Aversión al riesgo absoluto hiperbólico

En finanzas , economía y teoría de decisiones , la aversión al riesgo absoluto hiperbólico ( HARA ) ^{[1] : p.39,   [2] : p.389,   [3] [4] [5] [6]} se refiere a un tipo de aversión al riesgo que es particularmente conveniente para modelar matemáticamente y obtener predicciones empíricas de él. Se refiere específicamente a una propiedad de las funciones de utilidad de von Neumann-Morgenstern , que son típicamente funciones de la riqueza final (o alguna variable relacionada), y que describen el grado de satisfacción de un tomador de decisiones con el resultado para la riqueza. El resultado final para la riqueza se ve afectado tanto por variables aleatorias como por decisiones. Se supone que los tomadores de decisiones toman sus decisiones (como, por ejemplo, las asignaciones de cartera ) de manera de maximizar el valor esperado de la función de utilidad.

Los casos especiales notables de funciones de utilidad HARA incluyen la función de utilidad cuadrática , la función de utilidad exponencial y la función de utilidad isoelástica .

Definición

Se dice que una función de utilidad exhibe una aversión absoluta hiperbólica al riesgo si y solo si el nivel de tolerancia al riesgo —el recíproco de la aversión absoluta al riesgo— es una función lineal de la riqueza W : ${\displaystyle T(W)}$ ${\displaystyle A(W)}$

${\displaystyle T(W)={\frac {1}{A(W)}}={\frac {W}{1-\gamma }}+{\frac {b}{a}},}$

donde A ( W ) se define como – U " ( W ) / U '( W ). Una función de utilidad U ( W ) tiene esta propiedad y, por lo tanto, es una función de utilidad HARA, si y solo si tiene la forma

${\displaystyle U(W)={\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {aW}{1-\gamma }}+b\right)^{\gamma }}$

con restricciones sobre la riqueza y los parámetros tales que y Para una parametrización dada, esta restricción pone un límite inferior a W si y un límite superior a W si . Para el caso límite cuando → 1, la regla de L'Hôpital muestra que la función de utilidad se vuelve lineal en la riqueza; y para el caso límite cuando tiende a 0, la función de utilidad se vuelve logarítmica: . ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b+{\frac {aW}{1-\gamma }}>0.}$ ${\displaystyle \gamma <1}$ ${\displaystyle \gamma >1}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U(W)={\text{log}}(aW+b)}$

Aversión absoluta al riesgo decreciente, constante y creciente

La aversión absoluta al riesgo disminuye si (equivalentemente T '( W ) > 0), lo que ocurre si y solo si es finito y menor que 1; este se considera el caso empíricamente plausible, ya que implica que un inversor invertirá más fondos en activos riesgosos cuanto más fondos haya disponibles para invertir. La aversión absoluta al riesgo constante ocurre cuando tiende al infinito positivo o negativo, y el caso particularmente improbable de aversión absoluta al riesgo creciente ocurre si es mayor que uno y finito. ^[2] ${\displaystyle A'(W)<0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Aversión al riesgo relativa decreciente, constante y creciente

La aversión relativa al riesgo se define como R ( W )= WA ( W ); es creciente si , decreciente si y constante si . Por lo tanto, la aversión relativa al riesgo es creciente si b > 0 (para ), constante si b = 0 y decreciente si b < 0 (para ). ^[2] ${\displaystyle R'(W)>0}$ ${\displaystyle R'(W)<0}$ ${\displaystyle R'(W)=0}$ ${\displaystyle \gamma \neq 1}$ ${\displaystyle -\infty <\gamma <1}$

Casos especiales

• La utilidad es lineal (el caso neutral al riesgo ) si . ${\displaystyle \gamma =1}$
• La utilidad es cuadrática (un caso improbable aunque matemáticamente muy manejable, con una aversión al riesgo absoluto creciente) si . ${\displaystyle \gamma =2}$
• La función de utilidad exponencial , que tiene una aversión absoluta al riesgo constante, ocurre si b = 1 y tiende a infinito negativo. ${\displaystyle \gamma }$
• La función de utilidad eléctrica ocurre si y . ${\displaystyle \gamma <1}$ ${\displaystyle a=1-\gamma }$

• El caso más especial de la función de utilidad isoelástica , con aversión relativa al riesgo constante, ocurre si, además, b = 0.

