Decágono

Figura con diez lados

En geometría , un decágono (del griego δέκα déka y γωνία gonía, "diez ángulos") es un polígono de diez lados o 10-gono. ^[1] La suma total de los ángulos interiores de un decágono simple es 1440°.

Decágono regular

Un decágono regular tiene todos los lados de igual longitud y cada ángulo interno siempre será igual a 144°. ^[1] Su símbolo de Schläfli es {10} ^[2] y también se puede construir como un pentágono truncado , t{5}, un decágono cuasirregular que alterna dos tipos de aristas.

Los decágonos suelen aparecer en mosaicos con simetría quíntuple (parcial). Las imágenes muestran un patrón geométrico islámico (siglo XV), una ilustración en Harmonices Mundi de Kepler (1619) y un mosaico de Penrose .

Longitud del lado

La imagen muestra un decágono regular con longitud de lado y radio del círculo circunscrito . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

• El triángulo tiene dos catetos de igual longitud y una base de longitud ${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$
• El círculo con radio se interseca en un punto (no designado en la imagen). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$ ${\displaystyle P}$
• Ahora el triángulo es un triángulo isósceles con vértice y ángulos en la base . ${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$
• Por lo tanto . Así que y por lo tanto también es un triángulo isósceles con vértice . La longitud de sus catetos es , por lo que la longitud de es . ${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$ ${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$ ${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [P\,E_{10}]}$ ${\displaystyle R-a}$
• Los triángulos isósceles y tienen ángulos iguales de 36° en el vértice, por lo que son semejantes , por lo tanto: ${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$ ${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$ ${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {R-a}{a}}}$
• La multiplicación con los denominadores conduce a la ecuación cuadrática: ${\displaystyle R,a>0}$ ${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• Esta ecuación para la longitud del lado tiene una solución positiva: ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

Así que el decágono regular se puede construir con regla y compás .

Conclusiones adicionales

${\displaystyle \;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;}$y la altura de la base de (es decir, la longitud de ) es y el triángulo tiene el área: . ${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$ ${\displaystyle [M\,D]}$ ${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

Área

El área de un decágono regular de lado a está dada por: ^[3]

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

En términos de la apotema r (ver también la figura inscrita ), el área es:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

En términos del radio circunscrito R , el área es:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

Una fórmula alternativa es donde d es la distancia entre los lados paralelos, o la altura cuando el decágono se apoya sobre un lado como base, o el diámetro del círculo inscrito del decágono . Por trigonometría simple , ${\displaystyle A=2.5da}$

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

y se puede escribir algebraicamente como

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

Construcción

Como 10 = 2 × 5, una potencia de dos veces un primo de Fermat , se deduce que un decágono regular se puede construir utilizando compás y regla , o mediante una bisección de arista de un pentágono regular . ^[4]

Un método alternativo (pero similar) es el siguiente:

1. Construya un pentágono en un círculo mediante uno de los métodos que se muestran en la construcción de un pentágono .
2. Prolonga una línea desde cada vértice del pentágono a través del centro del círculo hasta el lado opuesto de ese mismo círculo. Donde cada línea corta el círculo es un vértice del decágono. En otras palabras,  la imagen de un pentágono regular bajo una reflexión puntual respecto de  su centro es un pentágono congruente concéntrico  , y los dos pentágonos tienen en total los vértices de un decágono regular concéntrico .
3. Los cinco vértices del pentágono constituyen vértices alternos del decágono. Une estos puntos con los nuevos puntos adyacentes para formar el decágono.

La proporción áurea en el decágono

Tanto en la construcción con circunferencia circunscrita dada ^[5] como con longitud lateral dada, la proporción áurea que divide un segmento de línea por su división exterior es el elemento de construcción determinante.

• En la construcción con el círculo circunscrito dado, el arco circular alrededor de G con radio GE ₃ produce el segmento AH , cuya división corresponde a la proporción áurea.

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

• En la construcción con longitud lateral dada ^[6] el arco circular alrededor de D con radio DA produce el segmento E ₁₀ F , cuya división corresponde a la proporción áurea .

