Cubit de fase

En la computación cuántica , y más específicamente en la computación cuántica superconductora , el qubit de fase es un dispositivo superconductor basado en la unión Josephson superconductor-aislante-superconductor (SIS) , ^[1] diseñado para funcionar como un bit cuántico o qubit. ^[2]

El qubit de fase está estrechamente relacionado, aunque es distinto, del qubit de flujo y del qubit de carga , que también son bits cuánticos implementados por dispositivos superconductores. La principal distinción entre los tres es la relación entre la energía de Josephson y la energía de carga ^[3] (la energía necesaria para que un par de Cooper cargue la capacitancia total del circuito):

• Para los qubit de fase, esta relación es del orden de 10 ⁶ , lo que permite una corriente de polarización macroscópica a través de la unión;
• Para los qubits de flujo, es del orden de 10, lo que permite supercorrientes mesoscópicas (normalmente ~300 nA ^[4] );
• Para un cúbit de carga, es menor que 1 y, por lo tanto, solo unos pocos pares de Cooper pueden atravesar y cargar la caja de pares de Cooper. Sin embargo, el transmon puede tener una energía de carga muy baja debido a la enorme capacitancia en derivación y, por lo tanto, tener esta relación en el orden de 10~100. ^[5]

Introducción

Un qubit de fase es una unión Josephson polarizada por corriente, que opera en un estado de voltaje cero con una polarización de corriente distinta de cero.

Una unión Josephson es una unión túnel , ^[6] formada por dos piezas de metal superconductor separadas por una barrera aislante muy fina, de aproximadamente 1 nm de espesor. La barrera es lo suficientemente fina como para que los electrones, o en el estado superconductor, los electrones emparejados por Cooper, puedan atravesarla a una velocidad apreciable. Cada uno de los superconductores que forman la unión Josephson se describe mediante una función de onda macroscópica , como se describe en la teoría de Ginzburg-Landau para superconductores. ^[7] La ​​diferencia en las fases complejas de las dos funciones de onda superconductoras es la variable dinámica más importante para la unión Josephson, y se denomina diferencia de fase , o simplemente "fase". ${\displaystyle \delta }$

Ecuaciones principales que describen la unión SIS

La ecuación de Josephson ^[1] relaciona la corriente superconductora (generalmente llamada supercorriente) a través de la unión túnel con la diferencia de fase , ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle I=I_{0}\sin \delta }$(Relación corriente-fase de Josephson)

Aquí se muestra la corriente crítica de la unión túnel, determinada por el área y el espesor de la barrera túnel en la unión, y por las propiedades de los superconductores a cada lado de la barrera. Para una unión con superconductores idénticos a cada lado de la barrera, la corriente crítica está relacionada con el espacio superconductor y la resistencia en estado normal de la unión túnel mediante la fórmula de Ambegaokar-Baratoff ^[6]. ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle I_{0}={\frac {\pi \Delta }{2eR_{n}}}}$(Fórmula de Ambegaokar-Baratoff)

La ecuación de evolución de fase de Gor'kov ^[1] da la tasa de cambio de la fase (la "velocidad" de la fase) como una función lineal del voltaje como ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {d\delta }{dt}}}$(Ecuación de evolución de fases de Gor'kov-Josephson)

Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Schrödinger para la fase de la función de onda BCS . La generalización fue realizada por Gor'kov en 1958. ^[8]

El modelo McCumber-Stewart

Las relaciones de Josephson de corriente alterna y continua controlan el comportamiento de la propia unión Josephson. La geometría de la unión Josephson (dos placas de metal superconductor separadas por una fina barrera de túnel) es la de un condensador de placas paralelas, por lo que además del elemento Josephson, el dispositivo incluye una capacitancia paralela . El circuito externo suele modelarse simplemente como una resistencia en paralelo con el elemento Josephson. El conjunto de tres elementos del circuito paralelo está polarizado por una fuente de corriente externa , de ahí la unión Josephson polarizada por corriente. ^[9] La resolución de las ecuaciones del circuito produce una única ecuación dinámica para la fase, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {\hbar C}{2e}}\,{\frac {d^{2}\delta }{dt^{2}}}+{\frac {\hbar }{2eR}}{\frac {d\delta }{dt}}=I-I_{0}\sin \delta }$.

Los términos del lado izquierdo son idénticos a los de una partícula con coordenadas (ubicación) , con masa proporcional a la capacitancia y con fricción inversamente proporcional a la resistencia . La partícula se mueve en un campo de fuerza conservativo dado por el término de la derecha, que corresponde a la partícula que interactúa con una energía potencial dada por ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U(\delta )}$

Potencial de WashBoard

${\displaystyle U(\delta )={\frac {\hbar }{2e}}\left(-I_{0}\cos \delta -I\,\delta \right)}$.

