En matemáticas, el fractal de Vicsek , también conocido como copo de nieve de Vicsek o fractal de caja , [1] [2] es un fractal que surge de una construcción similar a la de la alfombra de Sierpiński , propuesta por Tamás Vicsek . Tiene aplicaciones que incluyen antenas compactas , particularmente en teléfonos celulares.
El fractal de caja también se refiere a varios fractales iterados creados por una cuadrícula cuadrada o rectangular con varias cajas eliminadas o ausentes y, en cada iteración, las presentes y/o las ausentes tienen la imagen anterior reducida y dibujada dentro de ellas. El triángulo de Sierpinski puede aproximarse mediante un fractal de caja de 2 × 2 con una esquina eliminada. La alfombra de Sierpinski es un fractal de caja de 3 × 3 con el cuadrado del medio eliminado.
El cuadrado básico se descompone en nueve cuadrados más pequeños en la cuadrícula de 3x3. Se dejan los cuatro cuadrados de las esquinas y el cuadrado del medio, y se eliminan los demás cuadrados. El proceso se repite de forma recursiva para cada uno de los cinco subcuadrados restantes. El fractal de Vicsek es el conjunto obtenido en el límite de este procedimiento. La dimensión de Hausdorff de este fractal es ≈ 1,46497.
Una construcción alternativa (que se muestra en la imagen de la izquierda) consiste en eliminar los cuatro cuadrados de las esquinas y dejar el cuadrado del medio y los cuadrados de arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha. Las dos construcciones producen curvas límite idénticas, pero una está rotada 45 grados con respecto a la otra.
El fractal de Vicsek tiene la sorprendente propiedad de que tiene un área cero pero un perímetro infinito , debido a su dimensión no entera. En cada iteración, se eliminan cuatro cuadrados por cada cinco que se conservan, lo que significa que en la iteración n el área es (suponiendo un cuadrado inicial de longitud de lado 1). Cuando n se acerca al infinito, el área se acerca a cero. Sin embargo, el perímetro es , porque cada lado se divide en tres partes y el central se reemplaza con tres lados, lo que produce un aumento de tres a cinco. El perímetro se acerca al infinito a medida que n aumenta.
El límite del fractal de Vicsek es la curva de Koch cuadrática tipo 1 .
Existe un análogo tridimensional del fractal de Vicsek. Se construye subdividiendo cada cubo en 27 más pequeños y eliminando todos excepto la "cruz central", el cubo central y los seis cubos que tocan el centro de cada cara. Su dimensión de Hausdorff es ≈ 1,7712.
De manera similar al fractal bidimensional de Vicsek, esta figura tiene volumen cero. Cada iteración conserva 7 cubos por cada 27, lo que da como resultado un volumen de una iteración n , que se acerca a cero a medida que n se acerca al infinito.
Existe un número infinito de secciones transversales que producen el fractal bidimensional de Vicsek.
