Reconstrucción tomográfica

Estimar las propiedades de los objetos a partir de un número finito de proyecciones.

Reconstrucción tomográfica: Proyección, Retroproyección y Retroproyección filtrada

La reconstrucción tomográfica es un tipo de problema inverso multidimensional donde el desafío es producir una estimación de un sistema específico a partir de un número finito de proyecciones . Johann Radon sentó las bases matemáticas de la tomografía . Un ejemplo notable de aplicaciones es la reconstrucción de la tomografía computarizada (TC), donde se obtienen imágenes transversales de pacientes de manera no invasiva. En desarrollos recientes se ha visto la transformación de radón y su inversa utilizadas para tareas relacionadas con la inserción realista de objetos necesarios para probar y evaluar el uso de la tomografía computarizada en la seguridad de los aeropuertos . ^[1]

Este artículo se aplica en general a los métodos de reconstrucción para todo tipo de tomografía , pero algunos de los términos y descripciones físicas se refieren directamente a la reconstrucción de la tomografía computarizada por rayos X.

Introduciendo la fórmula

Figura 1: Geometría de haz paralelo utilizada en tomografía y reconstrucción tomográfica. Cada proyección, resultante de la tomografía bajo un ángulo específico, está formada por el conjunto de integrales de línea que atraviesan el objeto.

Imagen tomográfica resultante de un fantasma de cráneo de plástico. Los rayos X proyectados son claramente visibles en este corte tomado con una tomografía computarizada como artefactos de imagen , debido a la cantidad limitada de cortes de proyección en los ángulos.

La proyección de un objeto, resultante del proceso de medición tomográfica en un ángulo determinado , se compone de un conjunto de integrales de línea (ver Fig. 1). Un conjunto de muchas proyecciones de este tipo bajo diferentes ángulos organizadas en 2D se denomina sinograma (ver Fig. 3). En la TC de rayos X, la integral de línea representa la atenuación total del haz de rayos X a medida que viaja en línea recta a través del objeto. Como se mencionó anteriormente, la imagen resultante es un modelo 2D (o 3D) del coeficiente de atenuación . Es decir, deseamos encontrar la imagen . La forma más sencilla y sencilla de visualizar el método de escaneo es el sistema de proyección paralela , tal como se utilizaba en los primeros escáneres. Para esta discusión consideramos que los datos que se recopilarán como una serie de rayos paralelos, en la posición , a través de una proyección en ángulo . Esto se repite desde varios ángulos. La atenuación se produce exponencialmente en el tejido: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

donde es el coeficiente de atenuación en función de la posición. Por lo tanto, generalmente la atenuación total de un rayo en la posición , en la proyección en el ángulo , viene dada por la integral de línea: ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

Utilizando el sistema de coordenadas de la Figura 1, el valor de sobre el cual se proyectará el punto en ángulo viene dado por: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

Entonces la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

donde representa y es la función delta de Dirac . Esta función se conoce como transformación de radón (o sinograma ) del objeto 2D. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle \delta ()}$

La transformada de Fourier de la proyección se puede escribir como

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$donde ^[2] ${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$representa una porción de la transformada de Fourier 2D de en ángulo . Utilizando la transformada inversa de Fourier , se puede derivar fácilmente la fórmula de la transformada inversa de radón. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

¿Dónde está la derivada de la transformada de Hilbert de ${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$ ${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

En teoría, la transformación inversa del radón produciría la imagen original. El teorema de la proyección-corte nos dice que si tuviéramos un número infinito de proyecciones unidimensionales de un objeto tomadas en un número infinito de ángulos, podríamos reconstruir perfectamente el objeto original . Sin embargo, en la práctica sólo habrá un número finito de proyecciones disponibles. ${\displaystyle f(x,y)}$

Suponiendo que tiene un diámetro efectivo y la resolución deseada es , una regla general para la cantidad de proyecciones necesarias para la reconstrucción es ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{s}}$ ${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

Algoritmos de reconstrucción

Se han desarrollado algoritmos de reconstrucción prácticos para implementar el proceso de reconstrucción de un objeto tridimensional a partir de sus proyecciones. ^{[3] [2]} Estos algoritmos están diseñados en gran medida basándose en las matemáticas de la transformada de rayos X , el conocimiento estadístico del proceso de adquisición de datos y la geometría del sistema de imágenes de datos.

