En matemáticas , los flujos ergódicos ocurren en geometría , a través de los flujos geodésicos y horocíclicos de superficies hiperbólicas cerradas . Ambos ejemplos se han entendido en términos de la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos : si Γ es el grupo fundamental de una superficie cerrada , considerada como un subgrupo discreto del grupo de Möbius G = PSL(2, R ), entonces el flujo geodésico y horocíclico se puede identificar con las acciones naturales de los subgrupos A de matrices diagonales positivas reales y N de matrices unitriangulares inferiores sobre el fibrado tangente unitario G / Γ. El teorema de Ambrose-Kakutani expresa cada flujo ergódico como el flujo construido a partir de una transformación ergódica invertible en un espacio de medida utilizando una función techo. En el caso del flujo geodésico , la transformación ergódica se puede entender en términos de dinámica simbólica ; y en términos de las acciones ergódicas de Γ en el límite S 1 = G / AN y G / A = S 1 × S 1 \ diag S 1 . Los flujos ergódicos también surgen naturalmente como invariantes en la clasificación de las álgebras de von Neumann : el flujo de pesos para un factor de tipo III 0 es un flujo ergódico en un espacio de medida .
El método que utiliza la teoría de la representación se basa en los dos resultados siguientes: [1]
(1) Como espacio topológico, el espacio homogéneo X = G / N puede identificarse con R 2 \ {0 } con la acción estándar de G como matrices de 2 × 2. El subgrupo de N tiene dos tipos de órbitas: órbitas paralelas al eje x con y ≠ 0 ; y puntos en el eje x . Por lo tanto, una función continua en X que es constante en N órbitas debe ser constante en el eje real con el origen eliminado. Por lo tanto, el coeficiente matricial ψ( x ) = ( x ξ,ξ) satisface ψ( g ) = 1 para g en A · N . Por unitaridad, || g ξ − ξ || 2 = 2 − ψ( g ) − ψ( g –1 ) = 0 , de modo que g ξ = ξ para todo g en B = A · N = N · A . Ahora sea s la matriz . Entonces, como se verifica fácilmente, la clase lateral doble BsB es densa en G ; este es un caso especial de la descomposición de Bruhat . Como ξ está fijado por B , el coeficiente matricial ψ( g ) es constante en BsB . Por densidad, ψ( g ) = 1 para todo g en G . El mismo argumento que el anterior muestra que g ξ = ξ para todo g en G .
(2) Supóngase que ξ está fijado por A . Para el grupo unitario de 1 parámetro N ≅ R , sea P [ a , b ] el subespacio espectral correspondiente al intervalo [ a , b ] . Sea g ( s ) la matriz diagonal con las entradas s y s −1 para | s | > 1 . Entonces g ( s ) P [ a , b ] g ( s ) −1 = P [ s 2 a , s 2 a ] . Como | s | tiende a infinito, las últimas proyecciones tienden a 0 en la topología del operador fuerte si 0< a < b o a < b < 0 . Puesto que g ( s )ξ = ξ , se sigue P [ a , b ]ξ = 0 en cualquier caso. Por el teorema espectral, se deduce que ξ está en el subespacio espectral P ({0}) ; en otras palabras , ξ está fijado por N . Pero entonces, por el primer resultado, ξ debe estar fijado por G .
