Bipirámide

En geometría, una bipirámide , bipirámide o pirámide doble es un poliedro formado por la fusión de dos pirámides base con base. Por lo tanto, la base poligonal de cada pirámide debe ser la misma y, a menos que se especifique lo contrario, los vértices de la base suelen ser coplanares y una bipirámide suele ser simétrica , lo que significa que las dos pirámides son imágenes especulares a través de su plano de base común. Cuando cada vértice ( pl. ápices, los vértices fuera de la base) de la bipirámide está en una línea perpendicular a la base y que pasa por su centro, es una bipirámide recta ; ^[a] en caso contrario es oblicua . Cuando la base es un polígono regular , la bipirámide también se llama regular .

Definición y propiedades

La bipirámide triangular , la bipirámide cuadrada y la bipirámide pentagonal .

Una bipirámide es un poliedro construido fusionando dos pirámides que comparten la misma base poligonal ; ^[1] a su vez, una pirámide se construye conectando cada vértice de su base a un único vértice nuevo (el vértice ) que no se encuentra en el plano de la base, ya que la base angular forma caras triangulares además de la cara de la base. Por lo tanto, la bipirámide angular tiene caras, aristas y vértices. ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización 2n}$ ${\estilo de visualización 3n}$ ${\estilo de visualización n+2}$ De manera más general, una pirámide recta es una pirámide cuyos vértices están en la línea perpendicular que pasa por el centroide de un polígono arbitrario o el incentro de un polígono tangencial , dependiendo de la fuente. ^[a] Asimismo, una bipirámide recta es un poliedro construido uniendo dos bases de bipirámide recta simétricas; las bipirámides cuyos vértices no están en esta línea se denominan bipirámides oblicuas . ^[2]

Cuando las dos pirámides son imágenes especulares, la bipirámide se llama simétrica . Se llama regular si su base es un polígono regular . ^[1] Cuando la base es un polígono regular y los vértices están en la línea perpendicular que pasa por su centro (una bipirámide recta regular ), entonces todas sus caras son triángulos isósceles ; a veces el nombre bipirámide se refiere específicamente a bipirámides rectas regulares simétricas, ^[3] Ejemplos de tales bipirámides son la bipirámide triangular , el octaedro (bipirámide cuadrada) y la bipirámide pentagonal . En el caso de que todas sus aristas tengan la misma longitud, estas formas consisten en caras de triángulos equiláteros , lo que las convierte en deltaedros ; ^[4]^[5] la bipirámide triangular y la bipirámide pentagonal son sólidos de Johnson , y el octaedro regular es un sólido platónico . ^[6]

Las bipirámides rectas regulares simétricas tienen simetría prismática , con grupo de simetría diedro de orden : no cambian cuando se rotan una vuelta alrededor del eje de simetría , se reflejan a través de cualquier plano que pase por ambos vértices y un vértice de la base o ambos vértices y el centro de una arista de la base, o se reflejan a través del plano de espejo. ^[7] Debido a que sus caras son transitivas bajo estas transformaciones de simetría, son isoédricas . ^[8]^[9] Son los poliedros duales de los prismas y los prismas son también los duales de las bipirámides; los vértices de las bipirámides corresponden a las caras del prisma, y las aristas entre pares de vértices de una corresponden a las aristas entre pares de caras de la otra, y viceversa. ^[10] Los prismas comparten la misma simetría que las bipirámides. ^[11] El octaedro regular es aún más simétrico, pues sus vértices de base y sus vértices son indistinguibles y pueden intercambiarse por reflexiones o rotaciones ; el octaedro regular y su dual, el cubo , tienen simetría octaédrica . ^[12] $Estilo de visualización D_{nh}}$ ${\estilo de visualización 4n}$ ${\estilo de visualización 1/n}$

El volumen de una bipirámide simétrica es donde $B$ es el área de la base y $h$ la altura desde el plano de la base hasta cualquier vértice. En el caso de un polígono regular de lados con longitud de lado y cuya altura es , el volumen de dicha bipirámide es: ${\frac {2}{3}}Bh,$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización s}$ ${\estilo de visualización h}$ ${\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Bipirámides relacionadas y otros tipos

Bipirámides cóncavas

Una bipirámide cóncava tiene una base poligonal cóncava , y un ejemplo es una bipirámide tetragonal cóncava o un octaedro cóncavo irregular. Una bipirámide con una base poligonal arbitraria podría considerarse una bipirámide recta si los vértices están en una línea perpendicular a la base que pasa por el centroide de la base .

