Elección de cartera intertemporal

La elección de cartera intertemporal es el proceso de asignar la riqueza invertible de uno a varios activos , especialmente activos financieros , repetidamente a lo largo del tiempo, de tal manera que se optimice algún criterio. El conjunto de proporciones de activos en cualquier momento define una cartera . Dado que los rendimientos de casi todos los activos no son totalmente predecibles, el criterio tiene que tener en cuenta el riesgo financiero . Normalmente, el criterio es el valor esperado de alguna función cóncava del valor de la cartera después de un cierto número de períodos de tiempo, es decir, la utilidad esperada de la riqueza final. Alternativamente, puede ser una función de los diversos niveles de consumo de bienes y servicios que se alcanzan retirando algunos fondos de la cartera después de cada período de tiempo.

Tiempo discreto

Decisiones independientes del tiempo

En un contexto general, la asignación óptima de cartera en cualquier período de tiempo posterior al primero dependerá de la cantidad de riqueza que resulte de la cartera del período anterior, la cual depende de los rendimientos de los activos que se produjeron en el período anterior, así como del tamaño y la asignación de la cartera de ese período, habiendo dependido esta última a su vez de la cantidad de riqueza resultante de la cartera del período anterior a ese, etc. Sin embargo, en ciertas circunstancias, las decisiones óptimas de cartera se pueden tomar de una manera que esté separada en el tiempo, de modo que las proporciones de riqueza colocadas en activos particulares dependan solo de las distribuciones estocásticas de rendimientos de activos de ese período en particular.

Utilidad de registro

Si la función de utilidad del inversor es la función de utilidad logarítmica de la riqueza final, adversa al riesgo ${\displaystyle W_{T},}$

${\displaystyle {\text{Utility}}=\ln W_{T},}$

Entonces, las decisiones están separadas intertemporalmente. ^[1] Sea la riqueza inicial (la cantidad que se puede invertir en el período inicial) y sea el rendimiento estocástico de la cartera en cualquier período (la cantidad imperfectamente predecible a la que crece o se reduce el dólar promedio en la cartera en un período dado t ) depende de la asignación de la cartera: las fracciones de riqueza actual heredadas del período anterior que se asignan al comienzo del período t a los activos i ( i = 1, ..., n ). Entonces: ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle R_{t}.}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle w_{it}}$ ${\displaystyle W_{t-1}}$

${\displaystyle W_{T}=W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}}$

dónde

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt},}$

donde se refiere al rendimiento estocástico (la cantidad imperfectamente predecible a la que crece el dólar promedio) del activo i para el período t , y donde las acciones ( i = 1, ..., n ) están restringidas a sumar 1. Tomando el logaritmo de anterior para expresar la utilidad contingente al resultado, sustituyendo por para cada t , y tomando el valor esperado del logaritmo de da la expresión de utilidad esperada que se maximizará: ${\displaystyle r_{it}}$ ${\displaystyle w_{it}}$ ${\displaystyle W_{T}}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle W_{T}}$

${\displaystyle \ln[W_{0}]+\sum _{t=1}^{T}{\text{E}}\ln[w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}].}$

Los términos que contienen las porciones de elección para diferentes t están separados de forma aditiva, lo que da lugar al resultado de independencia intertemporal de las decisiones óptimas : optimizar para cualquier período de decisión particular t implica tomar las derivadas de una expresión separada de forma aditiva con respecto a las diversas porciones, y las condiciones de primer orden para las porciones óptimas en un período particular no contienen la información de retorno estocástico ni la información de decisión para ningún otro período. ${\displaystyle w_{it}}$

Criterio de Kelly

El criterio de Kelly para la elección intertemporal de carteras establece que, cuando las distribuciones de rentabilidad de los activos son idénticas en todos los períodos, una cartera particular replicada en cada período superará a todas las demás secuencias de carteras en el largo plazo. En este caso, el largo plazo es un número arbitrario de períodos de tiempo tal que las distribuciones de los resultados observados para todos los activos coincidan con sus distribuciones de probabilidad ex ante. El criterio de Kelly da lugar a las mismas decisiones de cartera que la maximización del valor esperado de la función de utilidad logarítmica, como se describió anteriormente.

