Teorema de proyección de rebanadas

Teorema en matemáticas

Teorema de la rebanada de Fourier

En matemáticas , el teorema de la proyección-segmentación , teorema de la porción central o teorema de la porción de Fourier en dos dimensiones establece que los resultados de los dos cálculos siguientes son iguales:

• Tome una función bidimensional f ( r ), proyéctela (por ejemplo, utilizando la transformada de Radon ) sobre una línea (unidimensional) y realice una transformada de Fourier de esa proyección.
• Tome esa misma función, pero primero haga una transformada de Fourier bidimensional y luego córtela a través de su origen, que es paralelo a la línea de proyección.

En términos del operador, si

• F ₁ y F ₂ son los operadores de transformada de Fourier unidimensionales y bidimensionales mencionados anteriormente,
• P ₁ es el operador de proyección (que proyecta una función 2-D sobre una línea 1-D),
• S ₁ es un operador de corte (que extrae un corte central 1-D de una función),

entonces

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

Esta idea puede extenderse a dimensiones superiores.

Este teorema se utiliza, por ejemplo, en el análisis de tomografías computarizadas médicas , en las que una "proyección" es una imagen de rayos X de un órgano interno. Las transformadas de Fourier de estas imágenes se consideran cortes de la transformada de Fourier de la densidad tridimensional del órgano interno, y estos cortes se pueden interpolar para construir una transformada de Fourier completa de esa densidad. La transformada de Fourier inversa se utiliza entonces para recuperar la densidad tridimensional del objeto. Esta técnica fue derivada por primera vez por Ronald N. Bracewell en 1956 para un problema de radioastronomía. ^[1]

El teorema de la proyección-segmentación ennortedimensiones

En N dimensiones, el teorema de la porción de proyección establece que la transformada de Fourier de la proyección de una función N -dimensional f ( r ) sobre una subvariedad lineal m -dimensional es igual a una porción m -dimensional de la transformada de Fourier N -dimensional de esa función que consiste en una subvariedad lineal m -dimensional que pasa por el origen en el espacio de Fourier que es paralelo a la subvariedad de proyección. En términos de operadores:

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

El teorema generalizado de la rebanada de Fourier

Además de generalizarse a N dimensiones, el teorema de la proyección de rebanadas se puede generalizar aún más con un cambio arbitrario de base. ^[2] Para facilitar la notación, consideramos que el cambio de base se representa como B , una matriz invertible N por N que opera sobre vectores columna N -dimensionales. Entonces, el teorema generalizado de la proyección de rebanadas se puede expresar como

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}}$

donde es la transpuesta de la inversa de la transformada de cambio de base. ${\displaystyle B^{-T}=(B^{-1})^{T}}$

Prueba en dos dimensiones

Ilustración gráfica del teorema de proyección de cortes en dos dimensiones. f ( r ) y F ( k ) son pares de transformadas de Fourier bidimensionales. La proyección de f ( r ) sobre el eje x es la integral de f ( r ) a lo largo de líneas de visión paralelas al eje y y se denomina p ( x ). El corte a través de F ( k ) está sobre el eje k _x , que es paralelo al eje x y se denomina s ( k _x ). El teorema de proyección de cortes establece que p ( x ) y s ( k _x ) son pares de transformadas de Fourier unidimensionales.

El teorema de la proyección de la sección transversal se demuestra fácilmente para el caso de dos dimensiones. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar la línea de proyección como el eje x . No hay pérdida de generalidad porque si utilizamos una línea desplazada y rotada, la ley sigue aplicándose. El uso de una línea desplazada (en y) da la misma proyección y, por lo tanto, los mismos resultados de la transformada de Fourier unidimensional. La función rotada es el par de Fourier de la transformada de Fourier rotada, para la que el teorema se cumple nuevamente.