Bipirámides asimétricas

Una bipirámide asimétrica tiene vértices que no están reflejados en el plano base; en una bipirámide recta esto solo sucede si cada vértice está a una distancia diferente de la base.

El dual de una bipirámide $n -gonal recta asimétrica es un$ tronco $n$ -gonal .

Una bipirámide $n$ -gonal regular asimétrica tiene grupo de simetría $C n v$ , de orden $2 n$ .

Bipirámides de triángulos escalenos

Ejemplo: bipirámide ditetragonal (

2 n = 2\times4

)

Una bipirámide di- $n$ -gonal recta (simétrica) isotoxal es una bipirámide $2 n$ -gonal recta (simétrica) con una base poligonal plana isotoxal $: sus 2 n$ vértices basales son coplanares, pero se alternan en dos radios .

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrico . Puede considerarse como otro tipo de escalenoedro di- $n$ -gonal simétrico recto, con una base poligonal plana isotoxal.

$Una bipirámide di- n$ -gonal isotoxal recta (simétrica) tiene $n$ ejes de rotación dobles a través de vértices basales opuestos, $n$ planos de reflexión a través de bordes apicales opuestos, un eje de rotación $n$ -plegable a través de ápices, un plano de reflexión a través de la base y un eje de rotación-reflexión $n$ -plegable a través de ápices, ^[13] representando un grupo de simetría $D$ $n$ $h$ $, [$ $n$ $,2], (*22$ $n$ $),$ de orden $4$ $n$ . (La reflexión sobre el plano base corresponde a la rotación-reflexión $de 0° . Si$ $n$ es par, entonces hay una simetría de inversión sobre el centro, correspondiente a la rotación-reflexión $de 180° .)$

Ejemplo con $2 n = 2\times3$ :

Una bipirámide ditrigonal recta (simétrica) isotoxal tiene tres planos verticales de simetría similares, que se intersecan en un eje de rotación

triple (vertical); perpendicular a ellos hay un cuarto plano de simetría (horizontal); en la intersección de los tres planos verticales con el plano horizontal hay tres ejes de rotación

doble

(horizontales) similares ; no hay un centro de simetría de inversión, ^[14] pero hay un centro de simetría : el punto de intersección de los cuatro ejes.

Ejemplo con $2 n = 2\times4$ :

Una bipirámide ditetragonal isotoxal recta (simétrica) tiene cuatro planos verticales de simetría de dos tipos, que se intersecan en un eje de rotación

cuádruple

(vertical) ; perpendicular a ellos hay un quinto plano de simetría (horizontal); en la intersección de los cuatro planos verticales con el plano horizontal hay cuatro ejes de rotación bidireccional (horizontales)

de

dos tipos, cada uno perpendicular a un plano de simetría; dos planos verticales bisecan los ángulos entre dos ejes horizontales; y hay un centro de simetría de inversión. ^[15]

Doble ejemplo:

La bipirámide con vértices de base U, U', V, V' de 2×2 isotoxales y vértices A, A' simétricos rectos tiene sus caras isósceles. En efecto: ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$
- Longitud del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Longitudes de los bordes de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\, ;$
- Longitudes del borde apical inferior (iguales a las longitudes del borde superior): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{aligned}}$

La bipirámide con los mismos vértices de la base, pero con vértices rectos simétricos, también tiene sus caras isósceles. En efecto: ${\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}$
- Longitud del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde base (igual al ejemplo anterior): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\, ;$
- Longitudes del borde apical inferior (iguales a las longitudes del borde superior): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

En cristalografía , existen bipirámides isotoxales rectas (simétricas) didigonales ^[b] (8 caras), ditrigonales (12 caras), ditetragonales (16 caras) y dihexagonales (24 caras). ^[13]^[16]

Escalenoedros

Ejemplo: escalenoedro ditrigonal (

2 n = 2\times3

)

Un escalenoedro es similar a una bipirámide; la diferencia es que los escalenoedros tienen un patrón en zigzag en los bordes medios. ^[17]

Tiene dos vértices y $2 n$ vértices basales, $4 n$ caras y $6 n$ aristas; es topológicamente idéntica a una bipirámide $2 n$ $-gonal, pero sus 2 n$ vértices basales se alternan en dos anillos por encima y por debajo del centro. ^[16]

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrica . Puede considerarse como otro tipo de bipirámide di- $n$ -gonal simétrica recta, con una base de polígono inclinado en zigzag regular.

