Relación de dispersión

Relación longitud de onda/número de onda en función de la frecuencia de una onda

En un prisma, la dispersión hace que diferentes colores se refracten en diferentes ángulos, dividiendo la luz blanca en un arco iris de colores.

En las ciencias físicas y la ingeniería eléctrica , las relaciones de dispersión describen el efecto de la dispersión sobre las propiedades de las ondas en un medio. Una relación de dispersión relaciona la longitud de onda o el número de onda de una onda con su frecuencia . Dada la relación de dispersión, se puede calcular la velocidad de fase dependiente de la frecuencia y la velocidad de grupo de cada componente sinusoidal de una onda en el medio, en función de la frecuencia. Además de las relaciones de dispersión que dependen de la geometría y del material, las relaciones generales de Kramers-Kronig describen la dependencia de la frecuencia de la propagación y atenuación de las ondas .

La dispersión puede deberse a condiciones de contorno geométricas ( guías de ondas , aguas poco profundas) o a la interacción de las ondas con el medio transmisor. Las partículas elementales , consideradas como ondas de materia , tienen una relación de dispersión no trivial, incluso en ausencia de restricciones geométricas y otros medios.

En presencia de dispersión, una onda no se propaga con una forma de onda invariable, lo que da lugar a velocidades de fase y velocidades de grupo dependientes de la frecuencia distintas .

Dispersión

La dispersión ocurre cuando ondas sinusoidales de diferentes longitudes de onda tienen diferentes velocidades de propagación, de modo que un paquete de ondas de longitudes de onda mixtas tiende a extenderse en el espacio. La velocidad de una onda plana, , es función de la longitud de onda de la onda : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle v=v(\lambda ).}$

La velocidad, longitud de onda y frecuencia de la onda, f , están relacionadas por la identidad

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

La función expresa la relación de dispersión del medio dado. Las relaciones de dispersión se expresan más comúnmente en términos de frecuencia angular y número de onda . Reescribir la relación anterior en estas variables da ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

donde ahora vemos f como una función de k . El uso de ω ( k ) para describir la relación de dispersión se ha vuelto estándar porque tanto la velocidad de fase ω / k como la velocidad de grupo dω / dk tienen representaciones convenientes a través de esta función.

Las ondas planas consideradas pueden describirse mediante

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

dónde

• A es la amplitud de la onda,
• Un ₀ = Un (0, 0),
• x es una posición a lo largo de la dirección de viaje de la onda, y
• t es el momento en el que se describe la onda.

Ondas planas en el vacío.

Las ondas planas en el vacío son el caso más simple de propagación de ondas: sin restricción geométrica, sin interacción con un medio transmisor.

Ondas electromagnéticas en el vacío.

Para ondas electromagnéticas en el vacío, la frecuencia angular es proporcional al número de onda:

${\displaystyle \omega =ck.}$

Esta es una relación de dispersión lineal . En este caso, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son las mismas:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

y por tanto ambos son iguales a la velocidad de la luz en el vacío, que es independiente de la frecuencia.

Relaciones de dispersión de De Broglie

Para las ondas de materia de De Broglie, la relación de dispersión de frecuencia no es lineal:

$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Derivación

Si bien las aplicaciones de ondas de materia ocurren a velocidades no relativistas, De Broglie aplicó la relatividad especial para derivar sus ondas. Partiendo de la relación relativista energía-momento :

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

relaciones de De Broglielas ondas de materia

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

donde ω es la frecuencia angular y k es el vector de onda con magnitud | k | = k , igual al número de onda . Divide por y saca la raíz cuadrada. Esto da la relación de dispersión de frecuencia relativista : ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

El trabajo práctico con ondas de materia se produce a una velocidad no relativista. Para aproximarnos, sacamos la frecuencia dependiente de la masa en reposo:

$${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Luego vemos que el factor es muy pequeño por lo que para que no sea muy grande, ampliamos y multiplicamos: ${\displaystyle \hbar /c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$

$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

ecuación de Schrödinger

Frecuencia versus número de onda

Como se mencionó anteriormente, cuando el enfoque en un medio está en la refracción en lugar de en la absorción, es decir, en la parte real del índice de refracción , es común referirse a la dependencia funcional de la frecuencia angular con el número de onda como relación de dispersión . Para las partículas, esto se traduce en un conocimiento de la energía como función del momento.

Ondas y óptica

El nombre "relación de dispersión" proviene originalmente de óptica . Es posible hacer que la velocidad efectiva de la luz dependa de la longitud de onda haciendo que la luz pase a través de un material que tenga un índice de refracción no constante , o usando luz en un medio no uniforme como una guía de ondas . En este caso, la forma de onda se extenderá a lo largo del tiempo, de modo que un pulso estrecho se convertirá en un pulso extendido, es decir, se dispersará. En estos materiales, se conoce como velocidad de grupo ^[1] y corresponde a la velocidad a la que se propaga el pico del pulso, valor diferente a la velocidad de fase . ^[2] ${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

olas de aguas profundas

Dispersión de frecuencia de ondas de gravedad superficiales en aguas profundas. El ■ cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los ● puntos verdes se propagan con la velocidad de grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad del grupo. El ■ cuadrado rojo atraviesa la figura en el tiempo que le toma al ● punto verde atravesar la mitad.

