Monotonía de recursos

Principio matemático

La monotonía de recursos ( MR ; también conocida como monotonía agregada ) es un principio de división justa . Dice que, si hay más recursos para compartir, entonces todos los agentes deberían estar ligeramente mejor; ningún agente debería perder por el aumento de recursos. El principio de MR se ha estudiado en varios problemas de división. ^{[1] : 46–51  [2]}

Asignación de recursos divisibles

Recurso único homogéneo, utilidades generales

Supongamos que la sociedad tiene unidades de algún recurso homogéneo y divisible, como el agua o la harina. El recurso debe dividirse entre agentes con diferentes utilidades. La utilidad del agente se representa mediante una función ; cuando el agente recibe unidades del recurso, obtiene de ella una utilidad de . La sociedad tiene que decidir cómo dividir el recurso entre los agentes, es decir, encontrar un vector tal que: . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=m}$

Dos reglas clásicas de asignación son la regla igualitaria , que busca igualar las utilidades de todos los agentes (equivalentemente: maximizar la utilidad mínima), y la regla utilitaria , que busca maximizar la suma de utilidades.

La regla igualitaria siempre es RM: ^{[1] : 47} cuando hay más recursos para compartir, la utilidad mínima que se puede garantizar a todos los agentes aumenta, y todos los agentes comparten el aumento por igual. Por el contrario, la regla utilitaria podría no ser RM.

Por ejemplo, supongamos que hay dos agentes, Alice y Bob, con las siguientes utilidades:

• ${\displaystyle u_{A}(y_{A})=y_{A}^{2}}$
• ${\displaystyle u_{B}(y_{B})=y_{B}}$

La asignación igualitaria se obtiene resolviendo la ecuación: , que es equivalente a , por lo que aumenta monótonamente con . Una ecuación equivalente es: , que es equivalente a , por lo que también aumenta monótonamente con . Por lo tanto, en este ejemplo (como siempre) la regla igualitaria es RM. ${\displaystyle y_{A}^{2}=(m-y_{A})}$ ${\displaystyle m=y_{A}^{2}+y_{A}}$ ${\displaystyle y_{A}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y_{B}=(m-y_{B})^{2}}$ ${\displaystyle m={\sqrt {y_{B}}}+y_{B}}$ ${\displaystyle y_{B}}$ ${\displaystyle m}$

En cambio, la regla utilitaria no es RM. Esto se debe a que Alice tiene rendimientos crecientes : su utilidad marginal es pequeña cuando tiene pocos recursos, pero aumenta rápidamente cuando tiene muchos recursos. Por lo tanto, cuando la cantidad total de recursos es pequeña (en concreto, ), la suma utilitaria se maximiza cuando todos los recursos se dan a Bob; pero cuando hay muchos recursos ( ), el máximo se alcanza cuando todos los recursos se dan a Alice. Matemáticamente, si es la cantidad dada a Alice, entonces la suma utilitaria es . Esta función solo tiene un punto mínimo interno, pero no un punto máximo interno; su punto máximo en el rango se alcanza en uno de los puntos finales. Es el punto final izquierdo cuando y el punto final derecho cuando . En general, la regla de asignación utilitaria es RM cuando todos los agentes tienen rendimientos decrecientes , pero puede no ser RM cuando algunos agentes tienen rendimientos crecientes (como en el ejemplo). ^{[1] : 46–47} ${\displaystyle m<1}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}+(m-y)}$ ${\displaystyle [0,m]}$ ${\displaystyle m<1}$ ${\displaystyle m>1}$

Por lo tanto, si la sociedad utiliza la regla utilitaria para asignar recursos, Bob pierde valor cuando la cantidad de recursos aumenta. Esto es malo porque le da a Bob un incentivo contra el crecimiento económico: Bob intentará mantener pequeña la cantidad total para mantener grande su propia porción.

Dos recursos complementarios, las utilidades de Leontief

Consideremos un servidor en la nube con algunas unidades de RAM y CPU. Hay dos usuarios con distintos tipos de tareas:

• Las tareas de Alice necesitan 1 unidad de RAM y 2 unidades de CPU;
• Las tareas de Bob necesitan 2 unidades de RAM y 1 unidad de CPU.

Por lo tanto, las funciones de utilidad (=número de tareas), que denotan RAM por r y CPU por c, son utilidades de Leontief :

• ${\displaystyle u_{A}(r,c)=\min(r,c/2)}$
• ${\displaystyle u_{B}(r,c)=\min(r/2,c)}$

Si el servidor tiene 12 RAM y 12 CPU, entonces tanto la asignación utilitaria como la igualitaria (y también la asignación óptima de Nash, de máximo producto) son:

• ${\displaystyle r_{A}=4,c_{A}=8\implies u_{A}=4}$
• ${\displaystyle r_{B}=8,c_{B}=4\implies u_{B}=4}$

Ahora, supongamos que hay 12 unidades más de CPU disponibles. La asignación igualitaria no cambia, pero la asignación utilitaria ahora otorga todos los recursos a Alice:

• ${\displaystyle r_{A}=12,c_{A}=24\implies u_{A}=12}$
• ${\displaystyle r_{B}=0,c_{B}=0\implies u_{B}=0}$

Entonces Bob pierde valor por el aumento de recursos.