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Simetría

Simetrías de un decágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Los espejos azules se dibujan a través de los vértices y los espejos violetas a través de las aristas. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El decágono regular tiene simetría Dih ₁₀ , orden 20. Hay 3 simetrías diedras de subgrupos: Dih ₅ , Dih ₂ y Dih ₁ , y 4 simetrías de grupos cíclicos : Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂ y Z ₁ .

Estas 8 simetrías se pueden ver en 10 simetrías distintas en el decágono, un número mayor porque las líneas de reflexión pueden pasar a través de vértices o aristas. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. ^[7] La ​​simetría completa de la forma regular es r20 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan a través de aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada subgrupo de simetría permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g10 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Los decágonos irregulares con mayor simetría son d10 , un decágono isogonal construido con cinco espejos que pueden alternar aristas largas y cortas, y p10 , un decágono isotoxal , construido con aristas de igual longitud, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del decágono regular.

Disección

Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^[8] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con un número uniforme de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el decágono regular , m = 5, y puede dividirse en 10 rombos, con ejemplos que se muestran a continuación. Esta descomposición puede verse como 10 de 80 caras en un plano de proyección de polígono de Petrie del 5-cubo . Una disección se basa en 10 de 30 caras del triacontaedro rómbico . La lista OEIS : A006245 define el número de soluciones como 62, con 2 orientaciones para la primera forma simétrica y 10 orientaciones para las otras 6.

Decágono sesgado

Un decágono oblicuo es un polígono oblicuo con 10 vértices y aristas pero que no se encuentran en el mismo plano. El interior de un decágono de este tipo no suele estar definido. Un decágono oblicuo en zigzag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un decágono oblicuo regular es transitivo en sus vértices y tiene las mismas longitudes de aristas. En tres dimensiones, será un decágono oblicuo en zigzag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma pentagonal , un antiprisma pentagrammico y un antiprisma pentagrammico cruzado con la misma simetría D _5d , [2 ⁺ ,10], orden 20.

Esto también se puede observar en estos cuatro poliedros convexos con simetría icosaédrica . Los polígonos en el perímetro de estas proyecciones son decágonos oblicuos regulares.

Polígonos de Petrie

El decágono oblicuo regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, que se muestran en estas proyecciones ortogonales en varios planos de Coxeter : ^[9] El número de lados en el polígono de Petrie es igual al número de Coxeter , h , para cada familia de simetría.

Véase también

• Número decagonal y número decagonal centrado , números figurados modelados sobre el decágono
• Decagrama , un polígono estrellado con las mismas posiciones de vértices que el decágono regular

Referencias

1. Sidebotham, Thomas H. (2003), La A a la Z de las matemáticas: una guía básica, John Wiley & Sons, pág. 146, ISBN 9780471461630.
2. Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 9, ISBN 9780521098595.
3. Los elementos de trigonometría plana y esférica, Sociedad para la Promoción del Conocimiento Cristiano, 1850, pág. 59. Tenga en cuenta que esta fuente utiliza a como longitud del borde y da el argumento de la cotangente como un ángulo en grados en lugar de radianes.
4. Ludlow, Henry H. (1904), Construcción geométrica del decágono regular y el pentágono inscritos en un círculo, The Open Court Publishing Co..
5. Green, Henry (1861), Geometría plana de Euclides, libros III-VI, aplicada prácticamente, o gradaciones en Euclides, parte II, Londres: Simpkin, Marshall, & CO., pág. 116. Recuperado el 10 de febrero de 2016.
6. Köller, Jürgen (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. Sección "Formeln, Ist die Seite a gegeben ..." (en alemán). Recuperado el 10 de febrero de 2016.
7. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 
8. Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, decimotercera edición, pág. 141
9. Coxeter, Politopos regulares, 12.4 Polígono de Petrie, págs. 223-226.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Decágono". MathWorld .
• Definición y propiedades de un decágono Con animación interactiva