Cointegración

Propiedad estadística de colecciones de datos de series temporales.

La cointegración es una propiedad estadística de una colección ( X ₁ ,  X ₂ , ...,  X _k ) de variables de series de tiempo . Primero, todas las series deben integrarse de orden d (ver Orden de integración ). A continuación, si una combinación lineal de esta colección se integra de orden menor que d, entonces se dice que la colección está cointegrada. Formalmente, si ( X , Y , Z ) están integrados de orden d , y existen coeficientes a , b , c tales que aX  +  bY  +  cZ están integrados de orden menor que d, entonces X , Y y Z están cointegrados . La cointegración se ha convertido en una propiedad importante en el análisis de series temporales contemporáneo. Las series temporales suelen tener tendencias, ya sean deterministas o estocásticas . En un influyente artículo, ^[1] Charles Nelson y Charles Plosser (1982) proporcionaron evidencia estadística de que muchas series de tiempo macroeconómicas estadounidenses (como el PNB, los salarios, el empleo, etc.) tienen tendencias estocásticas.

Introducción

Si dos o más series están integradas individualmente (en el sentido de series temporales) pero alguna combinación lineal de ellas tiene un orden de integración inferior , entonces se dice que la serie está cointegrada. Un ejemplo común es cuando las series individuales están integradas de primer orden ( ) pero existe algún vector (cointegrador) de coeficientes para formar una combinación lineal estacionaria de ellos. Por ejemplo, un índice bursátil y el precio de su contrato de futuros asociado se mueven a través del tiempo, cada uno siguiendo aproximadamente un camino aleatorio . Ahora se podría probar la hipótesis de que existe una conexión estadísticamente significativa entre el precio de futuros y el precio al contado comprobando la existencia de una combinación cointegrada de las dos series. ${\displaystyle I(1)}$

Historia

El primero en introducir y analizar el concepto de regresión espuria (o sin sentido) fue Udny Yule en 1926. ^[2] Antes de la década de 1980, muchos economistas utilizaban regresiones lineales en datos de series temporales no estacionarias, como lo demostraron el premio Nobel Clive Granger y Paul Newbold. Es un enfoque peligroso que podría producir una correlación espuria , ^{[3] [4]} ya que las técnicas estándar de eliminación de tendencias pueden generar datos que aún no son estacionarios. ^[5] El artículo de Granger de 1987 con Robert Engle formalizó el enfoque del vector de cointegración y acuñó el término. ^[6]

Para los procesos integrados, Granger y Newbold demostraron que la eliminación de tendencias no funciona para eliminar el problema de la correlación espuria y que la alternativa superior es verificar la cointegración. Dos series con tendencias sólo pueden cointegrarse si existe una relación genuina entre ambas. Por lo tanto, la metodología actual estándar para las regresiones de series de tiempo es verificar la integración de las series de todos los tiempos involucradas. Si hay series en ambos lados de la relación de regresión, entonces es posible que las regresiones den resultados engañosos. ${\displaystyle I(1)}$ ${\displaystyle I(1)}$ ${\displaystyle I(1)}$

La posible presencia de cointegración debe tenerse en cuenta al elegir una técnica para probar hipótesis relativas a la relación entre dos variables que tienen raíces unitarias (es decir, integradas de al menos orden uno). ^[3] El procedimiento habitual para probar hipótesis relativas a la relación entre variables no estacionarias era ejecutar regresiones de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) sobre datos que habían sido diferenciados. Este método está sesgado si las variables no estacionarias están cointegradas.