Los teoremas clásicos de Gustav Hedlund de principios de la década de 1930 afirman la ergodicidad de los flujos geodésicos y horocíclicos correspondientes a superficies compactas de Riemann de curvatura negativa constante. El teorema de Hedlund puede reinterpretarse en términos de representaciones unitarias de G y sus subgrupos. Sea Γ un subgrupo cocompacto de PSL(2, R ) = G / {± I } para el cual todos los elementos no escalares son hiperbólicos. Sea X = Γ \ G / K donde K es el subgrupo de rotaciones . El fibrado tangente unitario es SX = Γ \ G , con el flujo geodésico dado por la acción derecha de A y el flujo horocíclico por la acción derecha de N . Esta acción es ergódica si L ∞ (Γ \ G ) A = C , es decir, las funciones fijadas por A son simplemente las funciones constantes. Como Γ \ G es compacto, este será el caso si L 2 (Γ \ G ) A = C . Sea H = L 2 (Γ \ G ) . Por lo tanto, G actúa unitariamente sobre H a la derecha. Cualquier ξ distinto de cero en H fijado por A debe ser fijado por G , por el segundo resultado anterior. Pero en este caso, si f es una función continua en G de soporte compacto con ∫ f = 1 , entonces ξ = ∫ f ( g ) g ξ dg . El lado derecho es igual a ξ ∗ f , una función continua en G . Como ξ es invariante por la derecha bajo G , se deduce que ξ es constante, como se requiere. Por lo tanto, el flujo geodésico es ergódico. Reemplazando A por N y usando el primer resultado anterior, el mismo argumento muestra que el flujo del horociclo es ergódico.
Von Neumann (1932) definió ejemplos de flujos inducidos a partir de transformaciones invertibles no singulares de espacios de medida en su enfoque de teoría de operadores para la mecánica clásica y la teoría ergódica . Sea T una transformación invertible no singular de ( X ,μ) que da lugar a un automorfismo τ de A = L ∞ ( X ). Esto da lugar a una transformación invertible T ⊗ id del espacio de medida ( X × R ,μ × m ), donde m es la medida de Lebesgue y, por tanto, un automorfismo τ ⊗ id de A ⊗ L ∞ ( R ). La traslación L t define un flujo en R que preserva m y, por tanto, un flujo λ t en L ∞ ( R ). Sea S = L 1 con el correspondiente automorfismo σ de L ∞ ( R ). Así, τ ⊗ σ da un automorfismo de A ⊗ L ∞ ( R ) que conmuta con el flujo id ⊗ λ t . El espacio de medida inducido Y está definido por B = L ∞ ( Y ) = L ∞ ( X × R ) τ ⊗ σ , las funciones fijadas por el automorfismo τ ⊗ σ . Admite el flujo inducido dado por la restricción de id ⊗ λ t a B . Puesto que λ t actúa ergódicamente sobre L ∞ ( R ), se sigue que las funciones fijadas por el flujo pueden identificarse con L ∞ ( X ) τ . En particular, si la transformación original es ergódica, el flujo que induce también es ergódico.
La acción inducida también puede describirse en términos de operadores unitarios y es este enfoque el que aclara la generalización a flujos especiales, es decir, flujos construidos bajo funciones techo. Sea R la transformada de Fourier en L 2 ( R , m ), un operador unitario tal que R λ( t ) R ∗ = V t donde λ( t ) es la traslación por t y V t es la multiplicación por e itx . Por lo tanto, V t se encuentra en L ∞ ( R ). En particular, V 1 = R S R ∗ . Una función techo h es una función en A con h ≥ ε1 con ε > 0. Entonces e ihx da una representación unitaria de R en A , continua en la topología del operador fuerte y, por lo tanto, un elemento unitario W de A ⊗ L ∞ ( R ), que actúa sobre L 2 ( X ,μ) ⊗ L 2 ( R ). En particular, W conmuta con I ⊗ V t . Por lo tanto, W 1 = ( I ⊗ R ∗ ) W ( I ⊗ R ) conmuta con I ⊗ λ( t ). La acción T sobre L ∞ ( X ) induce una U unitaria sobre L 2 ( X ) utilizando la raíz cuadrada de la derivada de Radon−Nikodym de μ ∘ T con respecto a μ. El álgebra inducida B se define como el subálgebra de A ⊗ L ∞ ( R ) conmutando con T ⊗ S . El flujo inducido σ t viene dado por σ t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t )) .
