estructura causal

Relaciones causales entre puntos de una variedad.

En física matemática , la estructura causal de una variedad de Lorentz describe las relaciones causales entre puntos de la variedad.

Introducción

En la física moderna (especialmente en la relatividad general ) el espacio-tiempo está representado por una variedad de Lorentz . Se interpreta que las relaciones causales entre puntos de la variedad describen qué eventos en el espacio-tiempo pueden influir en qué otros eventos.

La estructura causal de una variedad de Lorentz arbitraria (posiblemente curvada) se complica más por la presencia de curvatura . Las discusiones sobre la estructura causal de tales variedades deben formularse en términos de curvas suaves que unen pares de puntos. Las condiciones sobre los vectores tangentes de las curvas definen entonces las relaciones causales.

Vectores tangentes

Subdivisión del espaciotiempo de Minkowski respecto de un punto en cuatro conjuntos disjuntos. El cono de luz , el futuro causal , el pasado causal y otros lugares . La terminología se define en este artículo.

Si es una variedad de Lorentz (para métrica en variedad ), entonces los vectores tangentes distintos de cero en cada punto de la variedad se pueden clasificar en tres tipos disjuntos . Un vector tangente es: ${\displaystyle \,(M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

• temporal si ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• nulo o ligero si ${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• espacial si ${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

Aquí usamos la firma métrica . Decimos que un vector tangente no es espacial si es nulo o temporal. ${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$

La variedad lorentziana canónica es el espaciotiempo de Minkowski , donde y es la métrica plana de Minkowski . Los nombres de los vectores tangentes provienen de la física de este modelo. Las relaciones causales entre puntos en el espacio-tiempo de Minkowski toman una forma particularmente simple porque el espacio tangente también lo es y, por tanto, los vectores tangentes pueden identificarse con puntos en el espacio. El vector de cuatro dimensiones se clasifica según el signo de , donde es una coordenada cartesiana en el espacio tridimensional, es la constante que representa el límite de velocidad universal y es el tiempo. La clasificación de cualquier vector en el espacio será la misma en todos los marcos de referencia que estén relacionados por una transformación de Lorentz (pero no por una transformación general de Poincaré porque entonces el origen puede desplazarse) debido a la invariancia de la métrica. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle X=(t,r)}$ ${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$

Orientabilidad temporal

En cada punto del tiempo, los vectores tangentes en el espacio tangente del punto se pueden dividir en dos clases. Para hacer esto, primero definimos una relación de equivalencia en pares de vectores tangentes temporales. ${\displaystyle M}$

Si y son dos vectores tangentes temporales en un punto, decimos que y son equivalentes (escritos ) si . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\sim Y}$ ${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$

Hay entonces dos clases de equivalencia que contienen entre ellas todos los vectores tangentes temporales en el punto. Podemos (arbitrariamente) llamar a una de estas clases de equivalencia dirigida al futuro y llamar a la otra dirigida al pasado . Físicamente, esta designación de las dos clases de vectores temporales dirigidos al futuro y al pasado corresponde a la elección de una flecha del tiempo en el punto. Las designaciones dirigidas al futuro y al pasado se pueden extender a vectores nulos en un punto por continuidad.

Una variedad de Lorentz es orientable en el tiempo ^[1] si se puede hacer una designación continua de vectores dirigidos al futuro y al pasado para vectores no espaciales en toda la variedad.

Curvas

Un camino en es un mapa continuo donde hay un intervalo no degenerado (es decir, un conjunto conexo que contiene más de un punto) en . Una ruta suave tiene derivable un número apropiado de veces (típicamente ), y una ruta regular tiene derivada que no desaparece. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Una curva en es la imagen de un camino o, más propiamente, una clase de equivalencia de imágenes de caminos relacionadas por reparametrización, es decir, homeomorfismos o difeomorfismos de . Cuando es orientable en el tiempo, la curva se orienta si se requiere que el cambio de parámetro sea monótono . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$

Las curvas (o caminos) regulares suaves se pueden clasificar según sus vectores tangentes. Tal curva es ${\displaystyle M}$

• cronológico (o temporal ) si el vector tangente es temporal en todos los puntos de la curva. También llamada línea mundial . ^[2]
• nulo si el vector tangente es nulo en todos los puntos de la curva.
• espacial si el vector tangente es espacial en todos los puntos de la curva.
• causal (o no espacial ) si el vector tangente es temporal o nulo en todos los puntos de la curva.