La asignación óptima de Nash (máximo producto) se convierte en:

• ${\displaystyle r_{A}=6,c_{A}=12\implies u_{A}=6}$
• ${\displaystyle r_{B}=6,c_{B}=3\implies u_{B}=3}$

Así que Bob también pierde valor aquí, pero la pérdida es menos severa. ^{[1] : 83–84}

Corte de pastel, utilidades aditivas

En el problema de repartir la torta de manera justa , las reglas clásicas de asignación, como dividir y elegir, no son reglas de asignación. Se sabe que varias reglas sí lo son:

• Cuando las piezas pueden desconectarse , cualquier regla de asignación que maximice una función de bienestar cóncava de las utilidades absolutas (no normalizadas) es RM. En particular, la regla óptima de Nash, la regla absoluta- leximin y la regla absoluta- utilitaria son todas RM. Sin embargo, si la maximización utiliza las utilidades relativas (utilidades divididas por el valor total de la torta), entonces la mayoría de estas reglas no son RM; la única que sigue siendo RM es la regla óptima de Nash. ^[3]
• Cuando las piezas deben estar conectadas , ninguna regla de división proporcional óptima de Pareto es RM. La regla de equidad absoluta es débilmente óptima de Pareto y RM, pero no proporcional. La regla de equidad relativa es débilmente óptima de Pareto y proporcional, pero no RM. La llamada regla de la marca más a la derecha , que es una variante de divide y elige , es proporcional, débilmente óptima de Pareto y RM, pero funciona solo para dos agentes. Es una pregunta abierta si existen procedimientos de división que sean a la vez proporcionales y RM para tres o más agentes. ^[4]

Preferencias de un solo pico

Se estudió la monotonía de los recursos en problemas de división justa con preferencias de un solo pico . ^{[5] [6]}

Asignación de elementos discretos

Artículos idénticos, utilidades generales

La regla igualitaria (maximizar el vector leximin de utilidades) podría no ser RM cuando el recurso a dividir consiste en varias unidades indivisibles (discretas).

Por ejemplo, ^{[1] : 82} supongamos que hay raquetas de tenis. Alice obtiene una utilidad de 1 siempre que tiene una raqueta, ya que le gusta jugar contra la pared. Pero Bob y Carl obtienen una utilidad de 1 solo cuando tienen dos raquetas, ya que solo disfrutan jugando entre ellos o contra Alice. Por lo tanto, si solo hay una raqueta, la regla igualitaria se la da enteramente a Alice. Pero si hay dos raquetas, se dividen equitativamente entre los agentes (cada agente obtiene una raqueta durante 2/3 del tiempo). Por lo tanto, Alice pierde utilidad cuando aumenta la cantidad total de raquetas. Alice tiene un incentivo para oponerse al crecimiento. ${\displaystyle m}$

Diferentes artículos, utilidades aditivas

En el problema de asignación justa de ítems , los procedimientos de asignación clásicos, como el ganador ajustado y el gráfico de envidia, no son RM. Además, incluso la regla óptima de Nash, que es RM en el corte de torta, no es RM en la asignación de ítems. En cambio, la asignación de ítems por turnos sí lo es. Además, el turno por turnos se puede adaptar para generar secuencias de selección adecuadas para agentes con diferentes derechos; todas estas secuencias de selección también son RM. ^[7]

Artículos idénticos, utilidades aditivas

El caso especial en el que todos los elementos son idénticos y la utilidad de cada agente es simplemente la cantidad de elementos que recibe se conoce como prorrateo . Se originó a partir de la tarea de asignar escaños en un parlamento entre estados o entre partidos. Por lo tanto, a menudo se lo llama monotonía de la casa .

Ubicación de la instalación

La ubicación de las instalaciones es una cuestión de elección social que se refiere a dónde se debe ubicar una determinada instalación. Consideremos la siguiente red de carreteras, donde las letras indican los cruces y los números las distancias:

A ---6--- B --5-- C --5-- D ---6--- E

La población se distribuye uniformemente a lo largo de las carreteras. La gente quiere estar lo más cerca posible de las instalaciones, por lo que tienen una "desutilidad" (utilidad negativa) medida por su distancia a las instalaciones.

En la situación inicial, la regla igualitaria ubica la instalación en C, ya que minimiza la distancia máxima a la instalación, que es 11 (las reglas utilitaria y de Nash también ubican la instalación en C).

Ahora, hay un nuevo cruce X y algunos caminos nuevos (los caminos anteriores no cambian):

B --3-- X --3-- D

..........|.........

..........4.........

..........|.........

.......... C .........

La regla igualitaria ahora ubica la instalación en X, ya que permite disminuir la distancia máxima de 11 a 9 (las reglas utilitarias y de Nash también ubican la instalación en X).