El flujo especial correspondiente a la función techo h con transformación base T se define en el álgebra B ( H ) dada por los elementos en A ⊗ L ∞ ( R ) conmutando con ( T ⊗ I ) W 1 . El flujo inducido corresponde a la función techo h ≡ 1, la función constante. Nuevamente W 1 , y por lo tanto ( T ⊗ I ) W 1 , conmuta con I ⊗ λ( t ). El flujo especial en B ( H ) nuevamente viene dado por σ t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t )) . El mismo razonamiento que para las acciones inducidas muestra que las funciones fijadas por el flujo corresponden a las funciones en A fijadas por σ, de modo que el flujo especial es ergódico si la transformación no singular original T es ergódico.
Si S t es un flujo ergódico en el espacio de medida ( X ,μ) correspondiente a un grupo de 1 parámetro de automorfismos σ t de A = L ∞ ( X ,μ), entonces por la descomposición de Hopf o bien todo S t con t ≠ 0 es disipativo o bien todo S t con t ≠ 0 es conservativo. En el caso disipativo, el flujo ergódico debe ser transitivo, de modo que A puede identificarse con L ∞ ( R ) bajo la medida de Lebesgue y R actuando por traslación.
Para demostrar el resultado en el caso disipativo, note que A = L ∞ ( X ,μ) es un álgebra abeliana de von Neumann maximal que actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( X ,μ). La medida de probabilidad μ puede ser reemplazada por una medida invariante equivalente λ y hay una proyección p en A tal que σ t ( p ) < p para t > 0 y λ( p – σ t ( p )) = t . En este caso σ t ( p ) = E ([ t ,∞)) donde E es una medida con valor de proyección en R . Estas proyecciones generan una subálgebra de von Neumann B de A . Por ergodicidad σ t ( p ) 1 cuando t tiende a −∞. El espacio de Hilbert L 2 ( X ,λ) puede identificarse con la completitud del subespacio de f en A con λ(| f | 2 ) < ∞. El subespacio correspondiente a B puede identificarse con L 2 ( R ) y B con L ∞ ( R ). Puesto que λ es invariante bajo S t , se implementa mediante una representación unitaria U t . Por el teorema de Stone–von Neumann para el sistema covariante B , U t , el espacio de Hilbert H = L 2 ( X ,λ) admite una descomposición L 2 ( R ) ⊗ donde B y U t actúan sólo sobre el primer factor tensorial. Si hay un elemento a de A que no está en B , entonces se encuentra en el conmutante de B ⊗ C , es decir, en B ⊗ B( ). Por tanto, puede realizarse como una matriz con entradas en B . Multiplicando por χ [ r , s ] en B , las entradas de a pueden tomarse como en L ∞ ( R ) ∩ L 1 ( R ). Para tales funciones f , como un caso elemental del teorema ergódico el promedio de σ t ( f ) sobre [− R , R ] tiende en la topología del operador débil a ∫ f ( t ) dt . Por lo tanto, para χ [ r , s ] apropiado esto producirá un elemento en A que se encuentra en C ⊗ B( ) y no es un múltiplo de 1 ⊗ I . Pero tal elemento conmuta con U t por lo que está fijado por σ t , contradiciendo la ergodicidad. Por lo tanto A = B = L ∞ ( R ).
Cuando todos los σ t con t ≠ 0 son conservativos, se dice que el flujo es propiamente ergódico . En este caso se deduce que para cada p distinto de cero en A y t ≠ 0, p ≤ σ t ( p ) ∨ σ 2 t ( p ) ∨ σ 3 t ( p ) ∨ ⋅⋅⋅ En particular ∨ ± t >0 σ t ( p ) = 1 para p ≠ 0.
El teorema establece que todo flujo ergódico es isomorfo a un flujo especial correspondiente a una función techo con transformación de base ergódica. Si el flujo deja invariante una medida de probabilidad, lo mismo sucede con la transformación de base.
