Ladrillo de Euler

En matemáticas , un ladrillo de Euler , llamado así por Leonhard Euler , es un cuboide rectangular cuyas aristas y diagonales de caras tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es un ladrillo de Euler cuyas longitudes de aristas son relativamente primos . Un ladrillo de Euler perfecto es uno cuya diagonal espacial también es un número entero, pero aún no se ha encontrado un ladrillo de este tipo.

Definición

La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución del siguiente sistema de ecuaciones diofánticas :

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}

donde $a, b, c$ son las aristas y $d, e, f$ son las diagonales.

Propiedades

Si $(a, b, c)$ es una solución, entonces $(ka, kb, kc)$ también es una solución para cualquier $k$ . En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas reescalaciones de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de arista $(a, b, c)$ , la tripleta $(bc, ac, ab)$ constituye también un ladrillo de Euler. ^[1]^{: p. 106}

Exactamente una arista y dos diagonales de la cara de un ladrillo de Euler primitivo son impares.

Al menos dos aristas de un ladrillo de Euler son divisibles por 3. ^[1]^{: p. 106}

Al menos dos aristas de un ladrillo de Euler son divisibles por 4. ^[1]^{: p. 106}

Al menos una arista de un ladrillo de Euler es divisible por 11. ^[1]^{: p. 106}

Ejemplos

El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene aristas $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ y diagonales de caras $(d, e, f) = (125, 244, 267)$ . ^[2] Otras soluciones primitivas pequeñas, dadas como aristas $(a, b, c)$ — diagonales de caras $(d, e, f)$ , se muestran a continuación:

Generando fórmula

Euler encontró al menos dos soluciones paramétricas al problema, pero ninguna proporciona todas las soluciones. ^[3]

Se puede generar una infinidad de ladrillos de Euler con la fórmula paramétrica de Saunderson ^[4] . Sea $($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ una terna pitagórica (es decir, $u$ $2$ $+$ $v$ $2$ $=$ $w$ $2$ ). Entonces ^[1]^{: 105} las aristas

a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw

Dar diagonales a la cara

d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).

Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como se indicó anteriormente, por ejemplo, el ladrillo de Euler con aristas $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ y diagonales de caras $(d, e, f) = (348, 365, 373)$ .

Cuboide perfecto

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existe un cuboide perfecto?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Un cuboide perfecto (también llamado ladrillo de Euler perfecto o caja perfecta ) es un ladrillo de Euler cuya diagonal espacial también tiene longitud entera. En otras palabras, se agrega la siguiente ecuación al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:

a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},

donde $g$ es la diagonal del espacio. Hasta marzo de 2020 ^[update], no se había encontrado ningún ejemplo de cuboide perfecto y nadie había demostrado que no existiera. ^[5]

Las búsquedas exhaustivas en computadoras muestran que, si existe un cuboide perfecto,

La arista impar debe ser mayor que 2,5 × 10 ¹³ , ^[6]
El borde más pequeño debe ser mayor que5 × 10 ¹¹ , ^[6] y
La diagonal espacial debe ser mayor que 9 × 10 ¹⁵ . ^[7]

Se conocen algunos hechos sobre las propiedades que debe satisfacer un cuboide perfecto primitivo , si existe, basándose en la aritmética modular : ^[8]

Una arista, dos diagonales de la cara y la diagonal del espacio deben ser impares, una arista y la diagonal de la cara restante deben ser divisibles por 4, y la arista restante debe ser divisible por 16.
Dos aristas deben tener una longitud divisible por 3 y al menos una de esas aristas debe tener una longitud divisible por 9.
Un borde debe tener una longitud divisible por 5.
Un borde debe tener una longitud divisible por 7.
Un borde debe tener una longitud divisible por 11.
Un borde debe tener una longitud divisible por 19.
Una arista o diagonal espacial debe ser divisible por 13.
Una arista, diagonal de la cara o diagonal del espacio debe ser divisible por 17.
Una arista, diagonal de la cara o diagonal del espacio debe ser divisible por 29.
Una arista, diagonal de la cara o diagonal del espacio debe ser divisible por 37.

