Elasticidad de sustitución

Métrica económica

La elasticidad de sustitución es la relación entre el cambio porcentual en la relación capital-trabajo y el cambio porcentual en la tasa marginal de sustitución técnica. ^[1] En un mercado competitivo, mide el cambio porcentual en los dos insumos utilizados en respuesta a un cambio porcentual en sus precios. ^[2] Da una medida de la curvatura de una isocuanta y, por tanto, de la sustituibilidad entre insumos (o bienes), es decir, qué tan fácil es sustituir un insumo (o bien) por otro. ^[3]

Historia del concepto

John Hicks introdujo el concepto en 1932. Joan Robinson lo descubrió de forma independiente en 1933 utilizando una formulación matemática equivalente a la de Hicks, aunque no se implementó en ese momento. ^[4]

Definición

La definición general de la elasticidad de X con respecto a Y es , que se reduce a para cambios infinitesimales y variables diferenciables. La elasticidad de sustitución es el cambio en la relación del uso de dos bienes con respecto a la relación de sus valores o precios marginales. La aplicación más común es a la relación de capital (K) y trabajo (L) utilizados con respecto a la relación de sus productos marginales y /o del precio de alquiler (r) y el salario (w). Otra aplicación es la relación de los bienes de consumo 1 y 2 con respecto a la relación de sus utilidades marginales o sus precios. Empezaremos con la aplicación de consumo. ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {\%\ {\mbox{change in X}}}{\%\ {\mbox{change in Y}}}}}$ ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {dX}{dY}}{\frac {Y}{X}}}$ ${\displaystyle MP_{K}}$ ${\displaystyle MP_{L}}$

Sea la utilidad sobre el consumo dada por y sea . Entonces la elasticidad de sustitución es: ${\displaystyle U(c_{1},c_{2})}$ ${\displaystyle U_{c_{i}}=\partial U(c_{1},c_{2})/\partial {c_{i}}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}}$

¿Dónde está la tasa marginal de sustitución ? (Estos diferenciales se toman a lo largo de la isocuanta que pasa por el punto base. Es decir, las entradas y no varían de forma independiente, sino que una entrada varía libremente mientras que la otra entrada está obligada a permanecer en la isocuanta que pasa por el punto base. Debido a esta restricción, la TMS y la relación de insumos son funciones uno a uno entre sí bajo supuestos de convexidad adecuados.) La última igualdad presenta , donde están los precios de los bienes 1 y 2. Esta es una relación de la. Condición de primer orden para un problema de maximización de la utilidad del consumidor en el equilibrio interior de Arrow-Debreu, donde las utilidades marginales de dos bienes son proporcionales a los precios. Intuitivamente estamos observando cómo cambian las elecciones de un consumidor sobre los artículos de consumo a medida que cambian sus precios relativos. ${\displaystyle MRS}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle MRS_{12}=p_{1}/p_{2}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

Tenga en cuenta también que : ${\displaystyle E_{21}=E_{12}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}$

Una caracterización equivalente de la elasticidad de sustitución es: ^[5]

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}}$

En los modelos de tiempo discreto, la elasticidad de sustitución del consumo en períodos se conoce como elasticidad de sustitución intertemporal . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+1}$

De manera similar, si la función de producción es entonces la elasticidad de sustitución es: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}}$

donde es la tasa marginal de sustitución técnica . ${\displaystyle MRTS}$

La inversa de la elasticidad de sustitución es la elasticidad de complementariedad .

Ejemplo

Considere la función de producción Cobb-Douglas . ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}}$

La tasa marginal de sustitución técnica es

${\displaystyle MRTS_{21}={\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$

Es conveniente cambiar las notaciones. Denotar

${\displaystyle {\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\theta }$

Reescribiendo esto tenemos

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {a}{1-a}}\theta }$

Entonces la elasticidad de sustitución es ^[6]

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(MRTS_{21})}}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {\theta }{d\theta }}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{d\theta }}{\frac {\theta }{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}={\frac {a}{1-a}}{\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=1}$

Interpretación económica

Dada una asignación/combinación original y una sustitución específica en la asignación/combinación de la original, cuanto mayor sea la magnitud de la elasticidad de sustitución (la tasa marginal de elasticidad de sustitución de la asignación relativa), mayor será la probabilidad de sustituir. Siempre hay dos lados del mercado; aquí estamos hablando del receptor, ya que la elasticidad de preferencia es la del receptor.