Este es el "potencial de tabla de lavar", ^[9] llamado así porque tiene una dependencia lineal general , modulada por la modulación de tabla de lavar . ${\displaystyle -I\,\delta }$ ${\displaystyle -I_{0}\,\cos \delta }$

El estado de voltaje cero describe uno de los dos comportamientos dinámicos distintos que muestra la partícula de fase y corresponde a cuando la partícula está atrapada en uno de los mínimos locales en el potencial de tabla de lavar. Estos mínimos existen para corrientes de polarización , es decir, para corrientes por debajo de la corriente crítica. Con la partícula de fase atrapada en un mínimo, tiene velocidad promedio cero y, por lo tanto, voltaje promedio cero. Una unión Josephson permitirá que pasen corrientes de hasta sin ningún voltaje; esto corresponde a la rama superconductora de la característica corriente-voltaje de la unión Josephson . ${\displaystyle \left|I\right|<I_{0}}$ ${\displaystyle I_{0}}$

El estado de voltaje es el otro comportamiento dinámico que muestra una unión Josephson, y corresponde a la partícula de fase que corre libremente por la pendiente del potencial, con una velocidad promedio distinta de cero y, por lo tanto, un voltaje distinto de cero. Este comportamiento siempre ocurre para corrientes superiores a la corriente crítica, es decir, para , y para grandes resistencias también ocurre para corrientes algo inferiores a la corriente crítica. Este estado corresponde a la rama de voltaje de la característica corriente-voltaje de la unión Josephson. Para uniones de gran resistencia, las ramas de voltaje cero y voltaje se superponen para un rango de corrientes inferiores a la corriente crítica, por lo que el comportamiento del dispositivo es histéresis . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left|I\right|>I_{0}}$ ${\displaystyle R}$

Inductor no lineal

Otra forma de entender el comportamiento de una unión Josephson en el estado de voltaje cero es considerar la unión túnel SIS como un inductor no lineal. ^[10] Cuando la fase está atrapada en uno de los mínimos, el valor de la fase está limitado a un rango pequeño alrededor del valor de la fase en el mínimo potencial, que llamaremos . La corriente a través de la unión está relacionada con este valor de fase por ${\displaystyle \delta _{0}}$

${\displaystyle I=I_{0}\sin \delta _{0}}$.

Si consideramos pequeñas variaciones en la fase alrededor del mínimo (lo suficientemente pequeñas para mantener la unión en el estado de voltaje cero), entonces la corriente variará en ${\displaystyle \Delta \delta }$ ${\displaystyle \delta _{0}}$

${\displaystyle \Delta I=\left(I_{0}\cos \delta _{0}\right)\Delta \delta }$.

Estas variaciones en la fase dan lugar a un voltaje a través de la relación de Josephson ac ,

${\displaystyle \Delta V={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {d\Delta \delta }{dt}}={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {1}{I_{0}\cos \delta _{0}}}{\frac {d\Delta I}{dt}}=L{\frac {d\Delta I}{dt}}}$

Esta última relación es la ecuación definitoria de un inductor con inductancia.

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {1}{I_{0}\cos \delta _{0}}}}$.

Esta inductancia depende del valor de la fase en el mínimo del potencial de tabla de lavar, por lo que el valor de la inductancia se puede controlar modificando la corriente de polarización . Para una corriente de polarización cero, la inductancia alcanza su valor mínimo. ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle L_{\rm {min}}={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {1}{I_{0}}}={\frac {\hbar R_{n}}{\pi \Delta }}}$.

A medida que aumenta la corriente de polarización, aumenta la inductancia. Cuando la corriente de polarización es muy cercana (pero menor que) la corriente crítica , el valor de la fase es muy cercano a , como se ve en la relación de Josephson de CC , anterior. Esto significa que el valor de la inductancia se vuelve muy grande y diverge a medida que alcanza la corriente crítica . ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{0}}$

El inductor no lineal representa la respuesta de la unión Josephson a los cambios en la corriente de polarización. Cuando se incluye la capacitancia paralela de la geometría del dispositivo, en paralelo con el inductor, se forma un resonador no lineal, con frecuencia de resonancia ${\displaystyle LC}$

${\displaystyle \omega _{p}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\sqrt {\frac {2eI_{0}\cos \delta _{0}}{\hbar C}}}}$,

que se conoce como frecuencia de plasma de la unión. Corresponde a la frecuencia de oscilación de la partícula de fase en el fondo de uno de los mínimos del potencial de tabla de lavar.

Para corrientes de polarización muy cercanas a la corriente crítica, el valor de fase en el mínimo de la tabla de lavar es

${\displaystyle \cos \delta _{0}={\sqrt {1-(I/I_{0})^{2}}}}$,

y la frecuencia del plasma es entonces

${\displaystyle \omega _{p}\approx {\sqrt {\frac {2eI_{0}}{\hbar C}}}\left[1-(I/I_{0})^{2}\right]^{1/4}}$,

mostrando claramente que la frecuencia del plasma se acerca a cero a medida que la corriente de polarización se acerca a la corriente crítica.