Compañía eléctrica

Al igual que la función de utilidad logarítmica, la función de utilidad de potencia para cualquier valor del parámetro de potencia exhibe una aversión al riesgo relativa constante , una propiedad que tiende a hacer que las decisiones aumenten proporcionalmente sin cambios a medida que aumenta la riqueza inicial. La función de utilidad de potencia es

${\displaystyle {\text{Utility}}=aW_{T}^{a}}$

con parámetro positivo o negativo, pero distinto de cero, a < 1. Con esta función de utilidad en lugar del logaritmo uno, el análisis anterior conduce a que se maximice la siguiente expresión de utilidad esperada:

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}],}$

donde como antes

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}}$

para cada período de tiempo t .

Si existe independencia serial de los rendimientos de los activos —es decir, si la realización del rendimiento de cualquier activo en cualquier período no está relacionada con la realización del rendimiento de cualquier activo en cualquier otro período— entonces esta expresión de utilidad esperada se convierte en

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}R_{1}^{a}\cdot {\text{E}}R_{2}^{a}\cdots {\text{E}}R_{T}^{a};}$

la maximización de esta expresión de utilidad esperada es equivalente a la maximización separada (si a >0) o minimización (si a <0) de cada uno de los términos Por lo tanto, bajo esta condición, nuevamente tenemos independencia intertemporal de las decisiones de cartera. Nótese que la función de utilidad logarítmica, a diferencia de la función de utilidad potencial, no requirió el supuesto de independencia intertemporal de los retornos para obtener la independencia intertemporal de las decisiones de cartera. ${\displaystyle {\text{E}}R_{t}^{a}.}$

Utilidad HARA

La aversión al riesgo absoluto hiperbólico (HARA, por sus siglas en inglés) es una característica de una amplia clase de funciones de utilidad de von Neumann-Morgenstern para la elección bajo riesgo, incluidas las funciones de utilidad logarítmica y exponencial tratadas anteriormente. Mossin ^[2] demostró que, bajo la utilidad HARA, la elección óptima de cartera implica una independencia temporal parcial de las decisiones si hay un activo libre de riesgo y hay independencia serial de los rendimientos de los activos: para encontrar la cartera óptima para el período actual, no es necesario conocer información distributiva futura sobre los rendimientos de los activos, excepto los rendimientos futuros libres de riesgo.

Decisiones dependientes del tiempo

Según lo anterior, la utilidad esperada de la riqueza final con una función de utilidad energética es

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}].}$

Si no existe independencia serial de los rendimientos a lo largo del tiempo, entonces el operador de expectativas no se puede aplicar por separado a los diversos términos multiplicativos. Por lo tanto, la cartera óptima para cualquier período dependerá de la distribución de probabilidad de los rendimientos de los diversos activos contingentes a sus realizaciones en el período anterior y, por lo tanto, no se puede determinar de antemano.

Además, las acciones óptimas en un período particular tendrán que elegirse basándose en el conocimiento de cómo se tomarán las decisiones en períodos futuros, porque las realizaciones en el período actual para los retornos de los activos afectan no sólo el resultado de la cartera para el período actual, sino también las distribuciones de probabilidad condicional para los retornos de los activos futuros y, por lo tanto, las decisiones futuras.

Estas consideraciones se aplican a las funciones de utilidad en general, con las excepciones señaladas anteriormente. En general, la expresión de utilidad esperada que se maximiza es

${\displaystyle {\text{E}}U(W_{T})={\text{E}}U(W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}),}$

donde U es la función de utilidad.