Además:

La diagonal espacial no es ni una potencia prima ni un producto de dos primos . ^[9]^{: p. 579}
La diagonal espacial sólo puede contener divisores primos que sean congruentes con 1 módulo 4. ^[9]^{: p. 566}^[10]

Si existe un cuboide perfecto y sus aristas son — las diagonales de las caras correspondientes y la diagonal del espacio , entonces $a,b,c$ $d,e,f$ $g$

El triángulo con lados de longitudes iguales es un triángulo heroniano, un área con bisectrices de ángulos racionales. ^[11] $(d^{2},e^{2},f^{2})$ $abcg$
El triángulo agudo con lados de longitud , los triángulos obtusos con lados de longitud son triángulos heronianos, con área igual a . $(af,be,cd)$ $(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)$ ${\frac {abcg}{2}}$

Conjeturas del cuboide

Las tres conjeturas del cuboide son tres proposiciones matemáticas que afirman la irreducibilidad de tres polinomios univariados con coeficientes enteros que dependen de varios parámetros enteros. Las conjeturas están relacionadas con el problema del cuboide perfecto. ^[12]^[13] Aunque no son equivalentes al problema del cuboide perfecto, si todas estas tres conjeturas son válidas, entonces no existen cuboides perfectos. No están probadas ni refutadas.

Conjetura del cuboide 1. Para dos números enteros coprimos positivos cualesquiera , el polinomio de octavo grado $a\neq u$

es irreducible sobre el anillo de números enteros $\mathbb {Z}$ .

Conjetura del cuboide 2. Para dos números enteros coprimos positivos cualesquiera, el polinomio de décimo grado $p\neq q$

es irreducible sobre el anillo de números enteros $\mathbb {Z}$ .

Conjetura del cuboide 3. Para tres números enteros coprimos positivos cualesquiera , , tales que ninguna de las condiciones $a$ $b$ $u$

se cumplen, el polinomio de duodécimo grado

es irreducible sobre el anillo de números enteros $\mathbb {Z}$ .

Cuboides casi perfectos

Un cuboide casi perfecto tiene 6 de las 7 longitudes como racionales. Dichos cuboides se pueden clasificar en tres tipos, llamados cuboides de cuerpo , de arista y de cara . ^[14] En el caso del cuboide de cuerpo, la diagonal del cuerpo (espacio) $g$ es irracional. Para el cuboide de arista, una de las aristas $a, b, c$ es irracional. El cuboide de cara tiene una de las diagonales de cara $d, e, f$ irracional.

El cuboide de cuerpo se conoce comúnmente como cuboide de Euler en honor a Leonhard Euler, quien analizó este tipo de cuboide. ^[15] También conocía los cuboides de caras y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672). ^[16] Las tres longitudes de aristas enteras del cuboide y las tres longitudes de diagonales enteras de un cuboide de caras también se pueden interpretar como las longitudes de aristas de un tetraedro heroniano que también es un ortosquema de Schläfli . Hay infinitos cuboides de caras e infinitos ortosquemas heronianos. ^[17]

Las soluciones más pequeñas para cada tipo de cuboide casi perfecto, dadas como aristas, diagonales de las caras y la diagonal espacial $(a, b, c, d, e, f, g)$ , son las siguientes:

Cuerpo cuboide : $(44, 117, 240, 125, 244, 267, \sqrt 73225)$
Arista cuboide : $(520, 576, \sqrt 618849, 776, 943, 975, 1105)$
Cara cuboide : $(104, 153, 672, 185, 680, \sqrt 474993, 697)$

En julio de 2020 ^[update], se encontraron 167 043 cuboides con la arista entera más pequeña menor que 200 000 000 027: 61 042 son cuboides de Euler (cuerpo), 16 612 son cuboides de arista con una longitud de arista de número complejo, 32 286 eran cuboides de arista y 57 103 eran cuboides de cara. ^[18]

