Relajación (física)

Retorno de un sistema perturbado al equilibrio

En las ciencias físicas, la relajación suele significar el retorno de un sistema perturbado al equilibrio . Cada proceso de relajación se puede categorizar mediante un tiempo de relajación τ . La descripción teórica más simple de la relajación en función del tiempo t es una ley exponencial exp(− t / τ ) ( decaimiento exponencial ).

En sistemas lineales simples

Mecánica: Oscilador amortiguado no forzado

Sea la ecuación diferencial homogénea :

${\displaystyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\gamma {\frac {dy}{dt}}+ky=0}$

modelo amortigua oscilaciones no forzadas de un peso sobre un resorte.

El desplazamiento será entonces de la forma . La constante T ( ) se denomina tiempo de relajación del sistema y la constante μ es la cuasifrecuencia. ${\displaystyle y(t)=Ae^{-t/T}\cos(\mu t-\delta )}$ ${\displaystyle =2m/\gamma }$

Electrónica: circuito RC

En un circuito RC que contiene un condensador cargado y una resistencia, el voltaje decae exponencialmente:

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\ ,}$

La constante se denomina tiempo de relajación o constante de tiempo RC del circuito. Un circuito oscilador no lineal que genera una forma de onda repetitiva mediante la descarga repetitiva de un condensador a través de una resistencia se denomina oscilador de relajación . ${\displaystyle \tau =RC\ }$

En física de la materia condensada

En física de la materia condensada , la relajación suele estudiarse como una respuesta lineal a una pequeña perturbación externa. Dado que los procesos microscópicos subyacentes están activos incluso en ausencia de perturbaciones externas, también se puede estudiar la "relajación en equilibrio" en lugar de la habitual "relajación en equilibrio" (véase el teorema de fluctuación-disipación ).

Relajación del estrés

En mecánica de medios continuos , la relajación de tensiones es la desaparición gradual de las tensiones de un medio viscoelástico después de que éste haya sido deformado.

Tiempo de relajación dieléctrica

En los materiales dieléctricos , la polarización dieléctrica P depende del campo eléctrico E. Si E cambia, P ( t ) reacciona: la polarización se relaja hacia un nuevo equilibrio, es decir, las cargas superficiales se igualan. Es importante en la espectroscopia dieléctrica . Los tiempos de relajación muy largos son responsables de la absorción dieléctrica .

El tiempo de relajación dieléctrica está estrechamente relacionado con la conductividad eléctrica . En un semiconductor, es una medida de cuánto tiempo tarda en neutralizarse mediante el proceso de conducción. Este tiempo de relajación es pequeño en los metales y puede ser grande en semiconductores y aislantes .

Líquidos y sólidos amorfos

Un sólido amorfo, como la indometacina amorfa , muestra una dependencia de la temperatura del movimiento molecular, que se puede cuantificar como el tiempo de relajación promedio para que el sólido en un líquido o vidrio superenfriado metaestable se aproxime al movimiento molecular característico de un cristal . La calorimetría diferencial de barrido se puede utilizar para cuantificar el cambio de entalpía debido a la relajación estructural molecular.

El término "relajación estructural" se introdujo en la literatura científica en 1947/48 sin ninguna explicación, aplicado a la RMN y con el mismo significado que "relajación térmica". ^{[1] [2] [3]}

Relajación de espín en RMN

En la resonancia magnética nuclear (RMN) las distintas relajaciones son las propiedades que mide.

Métodos de relajación química

En cinética química , los métodos de relajación se utilizan para medir velocidades de reacción muy rápidas . Un sistema que inicialmente está en equilibrio se ve perturbado por un cambio rápido en un parámetro como la temperatura (más comúnmente), la presión, el campo eléctrico o el pH del solvente. Luego se observa el retorno al equilibrio, generalmente por medios espectroscópicos, y se mide el tiempo de relajación. En combinación con la constante de equilibrio químico del sistema, esto permite determinar las constantes de velocidad para las reacciones directa e inversa. ^[4]

Reacción reversible monomolecular de primer orden

Una reacción reversible monomolecular de primer orden cercana al equilibrio se puede visualizar mediante la siguiente estructura simbólica: $${\displaystyle {\ce {A}}~{\overset {k}{\rightarrow }}~{\ce {B}}~{\overset {k'}{\rightarrow }}~{\ce {A}}}$$ $${\displaystyle {\ce {A <=> B}}}$$

En otras palabras, el reactivo A y el producto B se transforman entre sí en función de las constantes de velocidad de reacción k y k'.

Para resolver la concentración de A, reconozca que la reacción directa ( ) hace que la concentración de A disminuya con el tiempo, mientras que la reacción inversa ( ) hace que la concentración de A aumente con el tiempo. ${\displaystyle {\ce {A ->[{k}] B}}}$ ${\displaystyle {\ce {B ->[{k'}] A}}}$

Por lo tanto, , donde los corchetes alrededor de A y B indican concentraciones. ${\displaystyle {d{\ce {[A]}} \over dt}=-k{\ce {[A]}}+k'{\ce {[B]}}}$

Si decimos que en , y aplicando la ley de conservación de la masa, podemos decir que en cualquier tiempo, la suma de las concentraciones de A y B debe ser igual a la concentración de , suponiendo que el volumen en el que se disuelven A y B no cambia: ${\displaystyle t=0,{\ce {[A]}}(t)={\ce {[A]}}_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ $${\displaystyle {\ce {[A]}}+{\ce {[B]}}={\ce {[A]}}_{0}\Rightarrow {\ce {[B]}}={\ce {[A]}}_{0}-{\ce {[A]}}}$$