Algoritmo de reconstrucción de dominio de Fourier

La reconstrucción se puede realizar mediante interpolación. Suponga que las proyecciones se generan en ángulos equidistantes y cada una se muestrea a la misma velocidad. La transformada discreta de Fourier (DFT) en cada proyección produce un muestreo en el dominio de la frecuencia. La combinación de todas las proyecciones muestreadas en frecuencia genera una trama polar en el dominio de la frecuencia. La trama polar es escasa, por lo que se utiliza la interpolación para llenar los puntos DFT desconocidos y la reconstrucción se puede realizar mediante la transformada discreta inversa de Fourier . ^[4] El rendimiento de la reconstrucción puede mejorar diseñando métodos para cambiar la escasez del ráster polar, facilitando la eficacia de la interpolación. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Por ejemplo, se puede obtener un ráster cuadrado concéntrico en el dominio de la frecuencia cambiando el ángulo entre cada proyección de la siguiente manera:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

donde es la frecuencia más alta a evaluar. ${\displaystyle R_{0}}$

El ráster cuadrado concéntrico mejora la eficiencia computacional al permitir que todas las posiciones de interpolación estén en una red DFT rectangular. Además, reduce el error de interpolación. ^[4] Sin embargo, el algoritmo de transformada de Fourier tiene la desventaja de producir resultados inherentemente ruidosos.

Algoritmo de retroproyección

En la práctica de la reconstrucción de imágenes tomográficas, a menudo se utiliza una versión estabilizada y discretizada de la transformada inversa de radón, conocida como algoritmo de retroproyección filtrada . ^[2]

Con un sistema discreto muestreado, la transformada inversa de radón es

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

donde es el espacio angular entre las proyecciones y es un núcleo de radón con respuesta de frecuencia . ${\displaystyle \Delta \theta }$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle |\omega |}$

El nombre de retroproyección proviene del hecho de que una proyección unidimensional necesita ser filtrada por un núcleo de radón unidimensional (retroproyectado) para obtener una señal bidimensional. El filtro utilizado no contiene ganancia de CC, por lo que puede ser conveniente agregar polarización de CC . La reconstrucción mediante retroproyección permite una mejor resolución que el método de interpolación descrito anteriormente. Sin embargo, induce un mayor ruido porque el filtro tiende a amplificar el contenido de alta frecuencia.

Algoritmo de reconstrucción iterativo

El algoritmo iterativo es computacionalmente intensivo pero permite la inclusión de información a priori sobre el sistema . ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$

Sea el número de proyecciones y el operador de distorsión para la enésima proyección tomada en ángulo . son un conjunto de parámetros para optimizar la conversión de iteraciones. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

Una reconstrucción con haz de abanico del Shepp-Logan Phantom con diferente espaciado de sensores. Un espacio más pequeño entre los sensores permite una reconstrucción más fina. La figura fue generada usando MATLAB.

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

Una familia alternativa de algoritmos recursivos de reconstrucción tomográfica son las técnicas de reconstrucción algebraica y la varianza mínima asintótica escasa iterativa .

Reconstrucción con haz de abanico

El uso de un haz de ventilador no colimado es común ya que es difícil obtener un haz de radiación colimado . Los haces en abanico generarán series de integrales de línea, no paralelas entre sí, como proyecciones. El sistema de haz de ventilador requiere un rango de ángulos de 360 ​​grados, lo que impone limitaciones mecánicas, pero permite un tiempo de adquisición de señales más rápido, lo que puede resultar ventajoso en determinados entornos, como en el campo de la medicina. La retroproyección sigue un procedimiento similar de dos pasos que produce la reconstrucción calculando retroproyecciones de suma ponderada obtenidas a partir de proyecciones filtradas.

