restricción de bienestar

Restricción de escalares

En matemáticas , la restricción de escalares (también conocida como " restricción de Weil ") es un functor que, para cualquier extensión finita de campos L/k y cualquier variedad algebraica X sobre L , produce otra variedad Res _{L / k} X , definida sobre k . Es útil para reducir preguntas sobre variedades en campos grandes a preguntas sobre variedades más complicadas en campos más pequeños.

Definición

Sea L/k una extensión finita de campos y X una variedad definida sobre L . El funtor de k - esquemas ^op a conjuntos se define por ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(En particular, los k -puntos racionales de son los L -puntos racionales de X ). La variedad que representa este functor se llama restricción de escalares y es única hasta el isomorfismo único, si existe. ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$

Desde el punto de vista de los haces de conjuntos, la restricción de escalares es solo un avance a lo largo del morfismo y es un complemento correcto del producto de fibra de los esquemas , por lo que la definición anterior se puede reformular de manera mucho más general. En particular, se puede reemplazar la extensión de campos por cualquier morfismo de topoi anillados , y las hipótesis sobre X se pueden debilitar, por ejemplo, a pilas. Esto tiene el costo de tener menos control sobre el comportamiento de la restricción de escalares. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)}$

Definición alternativa

Sea un morfismo de esquemas . Para un esquema , si el functor contravariante ${\displaystyle h:S'\to S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X)}$

es representable , entonces llamamos al esquema correspondiente, que también denotamos con , la restricción de Weil de con respecto a . ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$

Donde denota el dual de la categoría de esquemas sobre un esquema fijo . ${\displaystyle \mathbf {Sch/S} ^{op}}$ ${\displaystyle S}$

Propiedades

Para cualquier extensión finita de campos, la restricción de escalares convierte variedades cuasiproyectivas en variedades cuasiproyectivas. La dimensión de la variedad resultante se multiplica por el grado de extensión.

Bajo hipótesis apropiadas (p. ej., plano, propio, presentado finitamente), cualquier morfismo de espacios algebraicos produce una restricción de functor escalar que lleva pilas algebraicas a pilas algebraicas, preservando propiedades como Artin, Deligne-Mumford y representabilidad. ${\displaystyle T\to S}$

Ejemplos y aplicaciones

Ejemplos sencillos son los siguientes:

1. Sea L una extensión finita de k de grado s . Entonces y es un espacio afín s -dimensional sobre Spec k . ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$
2. Si X es una variedad L afín , definida por
   $${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dotsc ,f_{m});}$$
   podemos escribir como Spec , donde ( ) son nuevas variables y ( ) son polinomios dados al tomar una base k de L y establecer y . ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$ ${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$ ${\displaystyle y_{i,j}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$ ${\displaystyle g_{l,r}}$ ${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$ ${\displaystyle y_{i,j}}$ ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{s}}$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dotsb +y_{i,s}e_{s}}$ ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dotsb +g_{t,s}e_{s}}$

Si un plan es un plan de grupo , cualquier restricción de Weil también lo será. Esto se usa frecuentemente en teoría de números, por ejemplo:

1. el toro
   $${\displaystyle \mathbb {S} :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}}$$
   donde denota el grupo multiplicativo, juega un papel importante en la teoría de Hodge, ya que la categoría Tannakiana de estructuras reales de Hodge es equivalente a la categoría de representaciones de Los puntos reales tienen una estructura de grupo de Lie isomorfa a . Véase grupo Mumford-Tate . ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$
2. La restricción de Weil de una variedad de grupo (conmutativa) es nuevamente una variedad de grupo (conmutativa) de dimensión si L es separable en k . ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$
3. La restricción de escalares en variedades abelianas (por ejemplo, curvas elípticas ) produce variedades abelianas, si L es separable entre k . James Milne usó esto para reducir la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para variedades abelianas en todos los campos numéricos a la misma conjetura sobre los racionales.
4. En criptografía de curva elíptica , el ataque de descenso de Weil utiliza la restricción de Weil para transformar un problema de logaritmo discreto en una curva elíptica sobre un campo de extensión finito L/K, en un problema de registro discreto en la variedad jacobiana de una curva hiperelíptica sobre el campo base K. , eso es potencialmente más fácil de resolver debido al tamaño más pequeño de K.

Restricciones de Weil versus transformaciones de Greenberg

La restricción de escalares es similar a la transformada de Greenberg, pero no la generaliza, ya que el anillo de vectores de Witt en un álgebra conmutativa A no es en general un A -álgebra.

Referencias

1. Bosch, Sigfrido; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel (1990). Modelos Neron . Berlín: Springer-Verlag. pag. 191.

La referencia original es la Sección 1.3 de las Conferencias de Weil de 1959-1960, publicadas como:

• André Weil. “Adeles y Grupos Algebraicos”, Progreso en Matemáticas. 23 , Birkhäuser 1982. Notas de las conferencias impartidas en 1959-1960.

Otras referencias:

• Sigfrido Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud. "Modelos Néron", Springer-Verlag, Berlín 1990.
• James S. Milne. “Sobre la aritmética de las variedades abelianas”, Invent. Matemáticas. 17 (1972) 177-190.
• Martín Olson. "Pilas de hom y restricción de escalares", Duke Math J., 134 (2006), 139-164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Björn Poonen. "Puntos racionales sobre variedades", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Nigel Smart , página de descenso de Weil con bibliografía, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html