Para simplificar, se considera únicamente el resultado original de Ambrose (1941), el caso de un flujo ergódico que conserva una medida de probabilidad μ . Sea A = L ∞ ( X ,μ) y sea σ t el flujo ergódico. Como el flujo es conservativo, para cualquier proyección p ≠ 0, 1 en A hay un T > 0 sin σ T ( p ) ≤ p , de modo que (1 − p ) ∧ σ T ( p ) ≠ 0 . Por otra parte, cuando r > 0 disminuye a cero
en la topología de operadores fuertes o equivalentemente en la topología de operadores débiles (estas topologías coinciden en unitarios, por lo tanto involuciones, por lo tanto proyecciones). De hecho, basta con mostrar que si ν es cualquier medida finita en A , entonces ν( a r ) tiende a ν( p ). Esto se deduce porque f ( t ) = ν(σ t ( p )) es una función continua de t de modo que el promedio de f sobre [0, r ] tiende a f (0) cuando r tiende a 0. [2]
Nótese que 0 ≤ a r ≤ 1 . Ahora, para r fijo > 0, siguiendo a Ambrose (1941), establezca
Sea r = N –1 para N grande y f N = a r . Por lo tanto, 0 ≤ f N ≤ 1 en L ∞ ( X ,μ) y f N tiende a una función característica p en L 1 ( X ,μ). Pero entonces, si ε = 1/4, se sigue que χ [0,ε] ( f N ) tiende a χ [0,ε] ( p ) = 1 – p en L 1 ( X ). [3] Utilizando la división A = pA ⊕ (1 − p ) A , esto se reduce a demostrar que si 0 ≤ h N ≤ 1 en L ∞ ( Y ,ν) y h N tiende a 0 en L 1 ( Y ,ν), entonces χ [1−ε,1] ( h N ) tiende a 0 en L 1 ( Y ,ν). Pero esto se deduce fácilmente de la desigualdad de Chebyshev : de hecho, (1−ε) χ [1−ε,1] ( h N ) ≤ h N , de modo que ν(χ [1−ε,1] ( h N )) ≤ (1−ε) −1 ν( h N ) , que tiende a 0 por suposición.
Así, por definición, q 0 ( r ) ∧ q 1 ( r ) = 0. Además, para r = N −1 suficientemente pequeño, q 0 ( r ) ∧ σ T ( q 1 ( r )) > 0. El razonamiento anterior muestra que q 0 ( r ) y q 1 ( r ) tienden a 1 − p y p cuando r = N −1 tiende a 0. Esto implica que q 0 ( r )σ T ( q 1 ( r )) tiende a (1 − p )σ T ( p ) ≠ 0, por lo que no es cero para N suficientemente grande. Fijando uno de esos N y, con r = N −1 , haciendo q 0 = q 0 ( r ) y q 1 = q 1 ( r ), se puede suponer que
La definición de q 0 y q 1 también implica que si δ < r /4 = (4 N ) −1 , entonces
De hecho, si s < t
Supongamos que s = 0, de modo que t > 0 y que e = σ t ( q 0 ) ∧ q 1 > 0. Por lo tanto, e = σ t ( f ) con f ≤ q 0 . Entonces, σ t ( a r ) e = σ t ( a r f ) ≤ 1/4 e y a r e ≥ 3/4 e , de modo que
Por lo tanto, || a r − σ t ( a r )|| ∞ ≥ 1/2. Por otro lado, || a r − σ t ( a r )|| ∞ está acotado superiormente por 2 t / r , de modo que t ≥ r /4. Por lo tanto, σ t ( q 0 ) ∧ q 1 = 0 si | t | ≤ δ.
