En geometría , el empaquetamiento de círculos es el estudio de la disposición de círculos (de igual o distintos tamaños) sobre una superficie dada de modo que no se produzcan superposiciones y de modo que ningún círculo pueda agrandarse sin crear una superposición. La densidad de empaquetamiento asociada , η , de una disposición es la proporción de la superficie cubierta por los círculos. Se pueden hacer generalizaciones a dimensiones superiores; esto se denomina empaquetamiento de esferas , que generalmente se ocupa solo de esferas idénticas.
La rama de las matemáticas generalmente conocida como "empaquetamiento de círculos" se ocupa de la geometría y la combinatoria de empaquetamientos de círculos de tamaño arbitrario: estos dan lugar a análogos discretos de mapeos conformes , superficies de Riemann y similares.
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En el plano euclidiano bidimensional , Joseph Louis Lagrange demostró en 1773 que la disposición reticular de círculos con mayor densidad es la disposición hexagonal , [1] en la que los centros de los círculos están dispuestos en una red hexagonal (filas escalonadas, como un panal de abejas ), y cada círculo está rodeado por otros seis círculos. Para círculos de diámetro D y hexágonos de lado D , el área del hexágono y el área del círculo son, respectivamente:
El área cubierta dentro de cada hexágono por círculos es:
Finalmente, la densidad de empaquetamiento es:
En 1890, Axel Thue publicó una prueba de que esta misma densidad es óptima entre todos los empaquetamientos, no solo los empaquetamientos reticulares, pero algunos consideraron que su prueba era incompleta. La primera prueba rigurosa se atribuye a László Fejes Tóth en 1942. [1] [2]
Si bien el círculo tiene una densidad de empaquetamiento máxima relativamente baja, no es la más baja posible, incluso entre las formas convexas centralmente simétricas : el octágono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento de aproximadamente 0,902414, la más pequeña conocida para formas convexas centralmente simétricas y se conjetura que es la más pequeña posible. [3] (Las densidades de empaquetamiento de formas cóncavas como los polígonos estrellados pueden ser arbitrariamente pequeñas).
En el otro extremo, Böröczky demostró que existen disposiciones de densidad arbitrariamente baja de círculos rígidamente empaquetados. [4] [5]
Hay once empaquetamientos circulares basados en los once teselados uniformes del plano. [6] En estos empaquetamientos, cada círculo puede mapearse a cada uno de los otros círculos mediante reflexiones y rotaciones. Los huecos hexagonales pueden llenarse con un círculo y los huecos dodecagonales pueden llenarse con siete círculos, creando empaquetamientos 3-uniformes. El teselado trihexagonal truncado con ambos tipos de huecos puede llenarse como un empaquetamiento 4-uniforme. El teselado hexagonal chato tiene dos formas de imagen especular.
Un problema relacionado es determinar la distribución de energía más baja de puntos que interactúan de manera idéntica y que están obligados a estar dentro de una superficie dada. El problema de Thomson trata de la distribución de energía más baja de cargas eléctricas idénticas en la superficie de una esfera. El problema de Tammes es una generalización de este problema, que trata de maximizar la distancia mínima entre círculos en una esfera. Esto es análogo a la distribución de cargas no puntuales en una esfera.
El empaquetamiento de círculos en formas simples y delimitadas es un tipo común de problema en las matemáticas recreativas . La influencia de las paredes del recipiente es importante y el empaquetamiento hexagonal generalmente no es óptimo para pequeñas cantidades de círculos. Los problemas específicos de este tipo que se han estudiado incluyen:
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También hay una serie de problemas que permiten que los tamaños de los círculos no sean uniformes. Una de esas extensiones es encontrar la máxima densidad posible de un sistema con dos tamaños específicos de círculo (un sistema binario ). Solo nueve razones de radio particulares permiten un empaquetamiento compacto , que es cuando cada par de círculos en contacto está en contacto mutuo con otros dos círculos (cuando se dibujan segmentos de línea desde el centro del círculo en contacto hasta el centro del círculo, triangulan la superficie). [7] Para todas estas razones de radio se conoce un empaquetamiento compacto que logra la fracción de empaquetamiento máxima posible (por encima de la de los discos de tamaño uniforme) para mezclas de discos con esa razón de radio. [9] Los nueve tienen empaquetamientos específicos de la razón más densos que el empaquetamiento hexagonal uniforme, al igual que algunas razones de radio sin empaquetamientos compactos. [10]
También se sabe que si la relación de radio es superior a 0,742, una mezcla binaria no puede compactarse mejor que los discos de tamaño uniforme. [8] También se han obtenido límites superiores para la densidad que se puede obtener en tales empaquetamientos binarios en relaciones más pequeñas. [11]
La modulación de amplitud en cuadratura se basa en el empaquetamiento de círculos dentro de círculos dentro de un espacio de fase-amplitud. Un módem transmite datos como una serie de puntos en un plano de fase-amplitud bidimensional. El espaciamiento entre los puntos determina la tolerancia al ruido de la transmisión, mientras que el diámetro del círculo que los circunscribe determina la potencia de transmisión necesaria. El rendimiento se maximiza cuando la constelación de puntos de código se encuentra en los centros de un empaquetamiento de círculos eficiente. En la práctica, a menudo se utilizan empaquetamientos rectangulares subóptimos para simplificar la decodificación.
El empaquetamiento circular se ha convertido en una herramienta esencial en el diseño de origami , ya que cada apéndice de una figura de origami requiere un círculo de papel. [12] Robert J. Lang ha utilizado las matemáticas del empaquetamiento circular para desarrollar programas informáticos que ayudan en el diseño de figuras de origami complejas.
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28cb2f36b873aa2e71ce641d35b0f85647bb2cf4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\frac {A_{\mathrm {HC} }}{A_{\mathrm {H} }}}&={\frac {{\frac {3\pi }{4}}D^{2}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\aproximadamente 0,9069\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce7969e21bb1fa83cd9c7f81fa9eca8fa096e38)