La simple capacidad de ajuste de la unión Josephson polarizada por corriente en su estado de voltaje cero es una de las ventajas clave que tiene el qubit de fase sobre algunas otras implementaciones de qubit, aunque también limita el rendimiento de este dispositivo, ya que las fluctuaciones en la corriente generan fluctuaciones en la frecuencia del plasma, lo que provoca el desfase de los estados cuánticos.

Niveles de energía cuantificados

El qubit de fase se opera en el estado de voltaje cero, con . A temperaturas muy bajas, mucho menores de 1 K (alcanzable usando un sistema criogénico conocido como refrigerador de dilución ), con una resistencia suficientemente alta y una unión Josephson de pequeña capacitancia, los niveles de energía cuántica ^[11] se vuelven detectables en los mínimos locales del potencial de tabla de lavar. Estos se detectaron por primera vez usando espectroscopia de microondas , donde se agrega una señal de microondas débil a la corriente que polariza la unión. Las transiciones del estado de voltaje cero al estado de voltaje se midieron monitoreando el voltaje a través de la unión. Se observaron resonancias claras en ciertas frecuencias, que se correspondían bien con las energías de transición cuántica obtenidas al resolver la ecuación de Schrödinger ^[12] para el mínimo local en el potencial de tabla de lavar. Clásicamente, solo se espera una única resonancia, centrada en la frecuencia del plasma . Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, el potencial mínimo en el potencial de tabla de lavar puede dar cabida a varios niveles de energía cuantificados, con la transición más baja (estado fundamental al primer estado excitado) en una energía , pero las transiciones de energía más altas (primer estado excitado al segundo estado excitado, segundo al tercer estado excitado) se desplazan algo por debajo de esta debido a la naturaleza no armónica del potencial mínimo de atrapamiento, cuya frecuencia de resonancia cae a medida que aumenta la energía en el mínimo. Observar múltiples niveles discretos de esta manera es una prueba extremadamente sólida de que el dispositivo superconductor se está comportando de manera mecánica cuántica, en lugar de clásica. ${\displaystyle \left|I\right|<I_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle E_{01}\approx \hbar \omega _{p}}$

El qubit de fase utiliza los dos niveles de energía más bajos en el mínimo local; el estado fundamental es el "estado cero" del qubit, y el primer estado excitado es el "estado uno". La pendiente en el potencial de tabla de lavar está determinada por la corriente de polarización , y los cambios en esta corriente cambian el potencial de tabla de lavar, cambiando la forma del mínimo local (equivalentemente, cambiando el valor de la inductancia no lineal, como se discutió anteriormente). Esto cambia la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado. Por lo tanto, el qubit de fase tiene una división de energía ajustable. ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle I}$

Referencias

1. Barone, Antonio; Paterno, Gianfranco (1981). Física y aplicaciones del efecto Josephson . Nueva York: Wiley.
2. Nielsen, Michael; Chuang, Isaac (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press.
3. You, JQ; Nori, Franco (12 de enero de 2007). "Circuitos superconductores e información cuántica". Physics Today . 58 (11): 42. arXiv : quant-ph/0601121 . doi :10.1063/1.2155757. ISSN  0031-9228. S2CID  10969948.
4. Universidad de Delft - Sitio web Flux Qubit Archivado el 1 de marzo de 2008 en archive.today
5. Schreier, JA; Houck, AA; Koch, Jens; Schuster, DI; Johnson, BR; Chow, JM; Gambetta, JM; Majer, J.; Frunzio, L.; Devoret, MH; Girvin, SM (12 de mayo de 2008). "Supresión de la decoherencia del ruido de carga en cúbits de carga superconductores". Physical Review B . 77 (18): 180502. arXiv : 0712.3581 . Código Bibliográfico :2008PhRvB..77r0502S. doi :10.1103/PhysRevB.77.180502. S2CID  119181860.
6. van Duzer, Theodore; Turner, Charles (1999). Principios de dispositivos y circuitos superconductores, 2.ª ed . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall.
7. Tinkham, Michael; Paterno, Gianfranco (1996). Introducción a la superconductividad . Nueva York: McGraw-Hill.
8. LP Gor'kov (1958). "Sobre el espectro energético de los superconductores". Sov. Phys. JETP . 7 (3): 505.
9. Likharev, Konstantin (1986). Dinámica de uniones y circuitos de Josephson . Nueva York: Gordon and Breach.
10. Devoret, Michel; Martinis, John (2004). "Cubits superconductores". En Esteve, Daniel; Raimond, J.-M.; Dalibard, J. (eds.). Entrelazamiento cuántico y procesamiento de la información . Elsevier. ISBN 0-444-51728-6.
11. JM Martinis; M. Devoret; J. Clarke (1985). "Cuantización del nivel de energía en el estado de voltaje cero de una unión Josephson polarizada por corriente". Phys. Rev. Lett . 55 (15): 1543–1546. Bibcode :1985PhRvL..55.1543M. doi :10.1103/PhysRevLett.55.1543. PMID  10031852.
12. Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica, 2.ª ed . Nueva York: Benjamin Cummings. ISBN 0-13-111892-7.