Por ejemplo, hacer una regresión de la serie de consumo de cualquier país (por ejemplo, Fiji) con respecto al PNB de un país diferente seleccionado al azar (por ejemplo, Afganistán) podría dar una relación R-cuadrado alta (lo que sugiere un alto poder explicativo del consumo de Fiji a partir del PNB de Afganistán ). Esto se llama regresión espuria : dos series integradas que no están directamente relacionadas causalmente pueden, no obstante, mostrar una correlación significativa. ${\displaystyle I(1)}$

Pruebas

Los seis métodos principales para probar la cointegración son:

Método de dos pasos de Engle-Granger

Si y ambos tienen orden de integración d =1 y están cointegrados, entonces una combinación lineal de ellos debe ser estacionaria para algún valor de y . En otras palabras: ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle u_{t}}$

${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}=u_{t}\,}$

donde está estacionario. ${\displaystyle u_{t}}$

Si se conoce, podemos probar la estacionariedad con una prueba de Dickey-Fuller aumentada o una prueba de Phillips-Perron . Si se desconoce, primero debemos estimarlo. Por lo general, esto se hace utilizando mínimos cuadrados ordinarios (mediante una regresión sobre y una intersección). Luego, podemos ejecutar una prueba del ADF en . Sin embargo, cuando se estiman, los valores críticos de esta prueba ADF no son estándar y aumentan en valor absoluto a medida que se incluyen más regresores. ^[7] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle \beta }$

Si se encuentra que las variables están cointegradas, se realiza una regresión de segunda etapa. Esta es una regresión de los regresores rezagados y los residuos rezagados de la primera etapa . La regresión de segunda etapa se da como: ${\displaystyle \Delta y_{t}}$ ${\displaystyle \Delta x_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{t-1}}$ ${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\alpha u_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

Si las variables no están cointegradas (si no podemos rechazar la nula de no cointegración al realizar la prueba ), entonces estimamos un modelo de diferencias: ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\varepsilon _{t}}$

prueba de johansen

La prueba de Johansen es una prueba de cointegración que permite más de una relación de cointegración, a diferencia del método de Engle-Granger, pero esta prueba está sujeta a propiedades asintóticas, es decir, muestras grandes. Si el tamaño de la muestra es demasiado pequeño, los resultados no serán confiables y se deben utilizar retrasos distribuidos autorregresivos (ARDL). ^{[8] [9]}

Prueba de cointegración de Phillips-Ouliaris

Peter CB Phillips y Sam Ouliaris (1990) muestran que las pruebas de raíz unitaria basadas en residuos aplicadas a los residuos de cointegración estimados no tienen las distribuciones habituales de Dickey-Fuller bajo la hipótesis nula de no cointegración. ^[10] Debido al fenómeno de regresión espuria bajo la hipótesis nula, la distribución de estas pruebas tiene distribuciones asintóticas que dependen de (1) el número de términos de tendencia deterministas y (2) el número de variables con las que se prueba la cointegración. . Estas distribuciones se conocen como distribuciones de Phillips-Ouliaris y se han tabulado los valores críticos. En muestras finitas, una alternativa superior al uso de estos valores críticos asintóticos es generar valores críticos a partir de simulaciones.

Multicointegración

En la práctica, la cointegración se utiliza a menudo para dos series, pero tiene una aplicación más general y se puede utilizar para variables integradas de orden superior (para detectar aceleraciones correlacionadas u otros efectos de segunda diferencia). La multicointegración extiende la técnica de cointegración más allá de dos variables y, ocasionalmente, a variables integradas en diferentes órdenes. ${\displaystyle I(1)}$

Cambios variables en series de tiempo largas

Las pruebas de cointegración suponen que el vector de cointegración es constante durante el período de estudio. En realidad, es posible que la relación de largo plazo entre las variables subyacentes cambie (pueden ocurrir cambios en el vector de cointegración). La razón de esto podría ser el progreso tecnológico, las crisis económicas, los cambios en las preferencias y el comportamiento de la gente en consecuencia, la alteración de políticas o regímenes y los desarrollos organizativos o institucionales. Es especialmente probable que este sea el caso si el período de la muestra es largo. Para tener en cuenta esta cuestión, se han introducido pruebas de cointegración con una ruptura estructural desconocida , ^[11] y también están disponibles pruebas de cointegración con dos rupturas desconocidas. ^[12]

Inferencia bayesiana

Se han propuesto varios métodos bayesianos para calcular la distribución posterior del número de relaciones de cointegración y las combinaciones lineales de cointegración. ^[13]

Ver también

• Modelo de corrección de errores
• Causalidad de Granger
• Análisis de subespacio estacionario.