Los elementos a r dependen continuamente en la norma del operador de r en (0,1]; de lo anterior σ t ( a r ) es norma continua en t . Sea B 0 la clausura en la norma del operador del *-álgebra unital generada por los σ t ( a r ). Es conmutativa y separable, por lo que, por el teorema de Gelfand–Naimark , puede identificarse con C ( Z ) donde Z es su espectro , un espacio métrico compacto. Por definición B 0 es una subálgebra de A y su clausura B en la topología del operador débil o fuerte puede identificarse con L ∞ ( Z ,μ) donde μ también se utiliza para la restricción de μ a B . La subálgebra B es invariante bajo el flujo σ t , que es por lo tanto ergódico. El análisis de esta acción sobre B 0 y B proporciona todas las herramientas necesarias para construir la transformación ergódica T y función de techo h . Esto se realizará primero para B (de modo que se supondrá temporalmente que A coincide con B ) y luego se extenderá a A . [4]
Las proyecciones q 0 y q 1 corresponden a funciones características de conjuntos abiertos. X 0 y X 1 La suposición de ergodicidad propia implica que la unión de cualquiera de estos conjuntos abiertos bajo se traduce por σ t cuando t recorre los reales positivos o negativos es conull (es decir, el complemento tiene medida cero). Reemplazando X por su intersección, un conjunto abierto, se puede suponer que estas uniones agotan todo el espacio (que ahora será localmente compacto en lugar de compacto). Puesto que el flujo es recurrente, cualquier órbita de σ t pasa por ambos conjuntos infinitas veces cuando t tiende a +∞ o −∞. Entre un hechizo primero en X 0 y luego en X 1 f debe asumir el valor 1/2 y luego 3/4. La última vez que f es igual a 1/2 hasta la primera vez que es igual a 3/4 debe implicar un cambio en t de al menos δ/4 por la condición de continuidad de Lipschitz. Por lo tanto, cada órbita debe intersecar el conjunto Ω de x para el cual f ( x ) = 1/2, f (σ t ( x )) > 1/2 para 0 < t ≤ δ/4 infinitamente a menudo. La definición implica que diferentes insecciones ? con una órbita están separadas por una distancia de al menos δ/4, por lo que Ω interseca cada órbita solo un número contable de veces y las intersecciones ocurren en tiempos negativos y positivos indefinidamente grandes. Por lo tanto, cada órbita se divide en un número contable de intervalos semiabiertos [ r n ( x ), r n +1 ( x )) de longitud al menos δ/4 con r n ( x ) tendiendo a ±∞ cuando n tiende a ±∞. Esta partición se puede normalizar de modo que r 0 ( x ) ≤ 0 y r 1 ( x ) > 0. En particular, si x se encuentra en Ω, entonces t 0 = 0. La función r n ( x ) se denomina n -ésimo tiempo de retorno a Ω .
La sección transversal Ω es un conjunto de Borel porque en cada conjunto compacto {σ t ( x )} con t en [ N −1 ,δ/4] con N > 4/δ, la función g ( t ) = f (σ t ( x )) tiene un ínfimo mayor que 1/2 + M −1 para un entero suficientemente grande M . Por lo tanto, Ω puede escribirse como una intersección contable de conjuntos, cada uno de los cuales es una unión contable de conjuntos cerrados; por lo tanto, Ω es un conjunto de Borel. Esto implica en particular que las funciones r n son funciones de Borel en X . Dado y en Ω, la transformación de Borel invertible T está definida en Ω por S ( y ) = σ t ( y ) donde t = r 1 ( y ), el primer tiempo de retorno a Ω. Las funciones r n ( y ) se restringen a funciones de Borel en Ω y satisfacen la relación de cociclo:
donde τ es el automorfismo inducido por T . El número de impacto N t ( x ) para el flujo S t en X se define como el entero N tal que t se encuentra en [ r N ( x ), r N +1 ( x )). Es una función de Borel de valor entero en R × X que satisface la identidad del cociclo
La función h = r 1 es una función de Borel estrictamente positiva en Ω, por lo que formalmente el flujo se puede reconstruir a partir de la transformación T utilizando h como función de techo. La clase de medida invariante en T que falta en Ω se recuperará utilizando el segundo cociclo N t . De hecho, la medida discreta en Z define una clase de medida en el producto Z × X y el flujo S t en el segundo factor se extiende a un flujo en el producto dado por
