Punto ideal

Punto al infinito en geometría hiperbólica

Tres triángulos ideales en el modelo de disco de Poincaré ; los vértices son puntos ideales

En geometría hiperbólica , un punto ideal , punto omega ^[1] o punto en el infinito es un punto bien definido fuera del plano o espacio hiperbólico. Dada una recta l y un punto P que no está en l , los paralelos limitantes derecho e izquierdo de l a través de P convergen a l en puntos ideales .

A diferencia del caso proyectivo, los puntos ideales forman un límite , no una subvariedad. Entonces, estas líneas no se cruzan en un punto ideal y dichos puntos, aunque están bien definidos, no pertenecen al espacio hiperbólico en sí.

Los puntos ideales juntos forman el absoluto de Cayley o límite de una geometría hiperbólica . Por ejemplo, el círculo unitario forma el absoluto de Cayley del modelo de disco de Poincaré y del modelo de disco de Klein . La línea real forma el absoluto de Cayley del modelo de semiplano de Poincaré . ^[2]

El axioma de Pasch y el teorema del ángulo exterior siguen siendo válidos para un triángulo omega, definido por dos puntos en el espacio hiperbólico y un punto omega. ^[3]

Propiedades

• La distancia hiperbólica entre un punto ideal y cualquier otro punto o punto ideal es infinita.
• Los centros de horociclos y horoballs son puntos ideales; Dos horociclos son concéntricos cuando tienen el mismo centro.

Polígonos con vértices ideales

Triangulos ideales

Si todos los vértices de un triángulo son puntos ideales, el triángulo es un triángulo ideal .

Algunas propiedades de los triángulos ideales incluyen:

• Todos los triángulos ideales son congruentes.
• Los ángulos interiores de un triángulo ideal son todos cero.
• Cualquier triángulo ideal tiene un perímetro infinito.
• Cualquier triángulo ideal tiene un área donde K es la curvatura (siempre negativa) del plano. ^[4] ${\displaystyle -\pi /K}$

Cuadriláteros ideales

Si todos los vértices de un cuadrilátero son puntos ideales, el cuadrilátero es un cuadrilátero ideal.

Si bien todos los triángulos ideales son congruentes, no todos los cuadriláteros lo son; las diagonales pueden formar diferentes ángulos entre sí dando como resultado cuadriláteros no congruentes. Dicho esto: ^{[ se necesita aclaración ]}

• Los ángulos interiores de un cuadrilátero ideal son todos cero.
• Todo cuadrilátero ideal tiene un perímetro infinito.
• Cualquier cuadrilátero ideal (convexo que no se cruza) tiene un área donde K es la curvatura (siempre negativa) del plano. ${\displaystyle -2\pi /K}$

Cuadrado ideal

El cuadrilátero ideal donde las dos diagonales son perpendiculares entre sí forman un cuadrado ideal.

Fue utilizado por Ferdinand Karl Schweikart en su memorando sobre lo que llamó "geometría astral", una de las primeras publicaciones que reconoció la posibilidad de la geometría hiperbólica . ^[5]

N -gons ideales

Un n -gon ideal se puede subdividir en ( n − 2) triángulos ideales, con área ( n − 2) multiplicada por el área de un triángulo ideal.

Representaciones en modelos de geometría hiperbólica.

En el modelo de disco de Klein y el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, los puntos ideales están en el círculo unitario (plano hiperbólico) o en la esfera unitaria (dimensiones superiores), que es el límite inalcanzable del plano hiperbólico.

Al proyectar la misma línea hiperbólica al modelo de disco de Klein y al modelo de disco de Poincaré, ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales (los puntos ideales en ambos modelos están en el mismo lugar).

Modelo de disco de Klein

Dados dos puntos distintos p y q en el disco unitario abierto, la única línea recta que los conecta corta el círculo unitario en dos puntos ideales, a y b , etiquetados de modo que los puntos sean, en orden, a , p , q , b de modo que |aq| > |ap| y |pb| > |qb|. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q se expresa como

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Modelo de disco de Poincaré

Dados dos puntos distintos p y q en el disco unitario abierto, entonces el arco de círculo único ortogonal al límite que los conecta interseca el círculo unitario en dos puntos ideales, a y b , etiquetados de modo que los puntos sean, en orden, a , p , q , b de modo que |aq| > |ap| y |pb| > |qb|. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q se expresa como

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Donde las distancias se miden a lo largo de los segmentos (recta) aq, ap, pb y qb.

Modelo de semiplano de Poincaré

En el modelo de semiplano de Poincaré, los puntos ideales son los puntos sobre el eje límite. También hay otro punto ideal que no está representado en el modelo de semiplano (pero los rayos paralelos al eje y positivo se aproximan a él).

modelo hiperboloide

En el modelo hiperboloide no existen puntos ideales.

Ver también

• triangulo ideal
• Poliedro ideal
• Puntos al infinito para usos en otras geometrías.

Referencias

1. Sibley, Thomas Q. (1998). El punto de vista geométrico: un estudio de las geometrías. Lectura, Massachusetts: Addison-Wesley. pag. 109.ISBN​ 0-201-87450-4.
2. Struve, Horst; Struve, Rolf (2010), "Geometrías no euclidianas: el enfoque de Cayley-Klein", Journal of Geometry , 89 (1): 151–170, doi :10.1007/s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, Señor  2739193
3. Hvidsten, Michael (2005). Geometría con Geometry Explorer . Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill. págs. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.
4. Thurston, Dylan (otoño de 2012). "274 curvas en superficies, lección 5" (PDF) . Consultado el 23 de julio de 2013 .
5. Bonola, Roberto (1955). Geometría no euclidiana: un estudio crítico e histórico de su desarrollo (republica íntegra y sin modificaciones de la 1. traducción al inglés 1912. ed.). Nueva York, Nueva York: Dover. págs. 75–77. ISBN 0486600270.