Los requisitos de regularidad y no degeneración garantizan que las curvas causales cerradas (como las que consisten en un solo punto) no sean admitidas automáticamente en todos los espaciotiempos. ${\displaystyle \Sigma }$

Si la variedad es orientable en el tiempo, entonces las curvas no espaciales se pueden clasificar además dependiendo de su orientación con respecto al tiempo.

Una curva cronológica, nula o causal es ${\displaystyle M}$

• dirigido al futuro si, para cada punto de la curva, el vector tangente está dirigido al futuro.
• dirigido al pasado si, para cada punto de la curva, el vector tangente está dirigido al pasado.

Estas definiciones solo se aplican a curvas causales (cronológicas o nulas) porque solo a los vectores temporales o tangentes nulos se les puede asignar una orientación con respecto al tiempo.

• Una curva temporal cerrada es una curva cerrada que en todas partes es temporal dirigida al futuro (o en todas partes es temporal dirigida al pasado).
• Una curva nula cerrada es una curva cerrada que en todas partes es nula dirigida al futuro (o en todas partes nula dirigida al pasado).
• La holonomía de la relación de la tasa de cambio del parámetro afín alrededor de una geodésica nula cerrada es el factor de corrimiento al rojo .

Relaciones causales

Hay varias relaciones causales entre puntos y en la variedad . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle x}$ precede cronológicamente (a menudo denotado ) si existe una curva cronológica (temporal) dirigida al futuro desde hasta . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,x\ll y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ precede estrictamente causalmente (a menudo denotado ) si existe una curva causal (no espacial) dirigida al futuro desde hasta . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ precede causalmente (a menudo denotado o ) si precede causalmente estrictamente o . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle x}$ horismos ^[3] (a menudo denotado o ) si o existe una curva nula dirigida al futuro desde a ^[4] (o equivalentemente, y ). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle x\nearrow y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\not \ll y}$

Estas relaciones satisfacen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle x\ll y}$implica (esto se sigue trivialmente de la definición) ^[5] ${\displaystyle x\prec y}$
• ${\displaystyle x\ll y}$, implica ^[5] ${\displaystyle y\prec z}$ ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, implica ^[5] ${\displaystyle y\ll z}$ ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \ll }$, , son transitivos . ^[5] no es transitivo. ^[6] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \to }$
• ${\displaystyle \prec }$, son reflexivos ^[4] ${\displaystyle \to }$

Para un punto en la variedad definimos ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

• El futuro cronológico de , denotado como el conjunto de todos los puntos de tal manera que cronológicamente precede : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• El pasado cronológico de , denotado , como el conjunto de todos los puntos que preceden cronológicamente a : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

De manera similar definimos

• El futuro causal (también llamado futuro absoluto ) de , denotado como el conjunto de todos los puntos que preceden causalmente a : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• El pasado causal (también llamado pasado absoluto ) de , denotado como el conjunto de todos los puntos de tal manera que precede causalmente : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• El futuro cono nulo de como el conjunto de todos los puntos tales que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\to y}$
• El cono pasado nulo de como el conjunto de todos los puntos tales que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y\to x}$
• El cono de luz de como los conos nulos del futuro y del pasado juntos. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• en otros lugares como puntos que no están en el cono de luz, en el futuro causal o en el pasado causal. ^[7]

A los puntos contenidos en , por ejemplo, se puede llegar mediante una curva temporal dirigida al futuro. Al punto se puede llegar, por ejemplo, a partir de puntos contenidos en una curva no espacial dirigida al futuro. ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

En el espacio-tiempo de Minkowski el conjunto es el interior del futuro cono de luz en . El conjunto es el cono de luz del futuro completo en , incluido el cono mismo. ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Estos conjuntos definidos para todo en , se denominan colectivamente estructura causal de . ${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Para un subconjunto de definimos ^[5] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Para dos subconjuntos de definimos ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle M}$

