Juego de caos

Método de creación de un fractal, utilizando un polígono y un punto inicial seleccionado al azar dentro de él

Creación animada de un triángulo de Sierpinski utilizando un método de juego de caos

El funcionamiento del "juego del caos" queda bien ilustrado cuando se tienen en cuenta todos los caminos.

En matemáticas , el término juego de caos se refería originalmente a un método de creación de un fractal , utilizando un polígono y un punto inicial seleccionado al azar dentro de él. ^{[1] [2]} El fractal se crea creando iterativamente una secuencia de puntos, comenzando con el punto aleatorio inicial, en el que cada punto de la secuencia es una fracción dada de la distancia entre el punto anterior y uno de los vértices del polígono; el vértice se elige al azar en cada iteración. Repetir este proceso iterativo una gran cantidad de veces, seleccionando el vértice al azar en cada iteración y descartando los primeros puntos de la secuencia, a menudo (pero no siempre) producirá una forma fractal. El uso de un triángulo regular y el factor 1/2 dará como resultado el triángulo de Sierpinski , mientras que la creación de la disposición adecuada con cuatro puntos y un factor 1/2 creará una visualización de un "tetraedro de Sierpinski", el análogo tridimensional del triángulo de Sierpinski. A medida que el número de puntos aumenta a un número N, la disposición forma un Simplex de Sierpinski de dimensión (N-1) correspondiente .

El término se ha generalizado para referirse a un método de generación del atractor , o punto fijo , de cualquier sistema de funciones iteradas (SFI). Comenzando con cualquier punto x ₀ , se forman iteraciones sucesivas como x _k+1 = f _r (x _k ), donde f _r es un miembro del SFI dado seleccionado aleatoriamente para cada iteración. Las iteraciones convergen al punto fijo del SFI. Siempre que x ₀ pertenece al atractor del SFI, todas las iteraciones x _k permanecen dentro del atractor y, con probabilidad 1, forman un conjunto denso en este último.

El método del "juego del caos" traza puntos en orden aleatorio por todo el atractor. Esto contrasta con otros métodos de dibujar fractales, que prueban cada píxel de la pantalla para ver si pertenece al fractal. La forma general de un fractal se puede trazar rápidamente con el método del "juego del caos", pero puede resultar difícil trazar algunas áreas del fractal en detalle.

Con la ayuda del "juego del caos" se puede crear un nuevo fractal y, al mismo tiempo, obtener algunos parámetros. Estos parámetros son útiles para aplicaciones de la teoría fractal, como la clasificación y la identificación. ^{[3] [4]} El nuevo fractal es autosimilar al original en algunas características importantes, como la dimensión fractal.

Valor óptimo de r para cada polígono regular

Valor óptimo de r para cada polígono regular de N lados, con N entre 5 y 20.

En cada iteración del juego de caos, el punto x _k+1 se puede colocar en cualquier lugar a lo largo de la línea que conecta el punto x _k y el vértice de elección, v. Definiendo r como la relación entre las dos distancias d(x _k ,x _k+1 ) y d(x _k ,v), es posible encontrar el valor óptimo de r, es decir, r _opt , para cada polígono regular de N lados, que produce un fractal con empaquetamiento óptimo, es decir, los polígonos de subescala están en contacto pero no se superponen.

El valor de r _opt se puede calcular como la relación entre la longitud del lado del primer polígono de subescala y el lado del polígono original. Esta relación se puede calcular geométricamente: ^[5]

${\displaystyle r_{opt}={\frac {(1+2a)}{(2+2a)}}}$

En el que a se calcula como:

${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{n}\cos[i(\pi -\theta )]}$

Donde θ es el ángulo interno del polígono y n es el índice del vértice más saliente, contado a partir de la base, es decir donde representa la parte entera de la fracción. ${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {N}{4}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \rfloor }$

La proporción óptima también se ha denominado proporción de besos . Abdulaziz y Said demostraron que es ^[6] ${\displaystyle r_{opt}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+\tan {\frac {\pi }{n}}}}\qquad {\text{if}}\quad n\equiv 0{\bmod {4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+2\sin {\frac {\pi }{2n}}}}\quad {\text{if}}\quad n\equiv 1,3{\bmod {4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n}}}}\qquad {\text{if}}\quad n\equiv 2{\bmod {4}}}$