Referencias

1. Nelson, CR; Plosser, CI (1982). "Tendencias y paseos aleatorios en series temporales macroeconómicas". Revista de economía monetaria . 10 (2): 139–162. doi :10.1016/0304-3932(82)90012-5.
2. Navidad, U. (1926). "¿Por qué a veces obtenemos correlaciones sin sentido entre series temporales? - Un estudio sobre el muestreo y la naturaleza de las series temporales". Revista de la Real Sociedad de Estadística . 89 (1): 11–63. doi :10.2307/2341482. JSTOR  2341482. S2CID  126346450.
3. Granger, C.; Newbold, P. (1974). "Regresiones espurias en econometría". Revista de Econometría . 2 (2): 111–120. CiteSeerX 10.1.1.353.2946 . doi :10.1016/0304-4076(74)90034-7. 
4. Mahdavi Damghani, Babak; et al. (2012). "El valor engañoso de la correlación medida". Wilmott . 2012 (1): 64–73. doi :10.1002/wilm.10167. S2CID  154550363.
5. Granger, Clive (1981). "Algunas propiedades de los datos de series temporales y su uso en la especificación del modelo econométrico". Revista de Econometría . 16 (1): 121-130. doi :10.1016/0304-4076(81)90079-8.
6. Engle, Robert F.; Granger, Clive WJ (1987). "Cointegración y corrección de errores: Representación, estimación y prueba" (PDF) . Econométrica . 55 (2): 251–276. doi :10.2307/1913236. JSTOR  1913236.
7. https://www.econ.queensu.ca/sites/econ.queensu.ca/files/wpaper/qed_wp_1227.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
8. Giles, David (19 de junio de 2013). "Modelos ARDL - Parte II - Pruebas de límites" . Consultado el 4 de agosto de 2014 .
9. Pesarán, MH; Shin, Y.; Smith, RJ (2001). "Enfoques de prueba de límites para el análisis de relaciones de niveles". Revista de Econometría Aplicada . 16 (3): 289–326. doi : 10.1002/jae.616. hdl : 10983/25617 .
10. Phillips, PCB; Ouliaris, S. (1990). "Propiedades asintóticas de las pruebas de cointegración basadas en residuos" (PDF) . Econométrica . 58 (1): 165-193. doi :10.2307/2938339. JSTOR  2938339.
11. Gregorio, Allan W.; Hansen, Bruce E. (1996). "Pruebas de cointegración basadas en residuos en modelos con cambios de régimen" (PDF) . Revista de Econometría . 70 (1): 99-126. doi :10.1016/0304-4076(69)41685-7.
12. Hatemi-J, A. (2008). "Pruebas de cointegración con dos cambios de régimen desconocidos con aplicación a la integración del mercado financiero". Economía empírica . 35 (3): 497–505. doi :10.1007/s00181-007-0175-9. S2CID  153437469.
13. Koop, G.; Strachan, R.; van Dijk, Hong Kong; Villani, M. (1 de enero de 2006). "Capítulo 17: Enfoques bayesianos de la cointegración". En Mills, TC; Patterson, K. (eds.). Manual de econometría Vol.1 Teoría econométrica. Palgrave Macmillan. págs. 871–898. ISBN 978-1-4039-4155-8.

Otras lecturas

• Enders, Walter (2004). «Modelos de Cointegración y Corrección de Errores» . Series temporales de econometría aplicada (Segunda ed.). Nueva York: Wiley. págs. 319–386. ISBN 978-0-471-23065-6.
• Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 623–669. ISBN 978-0-691-01018-2.
• Maddala, GS ; Kim, In-Moo (1998). Raíces unitarias, cointegración y cambio estructural. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 155-248. ISBN 978-0-521-58782-2.
• Murray, Michael P. (1994). "Una borracha y su perro: una ilustración de cointegración y corrección de errores" (PDF) . El estadístico estadounidense . 48 (1): 37–39. doi :10.1080/00031305.1994.10476017.Una introducción intuitiva a la cointegración.