Reconstrucción del aprendizaje profundo

La influencia del ruido de Poisson en la reconstrucción del aprendizaje profundo, donde el ruido de Poisson hace que U-Net no pueda reconstruir un objeto existente similar a una lesión de alto contraste.

Los métodos de aprendizaje profundo se aplican ampliamente a la reconstrucción de imágenes hoy en día y han logrado resultados impresionantes en diversas tareas de reconstrucción de imágenes, incluida la eliminación de ruido en dosis bajas, la reconstrucción de vista dispersa, la tomografía de ángulo limitado y la reducción de artefactos metálicos. Se puede encontrar una excelente descripción general en el número especial ^[5] de IEEE Transaction on Medical Imaging. Un grupo de algoritmos de reconstrucción de aprendizaje profundo aplica redes neuronales de posprocesamiento para lograr la reconstrucción de imagen a imagen, donde las imágenes de entrada se reconstruyen mediante métodos de reconstrucción convencionales. La reducción de artefactos utilizando U-Net en tomografía de ángulo limitado es una aplicación de ejemplo. ^[6] Sin embargo, pueden aparecer estructuras incorrectas en una imagen reconstruida mediante un método completamente basado en datos, ^[7] como se muestra en la figura. Por tanto, la integración de operadores conocidos en el diseño arquitectónico de redes neuronales parece beneficiosa, como se describe en el concepto de aprendizaje de precisión. ^[8] Por ejemplo, la reconstrucción directa de imágenes a partir de datos de proyección se puede aprender desde el marco de la retroproyección filtrada. ^[9] Otro ejemplo es la construcción de redes neuronales mediante el desarrollo de algoritmos de reconstrucción iterativos. ^[10] Excepto por el aprendizaje de precisión, el uso de métodos de reconstrucción convencionales con reconstrucción de aprendizaje profundo antes ^[11] también es un enfoque alternativo para mejorar la calidad de la imagen de la reconstrucción de aprendizaje profundo.

Software de reconstrucción tomográfica

Los sistemas tomográficos tienen una variabilidad significativa en sus aplicaciones y geometrías (ubicación de fuentes y detectores). Esta variabilidad crea la necesidad de implementaciones muy específicas y personalizadas de los algoritmos de procesamiento y reconstrucción. Por lo tanto, la mayoría de los fabricantes de TC proporcionan su propio software propietario personalizado. Esto se hace no sólo para proteger la propiedad intelectual, sino que también puede ser aplicado por una agencia reguladora gubernamental. De todos modos, hay una serie de paquetes de software de reconstrucción tomográfica de propósito general que se han desarrollado durante las últimas dos décadas, tanto comerciales como de código abierto.

La mayoría de los paquetes de software comerciales que están disponibles para su compra se centran en el procesamiento de datos para sistemas CT de haz cónico de mesa. Algunos de estos paquetes de software incluyen Volume Graphics, InstaRecon, iTomography, Livermore Tomography Tools (LTT) y Cone Beam Software Tools (CST).

Algunos ejemplos notables de software de reconstrucción de código abierto incluyen: Reconstruction Toolkit (RTK), ^[12] CONRAD, ^[13] TomoPy, ^[14] the ASTRA toolbox, ^{[15] [16]} PYRO-NN, ^[17] ODL, ^{[ 18]} TIGRE, ^[19] y SALTO. ^[20]

Galería

En la galería se muestra el proceso completo para una tomografía de objeto simple y la siguiente reconstrucción tomográfica basada en ART.

• 
  Fig. 2: Objeto fantasma , dos cuadrados con forma de gatito.
• 
  Fig. 3: Sinograma del objeto fantasma (Fig.2) resultante de la tomografía. Se tomaron 50 cortes de proyección en un ángulo de 180 grados, muestreados equidistantemente (sólo por coincidencia el eje x marca el desplazamiento en -50/50 unidades).
• Fig.4: Reconstrucción tomográfica basada en ART del sinograma de la Fig.3, presentada como animación sobre el proceso de reconstrucción iterativo. El objeto original podría reconstruirse de forma aproximada, ya que la imagen resultante tiene algunos artefactos visuales .