Polígonos regulares empaquetados de manera óptima

• 
  Pentágono (r=0,618)
• 
  Hexágono (r=0,667)
• 
  Heptágono (r=0,692)
• 
  Octágono (r=0,707)
• 
  Nonágono (r=0,742)
• 
  Decágono (r=0,764)

Expansión del juego del caos para valores de r mayores que 1

Si bien un fractal empaquetado óptimamente aparece solo para un valor definido de r, es decir, r _opt , es posible jugar al juego del caos también usando otros valores. Si r>1 (el punto x _k+1 salta a una distancia mayor que la distancia entre el punto x _k y el vértice v), la figura generada se extiende fuera del polígono inicial. ^[5] Cuando r=2, el algoritmo entra en un estado metaestable y genera figuras cuasi-simétricas. Para valores de r>2, los puntos se colocan cada vez más lejos del centro del polígono inicial en cada iteración, el algoritmo se vuelve inestable y no se genera ninguna figura.

Juego de caos jugado en un heptágono con diferentes valores de r>1 (10^5 iteraciones)

• 
  r=1,4
• 
  r=1,6
• 
  r=2
• 
  r=2,1

Juego de caos restringido

Un punto dentro de un cuadrado salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar. No aparece ningún fractal.

Si el juego del caos se ejecuta con un cuadrado, no aparece ningún fractal y el interior del cuadrado se llena de puntos de manera uniforme. Sin embargo, si se imponen restricciones a la elección de vértices, aparecerán fractales en el cuadrado. Por ejemplo, si el vértice actual no se puede elegir en la siguiente iteración, aparecerá este fractal:

Un punto dentro de un cuadrado salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar, pero el vértice elegido actualmente no puede ser el mismo que el vértice elegido anteriormente.

Si el vértice actual no puede estar a una posición de distancia (en sentido antihorario) del vértice elegido anteriormente, aparece este fractal:

Un punto dentro de un cuadrado salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar, pero el vértice elegido actualmente no puede estar a 1 lugar de distancia (en sentido antihorario) del vértice elegido anteriormente.

Si se evita que el punto caiga en una región particular del cuadrado, la forma de esa región se reproducirá como un fractal en otras partes aparentemente sin restricciones del cuadrado.

Otras restricciones crean más fractales:

• 
  Un punto dentro de un cuadrado salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar, pero el vértice elegido actualmente no puede estar a 2 lugares del vértice elegido anteriormente.
• 
  Un punto dentro de un cuadrado salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar, pero el vértice elegido actualmente no puede ser vecino del vértice elegido previamente si los dos vértices elegidos previamente son iguales.
• 
  Un punto dentro de un pentágono salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar, pero el vértice elegido actualmente no puede ser el mismo que el vértice elegido anteriormente.
• 
  Un punto dentro de un pentágono salta repetidamente la mitad de la distancia hacia un vértice elegido al azar, pero el vértice elegido actualmente no puede ser vecino del vértice elegido previamente si los dos vértices elegidos previamente son iguales.

Saltos distintos a 1/2

Cuando la longitud del salto hacia un vértice u otro punto no es 1/2, el juego del caos genera otros fractales, algunos de ellos muy conocidos. Por ejemplo, cuando el salto es 2/3 y el punto también puede saltar hacia el centro del cuadrado, el juego del caos genera el fractal de Vicsek :

Un fractal de Vicsek generado por el juego del caos

Cuando el salto es de 2/3 y el punto también puede saltar hacia los puntos medios de los cuatro lados, el juego de caos genera la alfombra de Sierpinski :

Una alfombra de Sierpinski generada por el juego del caos

Juego de caos utilizado para representar secuencias

Representación del juego del caos de la secuencia completa del genoma mitocondrial del homo sapiens (GenBank: EU810403.1) (r=0,5)

Representación del juego del caos de la secuencia completa del genoma mitocondrial del homo sapiens (GenBank: EU810403.1) (r=2)