El aumento de los recursos ayudó a la mayoría de las personas, pero disminuyó la utilidad de quienes vivían en C. o cerca de allí. ^{[1] : 84–85}

Negociación

Un axioma de monotonía estrechamente relacionado con la monotonía de los recursos apareció por primera vez en el contexto del problema de negociación . Un problema de negociación se define por un conjunto de alternativas; una solución de negociación debe seleccionar una única alternativa del conjunto, sujeta a algunos axiomas. El axioma de monotonía de los recursos se presentó en dos variantes:

1. "Si, por cada nivel de utilidad que el jugador 1 puede exigir, se incrementa el nivel máximo de utilidad factible que el jugador 2 puede alcanzar simultáneamente, entonces el nivel de utilidad asignado al jugador 2 según la solución también debería incrementarse". Este axioma conduce a una caracterización de la solución de negociación de Kalai-Smorodinsky .
2. "Sean T y S juegos de negociación; si T contiene S, entonces, para todos los agentes, la utilidad en T es ligeramente mayor que la utilidad en S". En otras palabras, si el conjunto de alternativas crece, la solución seleccionada debería ser al menos tan buena para todos los agentes como la solución anterior. Este axioma, además de la optimalidad y simetría de Pareto y la independencia de alternativas irrelevantes , conduce a una caracterización de la solución de negociación igualitaria. ^[8]

Véase también

• Desechar la paradoja

^{[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]}

Referencias

1. Herve Moulin (2004). División justa y bienestar colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.
2. Thomson, William (2011). Reglas de asignación justa . Manual de elección social y bienestar. Vol. 2. págs. 393–506. doi :10.1016/s0169-7218(10)00021-3. ISBN 9780444508942.
3. Segal-Halevi, Erel; Sziklai, Balázs R. (1 de septiembre de 2019). "Monotonicidad y equilibrio competitivo en el corte de tartas". Teoría Económica . 68 (2): 363–401. arXiv : 1510.05229 . doi :10.1007/s00199-018-1128-6. ISSN  1432-0479. S2CID  179618.
4. Segal-Halevi, Erel; Sziklai, Balázs R. (1 de septiembre de 2018). "Monotonicidad de recursos y monotonicidad de población en el corte de pasteles conectado". Ciencias Sociales Matemáticas . 95 : 19–30. arXiv : 1703.08928 . doi :10.1016/j.mathsocsci.2018.07.001. ISSN  0165-4896. S2CID  16282641.
5. Thomson, William (1994). "Soluciones monotónicas de recursos al problema de la división justa cuando las preferencias son de un solo pico". Social Choice and Welfare . 11 (3). doi :10.1007/bf00193807. S2CID  122306487.
6. Thomson, William (1997). "El principio de reemplazo en economías con preferencias de un solo pico". Journal of Economic Theory . 76 : 145–168. doi : 10.1006/jeth.1997.2294 .
7. Chakraborty, Mithun; Schmidt-Kraepelin, Ulrike; Suksompong, Warut (29 de abril de 2021). "Selección de secuencias y monotonía en la división justa ponderada". Inteligencia artificial . 301 : 103578. arXiv : 2104.14347 . doi :10.1016/j.artint.2021.103578. S2CID  233443832.
8. Kalai, Ehud (1977). "Soluciones proporcionales a situaciones de negociación: Comparaciones de utilidad intertemporal" (PDF) . Econometrica . 45 (7): 1623–1630. doi :10.2307/1913954. JSTOR  1913954.
9. Mantel, Rolf R. (1984). "Sustituibilidad y efectos sobre el bienestar de los aumentos de la dotación". Journal of International Economics . 17 (3–4): 325–334. doi :10.1016/0022-1996(84)90027-8.
10. Moulin, Hervé (1992). "Límites de bienestar en el problema de la producción cooperativa". Juegos y comportamiento económico . 4 (3): 373–401. doi :10.1016/0899-8256(92)90045-t.
11. Polterovich, VM; Spivak, VA (1983). "Sustituibilidad bruta de correspondencias punto-conjunto". Revista de Economía Matemática . 11 (2): 117. doi :10.1016/0304-4068(83)90032-0.
12. Sobel, Joel (1979). "Asignaciones justas de un recurso renovable". Revista de teoría económica . 21 (2): 235–248. CiteSeerX 10.1.1.394.9698 . doi :10.1016/0022-0531(79)90029-2. 
13. Moulin, Hervé; Thomson, William (1988). "¿Todo el mundo puede beneficiarse del crecimiento?". Journal of Mathematical Economics . 17 (4): 339. doi :10.1016/0304-4068(88)90016-x.
14. Moulin, Herve (1992). "Una aplicación del valor de Shapley a la división justa con dinero". Econometrica . 60 (6): 1331–1349. doi :10.2307/2951524. JSTOR  2951524.
15. Moulin, H. (1990). "División justa en régimen de propiedad conjunta: resultados recientes y problemas pendientes". Elección social y bienestar . 7 (2): 149–170. doi :10.1007/bf01560582. S2CID  154300207.
16. Moulin, Hervé (1991). "Los límites del bienestar en el problema de la división justa". Journal of Economic Theory . 54 (2): 321–337. doi :10.1016/0022-0531(91)90125-n.