$Un escalenoedro di- n$ -gonal regular y simétrico recto tiene $n$ ejes de rotación dobles a través de bordes medios basales opuestos, $n$ planos de reflexión a través de bordes apicales opuestos, un eje de rotación $n$ -plegable a través de ápices y un eje de rotación-reflexión $2 n$ -plegable a través de ápices (alrededor de los cuales $1$ $n$ rotaciones-reflexiones preservan globalmente el sólido), ^[13] representando un grupo de simetría $D$ $n$ $v$ $= D$ $n$ $d$ $, [2$ $+$ $,2$ $n$ $], (2*$ $n$ $),$ de orden $4$ $n$ . (Si $n$ es impar, entonces hay una simetría de inversión alrededor del centro, correspondiente a la rotación-reflexión $de 180° ).$

Ejemplo con $2 n = 2\times3$ :

Un escalenoedro ditrigonal simétrico recto regular tiene tres planos de simetría verticales similares inclinados entre sí a

60°

y que se intersecan en un eje de rotación

triple

(vertical) , tres ejes de rotación

doble

horizontales similares , cada uno perpendicular a un plano de simetría, un centro de simetría de inversión, ^[18] y un eje de rotación-reflexión séxtuple

vertical .

Ejemplo con $2 n = 2\times2$ :

Un escalenoedro didigonal simétrico recto regular tiene sólo un eje de rotación vertical y dos horizontales de

2

ejes, dos planos de simetría verticales, que bisecan los ángulos entre el par de ejes horizontales, y un eje de rotación-reflexión vertical de

4

^{ejes; [19]} no tiene centro de simetría de inversión.

Porque como máximo dos valores particulares de las caras de dicho escalenoedro pueden ser isósceles . $z_{A}=|z_{A'}|,$

Doble ejemplo:

El escalenoedro con vértices de base de 2×2 -gonos en zigzag regulares y oblicuo U, U', V, V' y vértices rectos simétricos A, A' tiene sus caras isósceles. En efecto: ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$
- Longitud del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\, ;$
- Longitudes de los bordes apicales inferiores (iguales a las longitudes de los bordes superiores intercambiadas): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

El escalenoedro con los vértices de la base iguales, pero con vértices rectos simétricos, también tiene sus caras isósceles. En efecto: ${\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}$
- Longitud del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde base (igual al ejemplo anterior): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\, ;$
- Longitudes de los bordes apicales inferiores (iguales a las longitudes de los bordes superiores intercambiadas): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{aligned}}$

En cristalografía existen escalenoedros regulares simétricos rectos didigonales ( $de 8$ caras) y ditrigonales ( $de 12 caras).$ ^[13]^[16]

Los escalenoedros geométricos más pequeños tienen ocho caras y son topológicamente idénticos al octaedro regular . En este caso ( $2 n = 2\times2$ ), en cristalografía, un escalenoedro regular didigonal ( de $8$ caras) simétrico recto se denomina escalenoedro tetragonal . ^[13]^[16]

Centrémonos temporalmente en los escalenoedros regulares rectos simétricos de $8 caras con$ $h = r,$ es decir, sus dos vértices pueden representarse como $A, A'$ y sus cuatro vértices basales como $U, U', V, V'$ : donde $z$ es un parámetro entre $0$ y $1$ . $z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\ \U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{ alineado}}$

En $z = 0$ , es un octaedro regular; en $z = 1$ , tiene cuatro pares de caras coplanares, y al fusionarlas en cuatro triángulos isósceles congruentes, se convierte en un disfenoide ; para $z > 1$ , es cóncavo.

