Ley de Peirce

Axioma utilizado en lógica y filosofía

En lógica , la ley de Peirce recibe su nombre del filósofo y lógico Charles Sanders Peirce . Fue tomada como axioma en su primera axiomatización de la lógica proposicional . Puede considerarse como la ley del tercero excluido escrita en una forma que involucra solo un tipo de conectivo, a saber, la implicación.

En cálculo proposicional , la ley de Peirce dice que (( P → Q )→ P )→ P . Escrito en términos simples, esto significa que P debe ser verdadera si existe una proposición Q tal que la verdad de P se sigue de la verdad de "si P entonces Q ".

La ley de Peirce no se cumple en la lógica intuicionista ni en las lógicas intermedias y no puede deducirse únicamente del teorema de deducción .

Según el isomorfismo de Curry-Howard , la ley de Peirce es el tipo de operadores de continuación , por ejemplo, call/cc en Scheme . ^[1]

Historia

He aquí la propia declaración de la ley por parte de Peirce:

Se requiere un quinto icono para el principio del tercero excluido y otras proposiciones relacionadas con él. Una de las fórmulas más simples de este tipo es:

Esto no es precisamente axiomático. Su veracidad se deduce de lo siguiente: sólo puede ser falsa si el consecuente final x es falso mientras que su antecedente ( x ⤙ y ) ⤙ x es verdadero. Si esto es verdadero, o bien su consecuente, x , es verdadero, cuando la fórmula entera sería verdadera, o bien su antecedente x ⤙ y es falso. Pero en el último caso, el antecedente de x ⤙ y , es decir x , debe ser verdadero. (Peirce, Collected Papers 3.384).

Peirce continúa señalando una aplicación inmediata de la ley:

De la fórmula que acabamos de dar, obtenemos inmediatamente:

donde a se utiliza en el sentido de que ( x ⤙ y ) ⤙ a significa que de ( x ⤙ y ) se sigue toda proposición. Con esa comprensión, la fórmula enuncia el principio del tercio excluido, según el cual de la falsedad de la negación de x se sigue la verdad de x . (Peirce, Collected Papers 3.384).

Advertencia : Como se explica en el texto, " a " aquí no denota un átomo proposicional, sino algo así como la fórmula proposicional cuantificada . La fórmula (( x → y ) → a ) → x no sería una tautología si a se interpretara como un átomo. ${\displaystyle \forall p\,p}$

Relaciones entre principios

En la lógica intuicionista, si se prueba o se rechaza, o si es demostrablemente válido, entonces se cumple la ley de Pierce para las dos proposiciones. Pero el caso especial de la ley cuando se rechaza, llamado consequentia mirabilis , es equivalente al tercio excluido ya sobre la lógica minimal . Esto también significa que la ley de Piece implica la lógica clásica sobre la lógica intuicionista, como también se muestra a continuación. Intuicionistamente, ni siquiera la restricción implica la ley para dos proposiciones. Postular que esta última es válida da como resultado la lógica intermedia de Smetanich . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q\to P}$

Resulta útil considerar la ley de Pierce en la forma equivalente . De hecho, de se sigue , y por lo tanto es equivalente a . El caso ahora muestra directamente cómo la eliminación de la doble negación implica consequentia mirabilis sobre la lógica mínima. ${\displaystyle ((P\to Q)\to (P\land Q))\to P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow (P\land Q)}$ ${\displaystyle (P\to Q)\to P}$ ${\displaystyle (P\to Q)\to (P\land Q)}$ ${\displaystyle Q=\bot }$ ${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

En lógica intuicionista, la explosión puede usarse para , y por lo tanto aquí el caso especial de la ley consequentia mirabilis también implica la eliminación de la doble negación. Como el medio excluido doblemente negado siempre es válido incluso en lógica minimal, esto también prueba intuicionistamente el medio excluido. En la otra dirección, uno también puede mostrar intuicionistamente que el medio excluido implica la ley de Piece directamente. Para este fin, note que usando el principio de explosión , el medio excluido puede expresarse como . En palabras, esto puede expresarse como: "Toda proposición se cumple o implica cualquier otra proposición". Ahora, para probar la ley, note que es derivable de solo la introducción de implicación por un lado y el modus ponens por el otro. Finalmente, en lugar de considere . ${\displaystyle \bot \to (P\land \bot )}$ ${\displaystyle P\lor (P\to Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\lor R)\to ((R\to P)\to P)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P\to Q}$