• El futuro cronológico de relativo a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ , , es el futuro cronológico de considerado como una subvariedad de . Tenga en cuenta que este es un concepto bastante diferente del que da el conjunto de puntos a los que pueden llegar las curvas temporales dirigidas al futuro a partir de . En el primer caso las curvas deben quedar dentro, en el segundo caso no. Véase Hawking y Ellis. ${\displaystyle I^{+}[S;T]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
• El futuro causal de relativo a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ , , es el futuro causal de considerado como una subvariedad de . Tenga en cuenta que este es un concepto bastante diferente del que da el conjunto de puntos a los que pueden llegar las curvas causales dirigidas al futuro a partir de . En el primer caso las curvas deben quedar dentro, en el segundo caso no. Véase Hawking y Ellis. ${\displaystyle J^{+}[S;T]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
• Un conjunto futuro es un conjunto cerrado bajo futuro cronológico.
• Un conjunto pasado es un conjunto cerrado bajo un pasado cronológico.
• Un conjunto pasado indescomponible (IP) es un conjunto pasado que no es la unión de dos subconjuntos pasados ​​propios abiertos diferentes.
• Una IP que no coincide con el pasado de ningún punto se denomina conjunto pasado indescomponible del terminal (TIP). ${\displaystyle M}$
• Un conjunto pasado indescomponible (PIP) adecuado es una IP que no es un TIP. es un conjunto pasado indescomponible (PIP) adecuado. ${\displaystyle I^{-}(x)}$
• El futuro desarrollo de Cauchy de , es el conjunto de todos los puntos por los cuales cada curva causal inextensible dirigida en el pasado se cruza al menos una vez. Lo mismo ocurrió con el pasado desarrollo de Cauchy. El desarrollo de Cauchy es la unión del desarrollo futuro y pasado de Cauchy. Los desarrollos de Cauchy son importantes para el estudio del determinismo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D^{+}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$
• Un subconjunto es acronal si no existen tales que , o de manera equivalente, si es disjunto de . ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle q,r\in S}$ ${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I^{+}[S]}$

diamante causal

• Una superficie de Cauchy es un conjunto acrónico cerrado cuyo desarrollo de Cauchy es . ${\displaystyle M}$
• Una métrica es globalmente hiperbólica si puede ser foliada por superficies de Cauchy.
• El conjunto que viola la cronología es el conjunto de puntos por los que pasan curvas temporales cerradas.
• El conjunto que viola la causalidad es el conjunto de puntos por los que pasan curvas causales cerradas.
• El límite del conjunto que viola la causalidad es un horizonte de Cauchy . Si el horizonte de Cauchy es generado por geodésicas nulas cerradas, entonces hay un factor de corrimiento al rojo asociado con cada una de ellas.
• Para una curva causal , el diamante causal es (aquí estamos usando la definición más vaga de 'curva' en la que es solo un conjunto de puntos), siendo el punto en el pasado causal de . En palabras: el diamante causal de la línea mundial de una partícula es el conjunto de todos los eventos que se encuentran tanto en el pasado de algún punto como en el futuro de algún punto en . En la versión discreta, el diamante causal es el conjunto de todos los caminos causales que se conectan desde . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$ ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$

Propiedades

Véase Penrose (1972), p13.

• Un punto está en si y sólo si está en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{-}(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• Los horismos se generan por congruencias geodésicas nulas.

Propiedades topológicas :

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$está abierto para todos los puntos en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$está abierto para todos los subconjuntos . ${\displaystyle S\subset M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$para todos los subconjuntos . Aquí está el cierre de un subconjunto . ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

Geometría conforme

Dos métricas y están relacionadas conforme ^[8] si para alguna función real se llama factor conforme . (Ver mapa conforme ). ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$ ${\displaystyle \Omega }$

Al observar las definiciones de qué vectores tangentes son temporales, nulos y espaciales, vemos que permanecen sin cambios si usamos o . Como ejemplo, supongamos que es un vector tangente temporal con respecto a la métrica. Esto significa que . Entonces tenemos que so es un vector tangente temporal con respecto a también. ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

De esto se deduce que la estructura causal de una variedad de Lorentz no se ve afectada por una transformación conforme .

Una geodésica nula sigue siendo una geodésica nula bajo un cambio de escala conforme.

infinito conforme

Una métrica infinita admite geodésicas de longitud infinita/tiempo propio. Sin embargo, a veces podemos hacer un cambio de escala conforme de la métrica con un factor conforme que cae lo suficientemente rápido a 0 a medida que nos acercamos al infinito para obtener el límite conforme de la variedad. La estructura topológica del límite conforme depende de la estructura causal.

• Las geodésicas temporales dirigidas al futuro terminan en el futuro infinito temporal . ${\displaystyle i^{+}}$
• Las geodésicas en forma de tiempo dirigidas al pasado terminan en el infinito, en forma de tiempo pasado . ${\displaystyle i^{-}}$
• Las geodésicas nulas dirigidas al futuro terminan en ℐ ⁺ , el futuro infinito nulo .
• Las geodésicas nulas dirigidas al pasado terminan en ℐ ⁻ , el infinito nulo pasado .
• Las geodésicas espaciales terminan en un infinito espacial .