Si la base $2 n$ -gon es a la vez isotoxal de adentro hacia afuera y en zigzag , entonces no todas las caras del escalenoedro simétrico recto isotoxal son congruentes.

Ejemplo con cinco longitudes de borde diferentes:

El escalenoedro con vértices de base U, U', V, V' de 2×2 -gonos isotoxales en zigzag hacia dentro y hacia fuera y vértices A, A' simétricos rectos tiene caras superiores escalenas congruentes y caras inferiores escalenas congruentes, pero no todas sus caras son congruentes. En efecto: ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$
- Longitud del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;$
- Longitudes del borde apical inferior: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

Para algunos valores particulares de $z A = | z A' |$ , la mitad de las caras de dicho escalenoedro pueden ser isósceles o equiláteras .

Ejemplo con tres longitudes de borde diferentes:

El escalenoedro con vértices de base U, U', V, V' de 2×2 -gonos isotoxales en zigzag hacia dentro y hacia fuera y vértices A, A' simétricos rectos tiene caras superiores escalenas congruentes y caras inferiores equiláteras congruentes; por lo tanto, no todas sus caras son congruentes. En efecto: ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$
- Longitud del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;$
- Longitud(es) del borde apical inferior: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

Bipirámides estelares

Una bipirámide estelar tiene una base poligonal en forma de estrella y es autointersecante. ^[20]

Una bipirámide estelar regular y simétrica tiene caras de triángulos isósceles congruentes y es isoédrica .

Una $p / q$ -bipirámide tiene diagrama de Coxeter .

4-politopos con células bipiramidales

El dual de la rectificación de cada 4-politopos regulares convexos es un 4-politopo transitivo de celdas con celdas bipiramidales. A continuación:

$A$ es el vértice del vértice de la bipirámide;
$E$ es un vértice del ecuador;
$EE$ es la distancia entre vértices adyacentes en el ecuador (igual a 1);
$AE$ es la longitud del borde desde el vértice hasta el ecuador;
$AA$ es la distancia entre los ápices.

El politopo bipiramidal de 4 lados tendrá $V A$ vértices donde se encuentran los vértices de $N A$ bipirámides. Tendrá $V E$ vértices donde se encuentran los vértices de tipo $E de$ $N E$ bipirámides.

Las bipirámides $N_{\overline {AE}}$ se encuentran a lo largo de cada borde tipo $AE$ .
Las bipirámides $N_{\overline {EE}}$ se encuentran a lo largo de cada borde tipo $EE$ .
⁠ ⁠ $C_{\overline {AE}}$ es el coseno del ángulo diedro a lo largo de un borde $AE$ .
⁠ ⁠ $C_{\overline {EE}}$ es el coseno del ángulo diedro a lo largo de un borde $EE$ .

Como las células deben encajar alrededor de un borde, ${\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}$

Otras dimensiones

Una "bipirámide" $n$ -dimensional generalizada es cualquier politopo $n$ construido a partir de una base de ( $n - 1)$ -politopo que se encuentra en un hiperplano , con cada vértice de la base conectado por una arista a dos vértices del vértice . Si el $($ $n$ $- 1)$ -politopo es un politopo regular y los vértices son equidistantes de su centro a lo largo de la línea perpendicular al hiperplano base, tendrá facetas piramidales idénticas .

Un análogo bidimensional de una bipirámide simétrica recta se forma uniendo dos triángulos isósceles congruentes base con base para formar un rombo . En términos más generales, una cometa es un análogo bidimensional de una bipirámide recta (posiblemente asimétrica), y cualquier cuadrilátero es un análogo bidimensional de una bipirámide general.

Véase también

Trapezoedro

Notas

^ ab El centro de un polígono regular es inequívoco, pero en el caso de los polígonos irregulares, las fuentes no están de acuerdo. Algunas fuentes solo permiten que una pirámide recta tenga un polígono regular como base. Otras definen una pirámide recta como aquella que tiene sus vértices en una línea perpendicular a la base y que pasa por su centroide . Polya (1954) restringe las pirámides rectas a aquellas que tienen un polígono tangencial como base, con los vértices en una línea perpendicular a la base y que pasa por el incentro .
^ Las bipirámides di- $n$ -gonales geométricas más pequeñas tienen ocho caras y son topológicamente idénticas al octaedro regular . En este caso ( $2 n = 2\times2$ ):
una bipirámide didigonal isotoxal recta (simétrica) se llama bipirámide rómbica , ^[13]^[16] aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.
^ Dado numéricamente debido a su forma más compleja.
^ La celda rectificada de 16 celdas es la celda regular de 24 celdas y los vértices son todos equivalentes: los octaedros son bipirámides regulares.

