEF.

Si las funciones de valor son aditivas y constantes por partes, entonces hay un algoritmo que encuentra una división PEEF. ^[12] Si las funciones de densidad de valor son aditivas y Lipschitz continuas , entonces pueden aproximarse como funciones constantes por partes "tan cerca como queramos", por lo tanto ese algoritmo aproxima una división PEEF "tan cerca como queramos". ^[12]

Una división EF no es necesariamente UM. ^{[13] [14]} Una forma de resolver esta dificultad es encontrar, entre todas las posibles divisiones EF, la división EF con el valor utilitario más alto. Este problema se ha estudiado para una torta que es un intervalo unidimensional, cada persona puede recibir porciones desconectadas y las funciones de valor son aditivas. ^[15]

Modelos de computación

Para razonar sobre la complejidad de ejecución de los algoritmos se necesita un modelo de cálculo . En la literatura existen varios modelos de este tipo:

• El modelo de consulta de Robertson-Webb , en el que el algoritmo puede realizar a cada agente una consulta de uno de dos tipos: "evaluar un trozo de pastel determinado" o "marcar un trozo de pastel con un valor determinado".
• El modelo de cuchillos móviles : en el que el algoritmo mueve continuamente uno o más cuchillos sobre el pastel hasta que algunos agentes gritan "para".
• El modelo de revelación directa: en el que todos los agentes revelan su valoración completa al mecanismo. Este modelo solo tiene sentido cuando las valoraciones se pueden representar de forma sucinta, por ejemplo, cuando son uniformes por partes, constantes por partes o lineales por partes .
• El modelo de informes simultáneos: en el que los agentes envían simultáneamente discretizaciones de sus medidas de valor. Una discretización es una secuencia de puntos de corte y los valores de las partes entre estos puntos de corte (por ejemplo: un protocolo para dos agentes podría requerir que cada agente informe una secuencia de tres puntos de corte (0, x ,1) donde los valores de (0, x ) y ( x ,1) son 1/2). ^[16]

Dividir varios pasteles

Existe una generalización del problema del corte de la torta en la que hay varias tortas y cada agente necesita obtener un pedazo de cada torta.

• Cloutier, Nyman y Su ^[17] estudian una división de múltiples tortas sin envidia entre dos jugadores. Para dos tortas, demuestran que una asignación de FE puede no existir cuando hay 2 agentes y cada torta se corta en 2 pedazos. Sin embargo, existe una asignación de FE cuando hay 2 agentes y una torta se corta en 3 pedazos (se descarta el pedazo menos deseado), o cuando hay 3 agentes y cada torta se corta en 2 pedazos (se ignora un agente; la asignación es de FE para los dos restantes).
• Lebert, Meunier y Carbonneaux ^[18] demuestran, para dos pasteles, que siempre existe una asignación de FE cuando hay 3 agentes y cada pastel se corta en 5 trozos (se descartan los dos trozos menos deseados de cada pastel).
• Nyman, Su y Zerbib ^[19] prueban, para k pasteles, que siempre existe una asignación EF cuando hay k ( n -1)+1 agentes y cada pastel se corta en n pedazos (la asignación es EF para algún conjunto de n agentes).

Dos problemas relacionados son:

• Corte de pastel en varias capas, ^[20] donde los pasteles se disponen en "capas" y las piezas del mismo agente no deben superponerse (por ejemplo, cada pastel representa el tiempo en el que una determinada instalación está disponible durante el día; un agente no puede utilizar dos instalaciones simultáneamente).
• Corte justo de múltiples tartas, ^[21] donde los agentes no quieren obtener un pedazo de cada tarta, por el contrario, quieren obtener pedazos de la menor cantidad posible de tartas.

Compartir pastel

Bei, Lu y Suksompong ^[22] presentan un modelo en el que, en lugar de dividir un trozo individual de la tarta entre cada agente, los agentes deberían elegir juntos un trozo de la tarta que compartirán todos. Esto puede verse como una variante de la elección del comité , donde los candidatos son divisibles. Hay un continuo de candidatos, representado por un intervalo real [0, c ], y el objetivo es seleccionar un subconjunto de este intervalo, con una longitud total de como máximo k , donde k y c pueden ser cualquier número real con 0 < k < c . Generalizan la noción de representación justificada a este entorno. Lu, Peters, Aziz, Bei y Suksompong ^[23] extienden estas definiciones a entornos con candidatos mixtos divisibles e indivisibles (véase representación justificada ).

Véase también

• Asignación justa de elementos : un problema similar en el que los elementos a dividir son indivisibles

Referencias

1. Steinhaus, Hugo (1949). "El problema de la división justa". Econométrica . 17 : 315–9. doi :10.2307/1907319. JSTOR  1907319.
2. Ariel Procaccia, "Algoritmos de corte de torta". Capítulo 13 en: Brandt, Felix; Conitzer, Vincent; Endriss, Ulle; Lang, Jérôme; Procaccia, Ariel D. (2016). Manual de elección social computacional. Cambridge University Press. ISBN 9781107060432.(versión gratuita en línea)
3. Hill, TP; Morrison, KE (2010). "Cortar pasteles con cuidado". The College Mathematics Journal . 41 (4): 281. CiteSeerX 10.1.1.185.656 . doi :10.4169/074683410x510272. S2CID  3813775. 
4. Dubins, Lester Eli ; Spanier, Edwin Henry (1961). "Cómo cortar un pastel de manera justa". The American Mathematical Monthly . 68 (1): 1–17. doi :10.2307/2311357. JSTOR  2311357.
5. "La calculadora de división justa". Archivado desde el original el 28 de febrero de 2010. Consultado el 10 de julio de 2014 .
6. Ivars Peterson (13 de marzo de 2000). "Un trato justo para los compañeros de casa". MathTrek . Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2012. Consultado el 10 de julio de 2014 .
7. Aziz, Haris; Mackenzie, Simon (27 de agosto de 2017). "Un protocolo de corte de torta discreto y acotado sin envidia para cualquier número de agentes". arXiv : 1604.03655 [cs.DS].
8. Segal-Halevi, Erel; Nitzan, Shmuel; Jasidim, Avinatan; Aumann, Yonatan (2017). "Justo y limpio: corte de tartas en dos dimensiones". Revista de Economía Matemática . 70 : 1–28. arXiv : 1409.4511 . doi :10.1016/j.jmateco.2017.01.007. S2CID  1278209.
9. Weller, D. (1985). "División justa de un espacio medible". Journal of Mathematical Economics . 14 : 5–17. doi :10.1016/0304-4068(85)90023-0.
10. Berliant, M.; Thomson, W.; Dunz, K. (1992). "Sobre la división justa de un producto heterogéneo". Journal of Mathematical Economics . 21 (3): 201. doi :10.1016/0304-4068(92)90001-n.
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Lectura adicional

• Una lista de libros sobre la división justa
• Una lista de artículos de investigación sobre la división justa