Otra prueba de la ley en lógica clásica procede pasando por el silogismo disyuntivo inverso, que es válido clásicamente , dos veces: Primero, observe que está implícito en , que es intuicionistamente equivalente a . Ahora bien, la explosión implica que implica , y el uso del término medio excluido para implica que estos dos son, de hecho, equivalentes. En conjunto, esto significa que en lógica clásica es equivalente a . ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle (\neg \neg P\land \neg Q)\lor P}$ ${\displaystyle \neg (\neg P\lor Q)\lor P}$ ${\displaystyle \neg A\lor B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\to Q)\to P}$

Utilizando la ley de Peirce con el teorema de deducción

La ley de Peirce permite mejorar la técnica de uso del teorema de deducción para demostrar teoremas. Supongamos que se nos da un conjunto de premisas Γ y queremos deducir una proposición Z a partir de ellas. Con la ley de Peirce, se pueden añadir (sin coste) premisas adicionales de la forma Z → P a Γ. Por ejemplo, supongamos que se nos da P → Z y ( P → Q )→ Z y queremos deducir Z para poder utilizar el teorema de deducción para concluir que ( P → Z )→((( P → Q )→ Z )→ Z ) es un teorema. Entonces podemos añadir otra premisa Z → Q . A partir de eso y P → Z , obtenemos P → Q . Después aplicamos modus ponens con ( P → Q )→ Z como premisa mayor para obtener Z . Aplicando el teorema de deducción, obtenemos que ( Z → Q )→ Z se sigue de las premisas originales. Luego usamos la ley de Peirce en la forma (( Z → Q )→ Z )→ Z y modus ponens para derivar Z de las premisas originales. Luego podemos terminar de demostrar el teorema como pretendíamos originalmente.

Completitud del cálculo proposicional implicacional

Una razón por la que la ley de Peirce es importante es que puede sustituir a la ley del tercero excluido en la lógica que sólo utiliza implicación. Las oraciones que se pueden deducir de los esquemas axiomáticos:

• P →( Q → P )
• ( P → ( Q → R ))→(( P → Q )→( P → R ))
• (( P → Q )→ P )→ P
• de P y P → Q inferimos Q

(donde P , Q , R contienen solo "→" como conectivo) son todas las tautologías que utilizan solo "→" como conectivo.

Fallo en los modelos no clásicos de lógica intuicionista

Dado que la ley de Peirce implica la ley del tercero excluido, siempre debe fallar en lógicas intuicionistas no clásicas. Un contraejemplo explícito simple es el de las lógicas multivaluadas de Gödel , que son una lógica difusa donde los valores de verdad son números reales entre 0 y 1, con implicación material definida por:

${\displaystyle {\begin{aligned}u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

y donde la ley de Peirce como fórmula se puede simplificar a:

${\displaystyle {\begin{aligned}((u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\u,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

donde el hecho de que siempre sea cierto equivaldría a la afirmación de que u > v implica u = 1, lo cual es cierto solo si 0 y 1 son los únicos valores permitidos. Al mismo tiempo, sin embargo, la expresión nunca puede ser igual al valor de verdad inferior de la lógica y su doble negación siempre es verdadera.

Véase también

• Bibliografía de Charles Sanders Peirce

Notas

1. Timothy G. Griffin, A Formulae-as-Types Notion of Control, 1990 - Griffin define K en la página 3 como un equivalente a call/cc de Scheme y luego analiza su tipo como equivalente a la ley de Peirce al final de la sección 5 en la página 9.

Lectura adicional

• Peirce, CS, "Sobre el álgebra de la lógica: una contribución a la filosofía de la notación", American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reimpreso en Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 y Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5, 162–190.
• Peirce, CS, Documentos recopilados de Charles Sanders Peirce , vols. 1–6, Charles Hartshorne y Paul Weiss (eds.), vols. 7–8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.