A diciembre de 2017 ^[update], una búsqueda exhaustiva contó todos los cuboides de aristas y caras con la diagonal de espacio entero más pequeña menor que 1.125.899.906.842.624: 194.652 eran cuboides de aristas, 350.778 eran cuboides de caras. ^[7]

Paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de cara y diagonales de cuerpo, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un cuboide perfecto es un caso especial de paralelepípedo perfecto. En 2009, se demostró la existencia de docenas de paralelepípedos perfectos, ^[19] respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares. El paralelepípedo perfecto más pequeño tiene aristas 271, 106 y 103; diagonales de cara cortas 101, 266 y 255; diagonales de cara larga 183, 312 y 323; y diagonales de cuerpo 374, 300, 278 y 272.

Véase también

Cuádruple pitagórico

Notas

^ abcde Wacław Sierpiński , Triángulos pitagóricos , Publicaciones de Dover, 2003 (ed. original 1962).
^ Visiones del infinito: Los grandes problemas matemáticos Por Ian Stewart, Capítulo 17
^ Weisstein, Eric W. "Ladrillo de Euler". MathWorld .
^ Knill, Oliver (24 de febrero de 2009). "Bloques de Euler perfectos para la búsqueda del tesoro" (PDF) . Tabla de matemáticas. Universidad de Harvard .
^ Ivanov, AA; Skopin, AV (marzo de 2020). «Sobre conjuntos con n-distancias enteras». Revista de Ciencias Matemáticas . 251 (4): 548–556. doi :10.1007/s10958-020-05159-4 . Consultado el 11 de octubre de 2024 .
^ ab Matson, Robert D. (18 de enero de 2015). "Resultados de una búsqueda informática de un cuboide perfecto" (PDF) . unsolvedproblems.org . Consultado el 24 de febrero de 2020 .
^ de Alexander Belogourov, Búsqueda distribuida de un cuboide perfecto, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid
^ M. Kraitchik, Sobre ciertos cuboides racionales, Scripta Mathematica, volumen 11 (1945).
^ ab I. Korec, Límites inferiores para cuboides racionales perfectos, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.
^ Ronald van Luijk, Sobre los cuboides perfectos, junio de 2000
^ Florian Luca (2000) "Cuboides perfectos y triángulos cuadrados perfectos", Mathematics Magazine, 73:5, pág. 400-401
^ Sharipov RA (2012). "Cuboides perfectos y polinomios irreducibles". Ufa Math Journal . 4 (1): 153–160. arXiv : 1108.5348 . Código Bibliográfico :2011arXiv1108.5348S.
^ Sharipov RA (2015). "Enfoque asintótico al problema del cuboide perfecto". Ufa Math Journal . 7 (3): 100–113. doi : 10.13108/2015-7-3-95 .
^ Rathbun RL, Granlund Т., La tabla cuboide de números enteros con soluciones de tipo cuerpo, arista y cara // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
^ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, San Petersburgo, 1771
^ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, traducción al inglés: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
^ "Problema 930" (PDF) , Soluciones, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162–166, mayo de 1985
^ Rathbun, Randall L. (14 de julio de 2020). "La tabla cuboide de enteros". arXiv : 1705.05929v4 [math.NT].
^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "Los paralelepípedos perfectos existen". Matemáticas de la computación . 80 (274): 1037–1040. arXiv : 0907.0220 . doi :10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID 206288198..

Referencias

Leech, John (1977). "El cuboide racional revisitado". American Mathematical Monthly . 84 (7): 518–533. doi :10.2307/2320014. JSTOR 2320014.
Shaffer, Sherrill (1987). "Divisores necesarios de cuboides enteros perfectos". Resúmenes de la American Mathematical Society . 8 (6): 440.
Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Springer-Verlag . Págs. 275–283. ISBN. 0-387-20860-7.
Kraitchik, M. (1945). "Sobre ciertos cuboides racionales". Scripta Mathematica . 11 : 317–326.
Roberts, Tim (2010). "Algunas restricciones sobre la existencia de un cuboide perfecto". Australian Mathematical Society Gazette . 37 : 29–31. ISSN 1326-2297.