Ver también

• Operación de tomografía computarizada#Reconstrucción tomográfica
• Reconstrucción de haz cónico
• Tomografía computarizada industrial
• Sistemas de tomografía industrial plc

Referencias

1. Najla Megherbi; Toby P. Breckon; Greg T. Flitton; André Mouton (octubre de 2013). "Generación de artefactos metálicos basada en transformación de radón en proyección de imágenes de amenazas en 3D" (PDF) . Proc. SPIE Óptica y Fotónica para Contraterrorismo, Lucha contra el Crimen y Defensa . vol. 8901. ESPÍA. págs. 1–7. doi :10.1117/12.2028506. S2CID  14001672 . Consultado el 5 de noviembre de 2013 .
2. Dudgeon y Mersereau (1984). Procesamiento de señales digitales multidimensionales . Prentice Hall.
3. Herman, GT, Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de proyección, segunda edición, Springer, 2009
4. R. Mersereau, A. Oppenheim (1974). "Reconstrucción digital de señales multidimensionales a partir de sus proyecciones". Actas del IEEE . 62 (10): 1319-1338. doi :10.1109/proc.1974.9625. hdl : 1721.1/13788 .
5. Wang, Ge; Sí, Jong Chu; Müller, Klaus; Fessler, Jeffrey A (2018). "La reconstrucción de imágenes es una nueva frontera del aprendizaje automático". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 37 (6): 1289-1296. doi :10.1109/TMI.2018.2833635. PMID  29870359. S2CID  46931303.
6. Gu, Jawook; Sí, Jong Chul (2017). "Aprendizaje residual del dominio wavelet de múltiples escalas para la reconstrucción por TC de ángulo limitado" . Totalmente 3D. págs. 443–447.
7. Huang Yixing; Tobias Würfl; Katharina Breininger; Ling Liu; Günter Lauritsch; Andreas Maier (2018). Algunas investigaciones sobre la solidez del aprendizaje profundo en tomografía de ángulo limitado . MICCAI. doi :10.1007/978-3-030-00928-1_17.
8. Maier, Andreas K; Syben, Cristóbal; Stimpel, Bernhard; Wuerfl, Tobías; Hoffman, Mathis; Schebesch, Frank; Fu, Weilin; Mill, Leonid; Kling, Lasse; Christiansen, Silke (2019). "Aprender con operadores conocidos reduce los límites máximos de error". Inteligencia de la máquina de la naturaleza . 1 (8): 373–380. arXiv : 1907.01992 . doi :10.1038/s42256-019-0077-5. PMC 6690833 . PMID  31406960. 
9. Tobías Wuerfl; Mathis Hoffmann; Vicente Christlein; Katharina Breininger; Yixing Huang; Mathías Unberath; Andreas Maier (2018). "Tomografía computarizada de aprendizaje profundo: aprendizaje de los pesos del dominio de proyección del dominio de la imagen en problemas de ángulo limitado". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 37 (6): 1454-1463. doi :10.1109/TMI.2018.2833499. PMID  29870373. S2CID  46935914.
10. J. Adler; O. Öktem (2018). "Reconstrucción primaria-dual aprendida". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 37 (6): 1322-1332. arXiv : 1707.06474 . doi :10.1109/TMI.2018.2799231. PMID  29870362. S2CID  26897002.
11. Huang Yixing; Alejandro Preuhs; Günter Lauritsch; Michael Manhart; Xiaolin Huang; Andreas Maier (2019). "Reducción de artefactos consistente en datos para tomografía de ángulo limitado con aprendizaje profundo previo" . Aprendizaje automático para la reconstrucción de imágenes médicas. arXiv : 1908.06792 . doi :10.1007/978-3-030-33843-5_10.
12. Kit de herramientas de reconstrucción (RTK)