En varios espacios:

• Espacio de Minkowski : son puntos, ℐ ^± son hojas nulas y el infinito espacial tiene codimensión 2. ${\displaystyle i^{\pm }}$
• Espacio Anti-de Sitter : no hay infinito temporal o nulo, y el infinito espacial tiene codimensión 1.
• Espacio de Sitter : el futuro y el pasado en forma de infinito tienen codimensión 1.

Singularidad gravitacional

Si una geodésica termina después de un parámetro afín finito y no es posible extender la variedad para extender la geodésica, entonces tenemos una singularidad .

• Para los agujeros negros , la frontera temporal futura termina en una singularidad en algunos lugares.
• Para el Big Bang , la frontera temporal del pasado es también una singularidad.

El horizonte de sucesos absoluto es el cono nulo del pasado del futuro infinito en forma de tiempo. Es generado por geodésicas nulas que obedecen a la ecuación óptica de Raychaudhuri .

Ver también

• Triangulación dinámica causal (CDT)
• Condiciones de causalidad
• Conjuntos causales
• superficie de cauchy
• Curva temporal cerrada
• Hipótesis de la censura cósmica
• Colector globalmente hiperbólico
• Espacio-tiempo Malament-Hogarth
• infinito nulo
• diagrama de penrose
• Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking
• Tiempo espacial

Notas

1. Hawking e Israel 1979, pág. 255
2. Galloway, Gregory J. "Notas sobre la causalidad lorentziana" (PDF) . Escuela de Verano ESI-EMS-IAMP sobre Relatividad Matemática . Universidad de Miami. pag. 4 . Consultado el 2 de julio de 2021 .
3. Penrose 1972, pág. 15
4. Papadopoulos, Kyriakos; Acharjee, Santanu; Papadopoulos, Basil K. (mayo de 2018). "El orden del cono de luz y su topología inducida". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 15 (5): 1850069–1851572. arXiv : 1710.05177 . Código Bib : 2018IJGMM..1550069P. doi :10.1142/S021988781850069X. S2CID  119120311.
5. Penrose 1972, pág. 12
6. Stoica, OC (25 de mayo de 2016). "Estructura causal y dimensión del espacio-tiempo a partir de la relación horismática". Diario de gravedad . 2016 : 1–6. arXiv : 1504.03265 . doi : 10.1155/2016/6151726 .
7. Sard 1970, pág. 78
8. Hawking y Ellis 1973, pág. 42

Referencias

• Hawking, suroeste ; Ellis, GFR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
• Hawking, suroeste ; Israel, W. (1979), Relatividad general, una encuesta del centenario de Einstein , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
• Penrose, R. (1972), Técnicas de topología diferencial en relatividad , SIAM, ISBN 0898710057
• Sard, RD (1970). Mecánica Relativista - Relatividad Especial y Dinámica Clásica de Partículas . Nueva York: WA Benjamín. ISBN 978-0805384918.

Otras lecturas

• GW Gibbons , SN Solodukhin; La geometría de los pequeños diamantes causales arXiv:hep-th/0703098 (intervalos causales)
• SW Hawking , AR King, PJ McCarthy; Una nueva topología para el espacio-tiempo curvo que incorpora las estructuras causal, diferencial y conforme ; J. Matemáticas. Física. 17 2:174-181 (1976); (Geometría, Estructura Causal )
• AV Levichev; Prescribir la geometría conforme de una variedad de Lorentz mediante su estructura causal ; Matemáticas soviéticas. Dokl. 35:452-455, (1987); (Geometría, Estructura Causal )
• D. Malamento ; La clase de curvas continuas en forma de tiempo determina la topología del espacio-tiempo ; J. Matemáticas. Física. 18 7:1399-1404 (1977); (Geometría, Estructura Causal )
• AA Robb ; Una teoría del tiempo y el espacio ; Prensa de la Universidad de Cambridge, 1914; (Geometría, Estructura Causal )
• AA Robb ; Las relaciones absolutas de tiempo y espacio ; Prensa de la Universidad de Cambridge, 1921; (Geometría, Estructura Causal )
• AA Robb ; Geometría del Tiempo y del Espacio ; Prensa de la Universidad de Cambridge, 1936; (Geometría, Estructura Causal )
• RD Sorkin , E. Woolgar; Un orden causal para el espacio-tiempo con métricas lorentzianas C ^ 0: prueba de compacidad del espacio de curvas causales ; Gravedad clásica y cuántica 13: 1971-1994 (1996); arXiv:gr-qc/9508018 ( Estructura causal )

enlaces externos

• Redes Causales de la Máquina de Turing por Enrique Zeleny, el Proyecto de Demostraciones Wolfram
• Weisstein, Eric W. "Red causal". MundoMatemático .