Citas

^ ab Aarts, JM (2008). Geometría plana y sólida. Springer. pág. 303. doi :10.1007/978-0-387-78241-6. ISBN 978-0-387-78241-6.
^ Polya, G. (1954). Matemáticas y razonamiento plausible: inducción y analogía en matemáticas. Princeton University Press. pág. 138. ISBN 0-691-02509-6.
^ Montroll, John (2009). Diseño de poliedros de origami . AK Peters. pag. 6.ISBN 9781439871065.
^ Trigg, Charles W. (1978). "Una clase infinita de deltaedros". Revista de Matemáticas . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647. MR 1572246.
^ Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Springer. pág. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. Número de identificación del sujeto 220150682.
^ Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55432-9.
^ Flusser, Jan; Suk, Tomas; Zitofa, Barbara (2017). Análisis de imágenes 2D y 3D por Moments. John & Sons Wiley. pág. 126. ISBN 978-1-119-03935-8.
^ Chang, Ch.; Patzer, ABC; Sülzle, D.; Hauer, H. "Fullerenos inorgánicos similares a cebollas desde una perspectiva poliédrica". En Sattler, Klaus D. (ed.). Nanociencia del siglo XXI: un manual . Taylor & Francis. pág. 15-4.
^ McLean, K. Robin (1990). "Mazmorras, dragones y dados". The Mathematical Gazette . 74 (469): 243–256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.
^ Sibley, Thomas Q. (2015). Pensar geométricamente: un estudio de geometrías. Asociación Matemática de Estados Unidos. pág. 53. ISBN 978-1-939512-08-6.
^ King, Robert B. (1994). "Dinámica poliédrica". En Bonchev, Danail D.; Mekenyan, OG (eds.). Enfoques teóricos de grafos para la reactividad química . Springer. doi :10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN. 978-94-011-1202-4.
^ Armstrong, MA (1988). Grupo y simetría. Textos de pregrado en matemáticas. Springer. p. 39. doi :10.1007/978-1-4757-4034-9. ISBN . 978-1-4757-4034-9.
^ abcdef "Forma cristalina, zonas, hábito cristalino". Tulane.edu . Consultado el 16 de septiembre de 2017 .
^ Spencer 1911, 6. Sistema hexagonal, división romboédrica , clase bipiramidal ditrigonal, pág. 581 (pág. 603 en Wikisource).
^ Spencer 1911, 2. Sistema tegragonal, clase holosimétrica, fig. 46, pág. 577 (pág. 599 en Wikisource).
^ abcde «Las 48 formas especiales de los cristales». 18 de septiembre de 2013. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2013. Consultado el 18 de noviembre de 2020 .
^ Klein, Cornelis; Philpotts, Anthony R. (2013). Materiales de la Tierra: Introducción a la mineralogía y la petrología. Cambridge University Press. pág. 108. ISBN 978-0-521-14521-3.
^ Spencer 1911, 6. Sistema hexagonal, división romboédrica , clase holosimétrica, fig. 68, pág. 580 (pág. 602 en Wikisource).
^ Spencer 1911, p. 2. Sistema tetragonal, clase escalenoédrica, fig. 51, p. 577 (p. 599 en Wikisource).
^ Rankin, John R. (1988). "Clases de poliedros definidos por gráficos de chorro". Computers & Graphics . 12 (2): 239–254. doi :10.1016/0097-8493(88)90036-2.

Obras citadas

Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes
Spencer, Leonard James (1911). "Cristalografía" . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 07 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 569–591.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Bipirámides .

Weisstein, Eric W. "Dipirámide". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Isoedro". MathWorld .
Los poliedros uniformes
Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
  - Notación de Conway para poliedros Pruebe: "dP n ", donde n = 3, 4, 5, 6, ... Ejemplo: "dP4" es un octaedro.