13. Maier, Andrés; Hofmann, Hannes G.; Berger, Martín; Fischer, Peter; Schwemmer, Chris; Wu, Haibo; Müller, Kerstin; Hornegger, Joaquín; Choi, Jang-Hwan; Riess, cristiano; Keil, Andreas; Fahrig, Rebecca (2013). "CONRAD: un marco de software para imágenes de haz cónico en radiología". Física Médica . 40 (11): 111914. Código bibliográfico : 2013MedPh..40k1914M. doi : 10.1118/1.4824926. PMC 3820625 . PMID  24320447. 
14. Gürsoy, Doǧa; De Carlo, Francisco; Xiao, Xianghui; Jacobsen, Chris (2014). "TomoPy: un marco para el análisis de datos de tomografía sincrotrón". Revista de radiación sincrotrón . 22 (5): 1188-1193. Código Bib : 2014SPIE.9212E..0NG. doi :10.1107/S1600577514013939. PMC 4181643 . PMID  25178011. 
15. van Aarle, Wim; Palenstijn, Willem Jan; De Beenhouwer, enero; Altantzis, Thomas; Bals, Sara ; Batenburg, K. Joost; Sijbers, Jan (octubre de 2015). "ASTRA Toolbox: una plataforma para el desarrollo de algoritmos avanzados en tomografía electrónica". Ultramicroscopía . 157 : 35–47. doi :10.1016/j.ultramic.2015.05.002. hdl : 10067/1278340151162165141 . PMID  26057688.
16. van Aarle, Wim; Palenstijn, Willem Jan; No puedo, Jeroen; Janssens, Eline; Bleichrodt, Folkert; Dabravolski, Andrei; De Beenhouwer, enero; Joost Batenburg, K.; Sijbers, enero (2016). "Tomografía de rayos X rápida y flexible utilizando la caja de herramientas de ASTRA". Óptica Express . 24 (22): 35–47. Código Bib : 2016OExpr..2425129V. doi : 10.1364/OE.24.025129 . hdl : 10067/1392160151162165141 . PMID  27828452.
17. Syben, Cristóbal; Michen, Markus; Stimpel, Bernhard; Seitz, Stephan; Plóner, Stefan; Maier, Andreas (2019). "PYRO-NN: Operadores de reconstrucción de Python en redes neuronales". Física Médica . 46 (11): 5110–5115. arXiv : 1904.13342 . Código Bib : 2019MedPh..46.5110S. doi :10.1002/mp.13753. PMC 6899669 . PMID  31389023. 
18. "Odlgrupo/Odl". GitHub .
19. Publicado por la Universidad de Bath y el CERN. Biguri, Ander; Dosanjh, Manjit; Hancock, Steven; Soleimani, Manuchehr (8 de septiembre de 2016). "TIGRE: una caja de herramientas MATLAB-GPU para la reconstrucción de imágenes CBCT". Expreso de Ingeniería y Física Biomédica . 2 (5): 055010. doi : 10.1088/2057-1976/2/5/055010 . ISSN  2057-1976.
    
20. [1] Kim, Hyojin; Champley, Kyle (2023). "Proyector frontal diferenciable para tomografía computarizada de rayos X". ICML . arXiv : 2307.05801 .

Otras lecturas

• Avinash Kak y Malcolm Slaney (1988), Principios de la tomografía computarizada, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3 . 
• Bruyant, PP "Algoritmos de reconstrucción analíticos e iterativos en SPECT" Journal of Nuclear Medicine 43(10):1343-1358, 2002

enlaces externos

• Slaney, AC Kak y Malcolm. "Principios de la tomografía computarizada". Slaney.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
• Kit de herramientas Insight; software de soporte tomográfico de código abierto
• "TomoPy - documentación de TomoPy 1.1.3". Tomopy.readthedocs.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
• caja de herramientas ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp); Software de código abierto muy flexible y rápido para la reconstrucción tomográfica computarizada.
• NiftyRec; software integral de reconstrucción tomográfica de código abierto; Scriptable en Matlab y Python
• Herramienta de visualización y reconstrucción tomográfica de código abierto
• "ITS plc - Tomografía de procesos eléctricos para visualización industrial". Itoms.com . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .