En lógica , el principio semántico (o ley ) de bivalencia establece que cada oración declarativa que expresa una proposición (de una teoría bajo inspección) tiene exactamente un valor de verdad , ya sea verdadero o falso . [1] [2] Una lógica que satisface este principio se llama lógica de dos valores [3] o lógica bivalente . [2] [4]
En lógica formal, el principio de bivalencia se convierte en una propiedad que una semántica puede poseer o no. Sin embargo, no es lo mismo que la ley del tercero excluido y una semántica puede satisfacer esa ley sin ser bivalente. [2]
El principio de bivalencia se estudia en lógica filosófica para abordar la cuestión de qué declaraciones del lenguaje natural tienen un valor de verdad bien definido. Las oraciones que predicen eventos en el futuro y las oraciones que parecen abiertas a la interpretación son particularmente difíciles para los filósofos que sostienen que el principio de bivalencia se aplica a todos los enunciados declarativos del lenguaje natural. [2] Las lógicas polivalentes formalizan ideas de que una caracterización realista de la noción de consecuencia requiere la admisibilidad de premisas que, debido a la vaguedad, la indeterminación temporal o cuántica , o el fallo de referencia , no pueden considerarse clásicamente bivalentes. Los fallos de referencia también pueden solucionarse mediante lógicas libres . [5]
El principio de bivalencia está relacionado con la ley del tercero excluido, aunque esta última es una expresión sintáctica del lenguaje de una lógica de la forma "P ∨ ¬P". La diferencia entre el principio de bivalencia y la ley del tercero excluido es importante porque existen lógicas que validan la ley pero no el principio. [2] Por ejemplo, la Lógica de la Paradoja de tres valores (LP) valida la ley del tercero excluido, pero no la ley de no contradicción , ¬(P ∧ ¬P), y su semántica prevista no es bivalente. [6] En la lógica intuicionista la ley del tercero excluido no se cumple. En la lógica clásica de dos valores se cumplen tanto la ley del tercero excluido como la ley de la no contradicción . [1]
La semántica pretendida de la lógica clásica es bivalente, pero esto no es cierto para todas las semánticas de la lógica clásica. En la semántica con valores booleanos (para la lógica proposicional clásica ), los valores de verdad son los elementos de un álgebra booleana arbitraria , "verdadero" corresponde al elemento máximo del álgebra y "falso" corresponde al elemento mínimo. Los elementos intermedios del álgebra corresponden a valores de verdad distintos de "verdadero" y "falso". El principio de bivalencia se cumple sólo cuando el álgebra de Boole se considera el álgebra de dos elementos , que no tiene elementos intermedios.
Asignar semántica booleana al cálculo de predicados clásico requiere que el modelo sea un álgebra booleana completa porque el cuantificador universal se corresponde con la operación mínima y el cuantificador existencial se corresponde con la operación suprema ; [7] esto se denomina modelo con valores booleanos . Todas las álgebras booleanas finitas están completas.
Para justificar su afirmación de que verdadero y falso son los únicos valores lógicos, Roman Suszko (1977) observa que toda lógica proposicional tarskiana estructural de múltiples valores puede dotarse de una semántica bivalente. [8]
Un ejemplo famoso [2] es el caso de la batalla naval contingente que se encuentra en la obra de Aristóteles , De Interpretatione , capítulo 9:
El principio de bivalencia aquí afirma:
Aristóteles se niega a aceptar la bivalencia para tales contingentes futuros; [9] Crisipo , el lógico estoico , abrazó la bivalencia para esta y todas las demás proposiciones. La controversia sigue siendo de importancia central tanto en la filosofía del tiempo como en la filosofía de la lógica . [ cita necesaria ]
Una de las primeras motivaciones para el estudio de la lógica multivaluada ha sido precisamente esta cuestión. A principios del siglo XX, el lógico formal polaco Jan Łukasiewicz propuso tres valores de verdad: el verdadero, el falso y el aún indeterminado . Este enfoque fue desarrollado posteriormente por Arend Heyting y LEJ Brouwer ; [2] ver lógica de Łukasiewicz .
Cuestiones como ésta también se han abordado en diversas lógicas temporales , donde se puede afirmar que " con el tiempo , mañana habrá una batalla naval o no la habrá". (Lo cual es cierto si finalmente ocurre "mañana").
Enigmas como la paradoja de Sorites y la falacia del continuo relacionada han generado dudas sobre la aplicabilidad de la lógica clásica y el principio de bivalencia a conceptos que pueden ser vagos en su aplicación. Se han propuesto la lógica difusa y algunas otras lógicas de valores múltiples como alternativas que manejan mejor conceptos vagos. La verdad (y la falsedad) en la lógica difusa, por ejemplo, se presentan en diversos grados. Considere la siguiente afirmación en el caso de clasificar manzanas en una cinta en movimiento:
Al observarla, la manzana es de un color indeterminado entre amarillo y rojo, o está moteada de ambos colores. Por lo tanto, el color no cae en la categoría "rojo" ni "amarillo", pero estas son las únicas categorías disponibles para nosotros cuando clasificamos las manzanas. Podríamos decir que es "50% rojo". Esto podría reformularse: es 50% cierto que la manzana es roja. Por lo tanto, P es 50% verdadera y 50% falsa. Ahora considere:
En otras palabras, P y no-P. Esto viola la ley de no contradicción y, por extensión, la de bivalencia. Sin embargo, esto es sólo un rechazo parcial de estas leyes porque P es sólo parcialmente cierta. Si P fuera 100% verdadero, no-P sería 100% falso, y no hay contradicción porque P y no-P ya no se cumplen.
Sin embargo, se mantiene la ley del tercero excluido, porque P y no-P implica P o no-P, ya que "o" es inclusivo. Los únicos dos casos en los que P y no P son falsos (cuando P es 100% verdadero o falso) son los mismos casos considerados por la lógica de dos valores, y se aplican las mismas reglas.
Ejemplo de una lógica de 3 valores aplicada a casos vagos (indeterminados) : Kleene 1952 [11] (§64, págs. 332-340) ofrece una lógica de 3 valores para los casos en los que los algoritmos que involucran funciones recursivas parciales pueden no devolver valores, sino más bien terminar con circunstancias "u" = indeciso. Deja "t" = "verdadero", "f" = "falso", "u" = "indeciso" y rediseña todos los conectivos proposicionales. Él observa que:
Estábamos justificados intuicionistamente al usar la lógica clásica de 2 valores, cuando usábamos los conectivos para construir predicados recursivos primitivos y generales, ya que existe un procedimiento de decisión para cada predicado recursivo general; es decir, se ha demostrado intuicionistamente que la ley del tercero excluido se aplica a predicados recursivos generales.
Ahora bien, si Q(x) es un predicado recursivo parcial, existe un procedimiento de decisión para Q(x) en su rango de definición, por lo que la ley del tercero excluido o del "tercero" excluido (diciendo que Q(x) es t o f) se aplica de manera intuicionista en el rango de definición. Pero puede que no exista un algoritmo para decidir, dado x, si Q(x) está definido o no. [...] Por lo tanto, es sólo de manera clásica y no intuicionista que tenemos una ley del cuarto excluido (que dice que, para cada x, Q(x) es t, f o u).
Por tanto, el tercer "valor de verdad" u no está a la par de los otros dos t y f en nuestra teoría. La consideración de su estado mostrará que estamos limitados a un tipo especial de tabla de verdad".
Las siguientes son sus "tablas fuertes": [12]
Por ejemplo, si no se puede determinar si una manzana es roja o no, entonces el valor de verdad de la afirmación Q: "Esta manzana es roja" es "u". Asimismo, el valor de verdad de la afirmación R "Esta manzana no es roja" es "u". Por lo tanto, el AND de estos en la afirmación Q AND R, es decir, "Esta manzana es roja Y esta manzana no es roja", dará, según las tablas, "u". Y la afirmación Q O R, es decir "Esta manzana es roja O esta manzana no es roja" también producirá "u".