Con modificaciones menores a las reglas del juego, es posible utilizar el algoritmo del juego del caos para representar cualquier secuencia bien definida , es decir, una secuencia compuesta por la repetición de un número limitado de elementos distintos. De hecho, para una secuencia con un número N de elementos distintos, es posible jugar al juego del caos en un polígono de N lados, asignando cada elemento a un vértice y jugando el juego eligiendo los vértices siguiendo la progresión de la secuencia (en lugar de elegir un vértice aleatorio). En esta versión del juego, la imagen generada es una representación única de la secuencia. Este método se aplicó a la representación de genes (N=4, r=0,5) ^{[7] [8]} y proteínas (N=20, r=0,863). ^{[5] [9]} Además, las representaciones de secuencias de proteínas se utilizaron para instruir a los modelos ML para predecir características de las proteínas. ^{[5] [10]} La expansión del juego del caos utilizando r=2 puede ser útil para magnificar pequeñas mutaciones en la comparación entre dos (o más) secuencias. ^[5]

Comparación entre las representaciones del juego del caos de diferentes secuencias del genoma: "mitocondria del homo sapiens" (GenBank: EU810403.1) en rojo y "mitocondria del pan troglodytes" (GenBank: NC_001643.1) en negro.

• 
  r=0,5
• 
  r=2

Véase también

• Teoría del caos

Enlaces externos

• Simulaciones de juegos de caos realizadas con Scratch .
• Explicación del juego del caos en beltoforion.de.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Juego del caos". MundoMatemático .
2. Barnsley, Michael F. (1993). Fractales en todas partes . doi :10.1016/C2013-0-10335-2. ISBN 978-0-12-079061-6.^{[ página necesaria ]}
3. Jampour, Mahdi; Yaghoobi, Mahdi; Ashourzadeh, Maryam; Soleimani, Adel (septiembre de 2010). "Una nueva técnica rápida para la identificación de huellas dactilares con la teoría de juegos fractales y del caos". Fractales . 18 (3): 293–300. doi :10.1142/s0218348x10005020.
4. Jampour, Mahdi; Javidi, Mohammad M.; Soleymani, Adel; Ashourzadeh, Maryam; Yaghoobi, Mahdi (2010). "Una nueva técnica para guardar huellas dactilares con bajo volumen mediante el uso de Chaos Game y la teoría fractal". Revista internacional de multimedia interactiva e inteligencia artificial . 1 (3): 27. doi : 10.9781/ijimai.2010.135 .
5. Arsiccio, Andrea; Stratta, Lorenzo; Menzen, Tim (diciembre de 2023). "Evaluación de la representación del juego del caos de proteínas para aplicaciones en modelos de aprendizaje automático: predicción de la afinidad y especificidad de anticuerpos como estudio de caso". Journal of Molecular Modeling . 29 (12): 377. doi :10.1007/s00894-023-05777-0. PMID  37968495.
6. Abdulaziz, Abdulrahman; Said, Judy (septiembre de 2021). "Sobre la relación de contracción de sistemas de funciones iteradas cuyos atractores son n-gonos de Sierpinski". Caos, solitones y fractales . 150 : 111140. Bibcode :2021CSF...15011140A. doi :10.1016/j.chaos.2021.111140.
7. Jeffrey, H. Joel (1990). "Representación de la estructura genética mediante un juego de caos". Nucleic Acids Research . 18 (8): 2163–2170. doi :10.1093/nar/18.8.2163. PMC 330698 . PMID  2336393. 
8. Jeffrey, H. Joel (enero de 1992). "Visualización de secuencias en juegos de caos". Computers & Graphics . 16 (1): 25–33. doi :10.1016/0097-8493(92)90067-6.
9. Almeida, Jonas S; Vinga, Susana (diciembre de 2009). "Secuencias biológicas como imágenes: una solución bidimensional genérica para mapas iterados". BMC Bioinformatics . 10 (1): 100. doi : 10.1186/1471-2105-10-100 . PMC 2678093 . PMID  19335894. 
10. Zhou, Qian; Qi, Saibing; Ren, Cong (marzo de 2021). "Predicción de esencialidad genética basada en la representación del juego del caos y redes neuronales de picos". Caos, solitones y fractales . 144 : 110649. Bibcode :2021CSF...14410649Z. doi :10.1016/j.chaos.2021.110649.