• La función de utilidad logarítmica se produce cuando tiende a 0. ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle \gamma }$

• El caso más especial de aversión al riesgo relativo constante igual a uno — U ( W ) = log( W ) — ocurre si, además, b = 0.

Predicciones de comportamiento resultantes de la utilidad HARA

Carteras estáticas

Si todos los inversores tienen funciones de utilidad HARA con el mismo exponente, entonces en presencia de un activo libre de riesgo resulta un teorema de separación monetaria de dos fondos : ^[7] cada inversor posee los activos de riesgo disponibles en las mismas proporciones que todos los demás inversores, y los inversores difieren entre sí en el comportamiento de su cartera solo con respecto a la fracción de sus carteras mantenidas en el activo libre de riesgo en lugar de en la colección de activos de riesgo.

Además, si un inversor tiene una función de utilidad HARA y hay disponible un activo libre de riesgo, entonces las demandas del inversor por el activo libre de riesgo y todos los activos riesgosos son lineales en riqueza inicial. ^[7]

En el modelo de valoración de activos de capital , existe una función de utilidad representativa del inversor que depende de las funciones de utilidad y los niveles de riqueza de cada inversor, independientemente de los activos disponibles, si y solo si todos los inversores tienen funciones de utilidad HARA con el mismo exponente. La función de utilidad representativa depende de la distribución de la riqueza, y se puede describir el comportamiento del mercado como si hubiera un solo inversor con la función de utilidad representativa. ^[1]

Con un conjunto completo de valores contingentes al estado , una condición suficiente para que los precios de los valores en equilibrio sean independientes de la distribución de las tenencias iniciales de riqueza es que todos los inversores tengan funciones de utilidad HARA con exponente idéntico y tasa idéntica de preferencia temporal entre el consumo al principio y al final del período. ^[8]

Carteras dinámicas en tiempo discreto

En un contexto de optimización de cartera dinámica de tiempo discreto, bajo HARA la elección óptima de cartera implica una miopía parcial si hay un activo libre de riesgo y hay independencia serial de los retornos de los activos: para encontrar la cartera óptima del período actual, uno no necesita conocer ninguna información distributiva futura sobre los retornos de los activos excepto los futuros retornos libres de riesgo. ^[3]

Con rendimientos de activos que se distribuyen de manera independiente e idéntica a lo largo del tiempo y con un activo libre de riesgo, las proporciones de activos riesgosos son independientes de la vida restante del inversor. ^{[1] : cap.11}

Carteras dinámicas en tiempo continuo

Con rendimientos de activos cuya evolución se describe mediante el movimiento browniano y que se distribuyen de manera independiente e idéntica a través del tiempo, y con un activo libre de riesgo, se puede obtener una solución explícita para la demanda del único fondo mutuo óptimo, y esa demanda es lineal en riqueza inicial. ^[2]

Referencias

1. Ingersoll, Jonathan E. (1987). Teoría de la toma de decisiones financieras . Totowa, NJ: Rowman & Littlefield. ISBN 0847673596.
2. Merton, Robert C. (1971). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo". Journal of Economic Theory . 3 (4): 373–413. doi :10.1016/0022-0531(71)90038-X. hdl : 1721.1/63980 .(Capítulo I de su tesis doctoral; Capítulo 5 de su libro Finanzas en Tiempo Continuo ).
3. Mossin, Jan (1968). "Políticas óptimas de cartera multiperiodo". Journal of Business . 41 (2): 215–229. doi :10.1086/295078. JSTOR  2351447.
4. Ljungqvist y Sargent, Teoría macroeconómica recursiva, MIT Press, segunda edición
5. Notas de la conferencia de Zender
6. Carroll, CD; Kimball, MS (2008). "Ahorro precautorio y riqueza precautoria". Diccionario de economía New Palgrave . CiteSeerX 10.1.1.67.7867 . 
7. Cass, David ; Stiglitz, Joseph (1970). "La estructura de las preferencias de los inversores y los rendimientos de los activos, y la separabilidad en la asignación de cartera". Journal of Economic Theory . 2 (2): 122–160. doi :10.1016/0022-0531(70)90002-5.
8. Huang, Chi-fu ; Litzenberger, Robert H. (1988). Fundamentos de la economía financiera . Nueva York: North-Holland. ISBN 0444013105.

Enlaces externos

• Solución en forma cerrada para un problema de ahorro de consumo con la utilidad HARA