Si f ( x ,  y ) es una función bidimensional, entonces la proyección de f ( x ,  y ) sobre el eje x es p ( x ) donde

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

La transformada de Fourier de es ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

La rebanada es entonces ${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

que es simplemente la transformada de Fourier de p ( x ). La prueba para dimensiones superiores se generaliza fácilmente a partir del ejemplo anterior.

El ciclo de la FHA

Si la función bidimensional f ( r ) es circularmente simétrica, puede representarse como f ( r ), donde r  = | r |. En este caso, la proyección sobre cualquier línea de proyección será la transformada de Abel de f ( r ). La transformada de Fourier bidimensional de f ( r ) será una función circularmente simétrica dada por la transformada de Hankel de orden cero de f ( r ), que por lo tanto también representará cualquier porción a través del origen. El teorema de proyección-porción establece entonces que la transformada de Fourier de la proyección es igual a la porción o

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

donde A ₁ representa el operador de transformada de Abel, que proyecta una función simétrica circular bidimensional sobre una línea unidimensional, F ₁ representa el operador de transformada de Fourier 1-D y H representa el operador de transformada de Hankel de orden cero.

Extensión a TC de haz en abanico o de haz cónico

El teorema de proyección-corte es adecuado para la reconstrucción de imágenes de TC con proyecciones de haces paralelos. No se aplica directamente a la TC de haz en abanico o haz cónico. El teorema fue extendido a la reconstrucción de imágenes de TC de haz en abanico y haz cónico por Shuang-ren Zhao en 1995. ^[3]

Véase también

• Transformada de Radon § Relación con la transformada de Fourier

Referencias

1. Bracewell, Ronald N. (1956). "Integración de bandas en radioastronomía". Revista australiana de física . 9 (2): 198–217. Código Bibliográfico :1956AuJPh...9..198B. ​​doi : 10.1071/PH560198 .
2. Ng, Ren (2005). "Fotografía de cortes de Fourier" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735–744. doi :10.1145/1073204.1073256.
3. Zhao SR y H. Halling (1995). "Un nuevo método de Fourier para la reconstrucción de haces en abanico". Acta de la conferencia sobre imágenes médicas y simposio sobre ciencias nucleares del IEEE de 1995. Vol. 2. págs. 1287–91. doi :10.1109/NSSMIC.1995.510494. ISBN 978-0-7803-3180-8.S2CID60933220  .​

Lectura adicional

• Bracewell, Ronald N. (1990). "Transformaciones numéricas". Science . 248 (4956): 697–704. Bibcode :1990Sci...248..697B. doi :10.1126/science.248.4956.697. PMID  17812072. S2CID  5643835.
• Bracewell, Ronald N. (1956). "Integración de bandas en radioastronomía". Aust. J. Phys . 9 (2): 198. Bibcode :1956AuJPh...9..198B. ​​doi : 10.1071/PH560198 .
• Gaskill, Jack D. (2005). Sistemas lineales, transformadas de Fourier y óptica . John Wiley & Sons, Nueva York. ISBN 978-0-471-29288-3.
• Ng, Ren (2005). "Fotografía de cortes de Fourier" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735–744. doi :10.1145/1073204.1073256.
• Zhao, Shuang-Ren; Halling, Horst (1995). "Reconstrucción de proyecciones de haz cónico con trayectoria de fuente libre mediante un método generalizado de Fourier". Actas de la Reunión internacional de 1995 sobre reconstrucción de imágenes completamente tridimensionales en radiología y medicina nuclear : 323–7.
• Garces, Daissy H.; Rhodes, William T.; Peña, Néstor (2011). "El teorema de proyección-segmento: una notación compacta". Journal of the Optical Society of America A . 28 (5): 766–769. Bibcode :2011JOSAA..28..766G. doi :10.1364/JOSAA.28.000766. PMID  21532686.

Enlaces externos

• Teorema de la sección de Fourier (vídeo). Parte del curso "Tomografía computarizada y la caja de herramientas ASTRA". Universidad de Amberes . 10 de septiembre de 2015.