De la misma manera, la transformación base T induce una transformación R en R × Ω definida por
Estas transformaciones están relacionadas por un isomorfismo de Borel invertible Φ de R × Ω sobre Z × X definido por
Su inversa Ψ de Z × X sobre R × Ω se define por
Bajo estos mapas, el flujo R t se lleva a traslación por t en el primer factor de R × Ω y, en la otra dirección, el invertible R se lleva a traslación por -1 en Z × X . Basta con comprobar que la clase de medida en Z × X se lleva a la misma clase de medida, ya que algunos producen una medida m × ν en R × Ω, donde m es una medida de Lebesgue y ν es una medida de probabilidad en Ω con una clase de medida invariante bajo T . La clase de medida en Z × X es invariante bajo R , por lo que define una clase de medida en R × Ω, invariante bajo traslación en el primer factor. Por otro lado, la única clase de medida en R invariante bajo traslación es la medida de Lebesgue, por lo que la clase de medida en R × Ω es equivalente a la de m × ν para alguna medida de probabilidad en Ω. Por construcción, ν es cuasi-invariante bajo T . Al desentrañar esta construcción, se deduce que el flujo original es isomorfo al flujo construido bajo la función de techo h para la transformación base T en (Ω,ν). [5] [6] [7]
El razonamiento anterior se realizó con la suposición de que B = A . En general, A se reemplaza por una *-subálgebra unital cerrada de norma separable A 0 que contiene B 0 , invariante bajo σ t y tal que σ t ( f ) es una función continua de norma de t para cualquier f en A 0 . Para construir A 0 , primero tome un conjunto generador para el álgebra de von Neumann A formado por un número contable de proyecciones invariantes bajo σ t con t racional. Reemplace cada una de este conjunto contable de proyecciones por promedios sobre intervalos [0, N −1 ] con respecto a σ t . El *-álgebra unital cerrada de norma que estos generan produce A 0 . Por definición, contiene B 0 = C( Y ). Por el teorema de Gelfand-Naimark, A 0 tiene la forma C( X ). La construcción con una r anterior se aplica igualmente bien aquí: de hecho, dado que B 0 es un subálgebra de A 0 , Y es un cociente continuo de X , por lo que una función como una r es igualmente una función en X . Por lo tanto, la construcción se traslada mutatis mutandis a A , a través del mapa del cociente.
En resumen, existe un espacio de medida ( Y ,λ) y una acción ergódica de Z × R sobre M = L ∞ ( Y ,λ) dada por las acciones conmutativas τ n y σ t tales que existe una subálgebra τ-invariante de M isomorfa a ( Z ) y una subálgebra σ-invariante de M isomorfa a L ∞ ( R ). El flujo ergódico original está dado por la restricción de σ a M τ y la transformación base correspondiente dada por la restricción de τ a M σ . [8] [9]
Dado un flujo, es posible describir cómo se relacionan dos transformaciones de base única diferentes que se pueden usar para construir el flujo. [10] se puede transformar de nuevo en una acción de Z sobre Y , es decir, en una transformación invertible T Y sobre Y . En teoría de conjuntos, T Y ( x ) se define como T m ( x ) donde m ≥ 1 es el entero más pequeño tal que T m ( x ) se encuentra en X . Es sencillo ver que aplicar el mismo proceso a la inversa de T produce la inversa de T Y . La construcción se puede describir teóricamente de la siguiente manera. Sea e = χ Y en B = L ∞ ( X ,ν) con ν( e ) ≠ 0. Entonces e es una suma ortogonal de proyecciones e n definidas de la siguiente manera:
Entonces, si f se encuentra en e n B , el automorfismo correspondiente es τ e ( f ) = τ n ( f ).
Con estas definiciones surgen dos transformaciones ergódicas τ 1 , τ 2 de B 1 y B 2 del mismo flujo siempre que haya proyecciones no nulas e 1 y e 2 en B 1 y B 2 tales que los sistemas (τ 1 ) e 1 , e 1 B 1 y (τ 2 ) e 2 , e 2 B 2 sean isomorfos.
![{\displaystyle q_{0}(r)=\chi _{[0,1/4]}(a_{r}),\,\,\,q_{1}(r)=\chi _{[3/4,1]}(a_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4cb63bbd3adf715fc911aa15b3a32f996d2499)