Sustituyendo este valor por [B] en términos de [A] ₀ y [A]( t ) se obtiene que se convierte en la ecuación diferencial separable $${\displaystyle {d{\ce {[A]}} \over dt}=-k{\ce {[A]}}+k'{\ce {[B]}}=-k{\ce {[A]}}+k'({\ce {[A]}}_{0}-{\ce {[A]}})=-(k+k'){\ce {[A]}}+k'{\ce {[A]}}_{0},}$$ $${\displaystyle {\frac {d{\ce {[A]}}}{-(k+k'){\ce {[A]}}+k'{\ce {[A]}}_{0}}}=dt}$$

Esta ecuación se puede resolver por sustitución para obtener $${\displaystyle {\ce {[A]}}={k'-ke^{-(k+k')t} \over k+k'}{\ce {[A]}}_{0}}$$

En ciencias atmosféricas

Desaturación de nubes

Considere una porción sobresaturada de una nube. Luego, apague las corrientes ascendentes, el arrastre y cualquier otra fuente/sumidero de vapor y cosas que induzcan el crecimiento de las partículas (hielo o agua). Luego espere a que esta sobresaturación se reduzca y se convierta simplemente en saturación (humedad relativa = 100 %), que es el estado de equilibrio. El tiempo que tarda la sobresaturación en disiparse se llama tiempo de relajación. Ocurrirá a medida que los cristales de hielo o el contenido de agua líquida crezcan dentro de la nube y, por lo tanto, consumirán la humedad contenida. La dinámica de la relajación es muy importante en la física de las nubes para un modelado matemático preciso .

En las nubes de agua, donde las concentraciones son mayores (cientos por cm3 ⁾ y las temperaturas son más cálidas (lo que permite tasas de sobresaturación mucho más bajas en comparación con las nubes de hielo), los tiempos de relajación serán muy bajos (segundos a minutos). ^[5]

En las nubes de hielo, las concentraciones son más bajas (apenas unas pocas por litro) y las temperaturas son más frías (índices de sobresaturación muy altos), por lo que los tiempos de relajación pueden durar hasta varias horas. El tiempo de relajación se expresa como

T = (4π DNRK ) ⁻¹ segundos,

dónde:

• D = coeficiente de difusión [m ² /s]
• N = concentración (de cristales de hielo o gotas de agua) [m ⁻³ ]
• R = radio medio de las partículas [m]
• K = capacitancia [sin unidades].

En astronomía

En astronomía , el tiempo de relajación se relaciona con cúmulos de cuerpos que interactúan gravitacionalmente , por ejemplo, las estrellas en una galaxia . El tiempo de relajación es una medida del tiempo que tarda un objeto en el sistema (la "estrella de prueba") en ser perturbado significativamente por otros objetos en el sistema (las "estrellas de campo"). Se define más comúnmente como el tiempo que tarda la velocidad de la estrella de prueba en cambiar en un orden de magnitud. ^[6]

Supongamos que la estrella de prueba tiene una velocidad v . A medida que la estrella se mueve a lo largo de su órbita, su movimiento se verá perturbado aleatoriamente por el campo gravitacional de las estrellas cercanas. Se puede demostrar que el tiempo de relajación es ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{r}&={0.34\sigma ^{3} \over G^{2}m\rho \ln \Lambda }\\&\approx 0.95\times 10^{10}\!\left({\sigma \over 200\,\mathrm {km\,s} ^{-1}}\right)^{\!3}\!\!\left({\rho \over 10^{6}\,M_{\odot }\,\mathrm {pc} ^{-3}}\right)^{\!-1}\!\!\left({m \over M_{\odot }}\right)^{\!-1}\!\!\left({\ln \Lambda \over 15}\right)^{\!-1}\!\mathrm {yr} \end{aligned}}}$

donde ρ es la densidad media, m es la masa de la estrella de prueba, σ es la dispersión de velocidad 1d de las estrellas de campo y ln Λ es el logaritmo de Coulomb .

Varios eventos ocurren en escalas de tiempo relacionadas con el tiempo de relajación, incluido el colapso del núcleo , la equipartición de energía y la formación de una cúspide de Bahcall-Wolf alrededor de un agujero negro supermasivo .

Véase también

• Oscilador de relajación
• Constante de tiempo

Referencias

1. Kittel, Charles (1 de enero de 1947). "Investigación ultrasónica y propiedades de la materia". Informes sobre el progreso en física . 11 (1): 205–247. Bibcode :1947RPPh...11..205K. doi :10.1088/0034-4885/11/1/308.
2. Hall, Phys. Rev. 1948 ^{[ cita completa requerida ]}
3. Wintner Phys. Rev. 1948. ^{[ cita completa requerida ]}
4. Atkins P. y de Paula J. Química física de Atkins (8.ª ed., WHFreeman 2006) pág. 805-7, ISBN 0-7167-8759-8 
5. Rogers, RR; Yau, MK (1989). Un curso breve sobre física de las nubes. Serie internacional de filosofía natural. Vol. 113 (3.ª ed.). Elsevier Science. ISBN 0750632151.
6. Binney, James; Tremaine, Scott (2008). Dinámica galáctica . Serie de Princeton sobre astrofísica (2.ª ed.). Princeton, NJ. Oxford: Princeton University Press. pp. 34–37. ISBN. 978-0-691-13027-9.
7. Spitzer, Lyman (1987). Evolución dinámica de los cúmulos globulares. Princeton, NJ: Princeton University Press . p. 191. ISBN. 0691083096.