La relación de dispersión para ondas en aguas profundas a menudo se escribe como

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

donde g es la aceleración de la gravedad. A este respecto, el agua profunda se denomina comúnmente el caso en el que la profundidad del agua es mayor que la mitad de la longitud de onda. ^[3] En este caso la velocidad de fase es

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

y la velocidad del grupo es

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Ondas en una cuerda

Latidos de dos frecuencias de una onda transversal no dispersiva. Como la onda no es dispersiva, las velocidades ● de fase y ● de grupo son iguales.

Para una cuerda ideal, la relación de dispersión se puede escribir como

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

donde T es la fuerza de tensión en la cuerda y μ es la masa de la cuerda por unidad de longitud. Como en el caso de las ondas electromagnéticas en el vacío, las cuerdas ideales son, por tanto, un medio no dispersivo, es decir, las velocidades de fase y de grupo son iguales e independientes (de primer orden) de la frecuencia de vibración.

Para una cuerda no ideal, donde se tiene en cuenta la rigidez, la relación de dispersión se escribe como

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

donde es una constante que depende de la cadena. ${\displaystyle \alpha }$

Estructura de banda de electrones

En el estudio de los sólidos, el estudio de la relación de dispersión de los electrones es de suma importancia. La periodicidad de los cristales significa que son posibles muchos niveles de energía para un momento dado y que algunas energías pueden no estar disponibles en ningún momento. La colección de todas las energías y momentos posibles se conoce como estructura de bandas de un material. Las propiedades de la estructura de la banda definen si el material es un aislante , semiconductor o conductor .

fonones

Los fonones son a las ondas sonoras en un sólido lo que los fotones a la luz: son los cuantos que la transportan. La relación de dispersión de los fonones tampoco es trivial e importante, ya que está directamente relacionada con las propiedades acústicas y térmicas de un material. Para la mayoría de los sistemas, los fonones se pueden clasificar en dos tipos principales: aquellos cuyas bandas se vuelven cero en el centro de la zona de Brillouin se denominan fonones acústicos , ya que corresponden al sonido clásico en el límite de las longitudes de onda largas. Los demás son fonones ópticos , ya que pueden excitarse mediante radiación electromagnética.

óptica electrónica

Con electrones de alta energía (p. ej., 200 keV, 32 fJ) en un microscopio electrónico de transmisión , la dependencia energética de las líneas de zona de Laue (HOLZ) de orden superior en patrones de difracción de electrones de haz convergente (CBED) permite, en efecto, directamente Secciones transversales de imágenes de la superficie de dispersión tridimensional de un cristal . ^[4] Este efecto dinámico ha encontrado aplicación en la medición precisa de parámetros de red, energía del haz y, más recientemente, para la industria electrónica: tensión de red.

Historia

Isaac Newton estudió la refracción en prismas pero no reconoció la dependencia material de la relación de dispersión, descartando el trabajo de otro investigador cuya medición de la dispersión de un prisma no coincidía con la del propio Newton. ^[5]

La dispersión de las ondas en el agua fue estudiada por Pierre-Simon Laplace en 1776. ^[6]

La universalidad de las relaciones Kramers-Kronig (1926-27) se hizo evidente en artículos posteriores sobre la conexión de la relación de dispersión con la causalidad en la teoría de la dispersión de todos los tipos de ondas y partículas. ^[7]

Ver también

• Elipsometría
• Pulso ultracorto
• Ondas en plasmas

Referencias

1. FA Jenkins y HE White (1957). Fundamentos de la óptica . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 223.ISBN _ 0-07-032330-5.
2. RA Serway, CJ Moses y CA Moyer (1989). Física Moderna . Filadelfia: Saunders. pag. 118.ISBN _ 0-534-49340-8.
3. RG Dean y RA Dalrymple (1991). Mecánica de ondas de agua para ingenieros y científicos . Serie avanzada sobre ingeniería oceánica. vol. 2. World Scientific, Singapur. ISBN 978-981-02-0420-4.Consulte las páginas 64–66.
4. PM Jones, GM Rackham y JW Steeds (1977). "Efectos de la zona de Laue de orden superior en la difracción de electrones y su uso en la determinación de parámetros de red". Actas de la Royal Society . A 354 (1677): 197. Código bibliográfico : 1977RSPSA.354..197J. doi :10.1098/rspa.1977.0064. S2CID  98158162.
5. Páramos de Poniente, Richard S. (1983). Nunca en reposo: una biografía de Isaac Newton (edición revisada e ilustrada). Universidad de Cambridge. pag. 276.ISBN _ 9780521274357.
6. AÑADIR Craik (2004). "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 36 : 1–28. Código Bib : 2004AnRFM..36....1C. doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
7. John S. Peaje (1956). "Causalidad y relación de dispersión: fundamentos lógicos". Física. Rdo . 104 (6): 1760-1770. Código bibliográfico : 1956PhRv..104.1760T. doi : 10.1103/PhysRev.104.1760.

enlaces externos

• Póster sobre simulaciones CBED para ayudar a visualizar superficies de dispersión, por Andrey Chuvilin y Ute Kaiser
• Calculadora de frecuencia angular