Programación dinámica

El método matemático para abordar esta necesidad de que la toma de decisiones actual tenga en cuenta la toma de decisiones futura es la programación dinámica . En la programación dinámica, la regla de decisión del último período, que depende de la riqueza disponible y de la realización de los rendimientos de los activos de todos los períodos anteriores, se diseña de antemano; luego se diseña la regla de decisión del penúltimo período, teniendo en cuenta cómo los resultados de este período influirán en las decisiones del período final; y así sucesivamente hacia atrás en el tiempo. Este procedimiento se vuelve complejo muy rápidamente si hay más de unos pocos períodos de tiempo o más de unos pocos activos.

Promedio del costo en dólares

El promedio del costo en dólares es una entrada gradual en activos riesgosos; los asesores de inversiones lo recomiendan con frecuencia. Como se indicó anteriormente, no se confirma con modelos con utilidad logarítmica. Sin embargo, puede surgir de un modelo de media-varianza intertemporal con correlación serial negativa de los rendimientos. ^[3]

Efectos de la edad

Con la utilidad HARA, los rendimientos de los activos que se distribuyen de forma independiente e idéntica a través del tiempo y un activo libre de riesgo, las proporciones de los activos riesgosos son independientes de la vida restante del inversor. ^{[1] : cap.11} Bajo ciertos supuestos, incluida la utilidad exponencial y un solo activo con rendimientos que siguen un proceso ARMA (1,1), una condición necesaria pero no suficiente para aumentar el conservadurismo (disminuir la tenencia del activo riesgoso) a lo largo del tiempo (lo que a menudo es defendido por los asesores de inversiones) es la correlación serial de primer orden negativa , mientras que la correlación serial de primer orden no negativa da el resultado opuesto de una mayor toma de riesgos en puntos posteriores en el tiempo. ^[4]

Los modelos de cartera intertemporales en los que la elección de cartera se lleva a cabo conjuntamente con las decisiones de oferta de trabajo intertemporales pueden llevar a que el efecto de la edad del conservadurismo aumente con la edad ^{[ cita requerida ],} como defienden muchos asesores de inversiones. Este resultado se desprende del hecho de que las inversiones arriesgadas cuando el inversor es joven y resultan mal pueden ser reaccionadas ofreciendo más trabajo del previsto en períodos de tiempo posteriores para compensar al menos parcialmente la riqueza perdida; dado que una persona mayor con menos períodos de tiempo posteriores es menos capaz de compensar los malos rendimientos de la inversión de esta manera, es óptimo que un inversor asuma menos riesgo de inversión a una edad más avanzada.

Tiempo continuo

Robert C. Merton ^[5] demostró que en tiempo continuo con aversión absoluta al riesgo hiperbólico, con retornos de activos cuya evolución está descrita por el movimiento browniano y que se distribuyen independiente e idénticamente a través del tiempo, y con un activo libre de riesgo, se puede obtener una solución explícita para la demanda de la cartera óptima única, y que la demanda es lineal en riqueza inicial.

Véase también

• Teoría de la decisión
• Restricción presupuestaria intertemporal
• Modelo de fijación de precios de activos de capital intertemporal
• Elección intertemporal
• Estrategia de inversión
• Teoría moderna de carteras
• Modelo de decisión de dos momentos

Referencias

1. Ingersoll, Jonathan E. (1987). Teoría de la toma de decisiones financieras . Totowa, NJ: Rowman & Littlefield. ISBN  0847673596.
2. Mossin, Jan (1968). "Políticas óptimas de cartera multiperiodo". Journal of Business . 41 (2): 215–229. doi :10.1086/295078. JSTOR  2351447.
3. Balvers, Ronald J., y Mitchell, Douglas W., "Gradualismo eficiente en carteras intertemporales", Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 21-38.
4. Balvers, Ronald J., y Mitchell, Douglas W., "Retornos autocorrelacionados y elección óptima de cartera intertemporal", Management Science 43(11), noviembre de 1997, págs. 1537-1551.
5. Merton, Robert C. (1971). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo". Journal of Economic Theory . 3 (4): 373–413. doi :10.1016/0022-0531(71)90038-X. hdl : 1721.1/63980 .(Capítulo I de su tesis doctoral; Capítulo 5 de su libro Finanzas en Tiempo Continuo ).