En matemáticas , el axioma A de Smale define una clase de sistemas dinámicos que han sido ampliamente estudiados y cuya dinámica se entiende relativamente bien. Un ejemplo destacado es el mapa de herradura de Smale . El término "axioma A" se origina con Stephen Smale . [1] [2] La importancia de tales sistemas se demuestra mediante la hipótesis caótica, que establece que, "para todos los efectos prácticos", un sistema termostatizado de muchos cuerpos se aproxima a un sistema de Anosov . [3]
Sea M una variedad suave con un difeomorfismo f : M → M . Entonces f es un difeomorfismo del axioma A si se cumplen las dos condiciones siguientes:
En el caso de las superficies, la hiperbolicidad del conjunto no errante implica la densidad de puntos periódicos, pero esto ya no es cierto en dimensiones superiores. No obstante, los difeomorfismos del axioma A a veces se denominan difeomorfismos hiperbólicos , porque la porción de M donde ocurre la dinámica interesante, es decir, Ω ( f ), exhibe un comportamiento hiperbólico.
Los difeomorfismos del axioma A generalizan los sistemas de Morse-Smale , que satisfacen restricciones adicionales (número finito de puntos periódicos y transversalidad de subvariedades estables e inestables). El mapa de herradura de Smale es un difeomorfismo del axioma A con un número infinito de puntos periódicos y entropía topológica positiva .
Cualquier difeomorfismo de Anosov satisface el axioma A. En este caso, toda la variedad M es hiperbólica (aunque es una cuestión abierta si el conjunto no errante Ω ( f ) constituye toda M ).
Rufus Bowen demostró que el conjunto no errante Ω ( f ) de cualquier difeomorfismo del axioma A admite una partición de Markov . [2] [4] Por lo tanto, la restricción de f a un cierto subconjunto genérico de Ω ( f ) se conjuga a un desplazamiento de tipo finito .
La densidad de los puntos periódicos en el conjunto no errante implica su maximalidad local: existe un entorno abierto U de Ω ( f ) tal que
Una propiedad importante de los sistemas Axiom A es su estabilidad estructural frente a pequeñas perturbaciones. [5] Es decir, las trayectorias del sistema perturbado permanecen en correspondencia topológica 1-1 con el sistema no perturbado. Esta propiedad es importante, ya que demuestra que los sistemas Axiom A no son excepcionales, sino que son en cierto sentido "robustos".
Más precisamente, para cada perturbación C 1 f ε de f , su conjunto no errante está formado por dos subconjuntos compactos f ε -invariantes Ω 1 y Ω 2 . El primer subconjunto es homeomorfo a Ω ( f ) a través de un homeomorfismo h que conjuga la restricción de f a Ω ( f ) con la restricción de f ε a Ω 1 :
Si Ω 2 está vacío, entonces h es sobre Ω ( f ε ). Si este es el caso para cada perturbación f ε , entonces f se llama omega estable . Un difeomorfismo f es omega estable si y solo si satisface el axioma A y la condición de no ciclo (que una órbita, una vez que ha salido de un subconjunto invariante, no regresa).