La elasticidad de sustitución también rige cómo cambia el gasto relativo en bienes o insumos de factores a medida que cambian los precios relativos. Denotemos el gasto en relación con el de . Eso es: ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

${\displaystyle S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}}$

A medida que cambia el precio relativo , el gasto relativo cambia según: ${\displaystyle p_{2}/p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)}$

Por lo tanto, el hecho de que un aumento en el precio relativo de conduzca o no a un aumento o disminución en el gasto relativo depende de si la elasticidad de sustitución es menor o mayor que uno. ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Intuitivamente, el efecto directo de un aumento en el precio relativo de es aumentar el gasto en , ya que una cantidad determinada de es más costosa. Por otro lado, suponiendo que los bienes en cuestión no sean bienes Giffen , un aumento en el precio relativo de conduce a una caída en la demanda relativa de , de modo que la cantidad comprada cae, lo que reduce el gasto en . ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Cuál de estos efectos domina depende de la magnitud de la elasticidad de sustitución. Cuando la elasticidad de sustitución es menor que uno, domina el primer efecto: la demanda relativa de caídas, pero proporcionalmente menos que el aumento de su precio relativo, de modo que el gasto relativo aumenta. En este caso, los bienes son complementos brutos . ${\displaystyle c_{2}}$

Por el contrario, cuando la elasticidad de sustitución es mayor que uno, domina el segundo efecto: la reducción de la cantidad relativa excede el aumento del precio relativo, de modo que el gasto relativo cae. En este caso, los bienes son sustitutos brutos . ${\displaystyle c_{2}}$

Obsérvese que cuando la elasticidad de sustitución es exactamente uno (como en el caso Cobb-Douglas), el gasto en relación con es independiente de los precios relativos. ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Ver también

• Elasticidad de sustitución constante
• Tasa marginal de sustitución técnica

Notas

1. Sydsaeter, Knut ; Hammond, Peter (1995). Matemáticas para el análisis económico . Prentice Hall. págs. 561–562.
2. Bergstrom, Ted (2015). Apuntes de conferencias sobre elasticidad de sustitución, pág. 5. Consultado el 17 de junio de 2016.
3. de La Grandville, Olivier (1997). "Curvatura y elasticidad de sustitución: Enderezarla". Revista de Economía . 66 (1): 23–34. doi :10.1007/BF01231465. S2CID  154023144.
4. Chirinko, Robert (2006). Sigma: lo largo y lo corto. Revista de Macroeconomía. 2: 671-86.
5. Dado que:

   ${\displaystyle \ {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}=d\log(x_{2}/x_{1})=d\log x_{2}-d\log x_{1}=-(d\log x_{1}-d\log x_{2})=-d\log(x_{1}/x_{2})=-{\frac {d(x_{1}/x_{2})}{x_{1}/x_{2}}}}$

   una forma equivalente de definir la elasticidad de sustitución es:

   ${\displaystyle \ \sigma =-{\frac {d(c_{1}/c_{2})}{dMRS}}{\frac {MRS}{c_{1}/c_{2}}}=-{\frac {d\log(c_{1}/c_{2})}{d\log MRS}}}$.

6. "Elasticidad de sustitución". 11 de julio de 2019.

Referencias

• Hicks, JR (1932). La teoría de los salarios . Macmillan.
• Mas-Colell, Andreu ; Whiston; Verde (2007). Teoría Microeconómica . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0195073409.
• Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). W. W. Norton & Company . ISBN 978-0-393-95735-8.
• Klump, Rainer; McAdam, Pedro; Willman, Alpo (2007). "Progreso técnico de sustitución y aumento de factores en los Estados Unidos: un enfoque de sistema normalizado del lado de la oferta". Revista de Economía y Estadística . 89 (1): 183-192. doi : 10.1162/rest.89.1.183. S2CID  57570638.

enlaces externos

• La Elasticidad de la Sustitución, Gonçalo L. Fonsekca, ensayo, La Nueva Escuela de Investigación Social .